2023-2024学年湖北省荆州中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省荆州中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知A为奇数集，B为偶数集，命题，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.
【详解】命题，，
则，.
故选：D
2．已知集合，则中的元素个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．至多1个
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断.
【详解】集合是由函数的图象上的点组成的集合，集合是直线上的点组成的集合，
当时，是唯一确定的值，当时，不存在，
所以直线与函数的图象至多只有一个交点，即集合至多只有一个元素.
故选：D.
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B．
【详解】定义域为R，
，
则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；
又因为，则排除选项A，选B.
故选：B．
4．关于函数，，为自然数集，下列说法正确的是（ ）
A．函数只有最大值没有最小值
B．函数只有最小值没有最大值
C．函数没有最大值也没有最小值
D．函数有最小值也有最大值
【答案】D
【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.
【详解】，，
由反比例函数的性质得：
在上单调递减，此时，
在上单调递减，此时，
又因为，为自然数集，
所以在上取到，时,，
同理在上取到，时,，
所以当，为自然数集时，函数有最小值也有最大值.
故选：D.
5．已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，根据函数的新定义可得的图象，由图象即可得最小值.
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，
因为，所以的图象如图实线所示：
由可得，由可得，
由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为，
故选：B.
6．已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：的对称轴大于零.在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据甲、乙两位同学得到的解集相同判断出甲、乙中有一个假命题，根据丙是真命题求得，从而确定甲是真命题，乙是假命题，从而求得的取值范围.
【详解】首先，由解得或；
甲、乙两位同学得到的解集相同，且这三个同学的论述中，只有一个假命题，
所以甲或乙的论述中有一个假命题，另一个是真命题，
所以丙同学的论述是真命题，则，所以，
所以二次函数的开口向上，
所以甲的论述是真命题，所以，
解得.
故选：C
7．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解
【详解】，
，
，
当且仅当，
即时取等号
故选：A
8．已知，若，则（ ）
A．在区间内递减B．在区间内递减
C．在区间内递增D．在区间内递增
【答案】A
【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果.
【详解】令，则，因为，故，
易知，在上单调递减， 在上单调递增，
又易知，在上单调递增，在上单调递减，
由，得到或，由，得到，
因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减，
因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增，
又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减，
故选：A.
二、多选题
9．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．图象关于原点对称
【答案】BD
【分析】由函数的定义域为，在定义域上是奇函数，且上递减逐项判断.
【详解】解：函数的定义域为，
又，所以在定义域上是奇函数，
图象关于原点对称，
又都在上递减，则在和上递减，
当时，，当时，，
所以在定义域上是奇函数知：的值域为，
故选：BD
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B． ，
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
故选：ACD.
11．已知函数的定义域为A，集合．则“使得成立”的充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】可得，，然后可得“使得成立”的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由可得，即
所以“使得成立”的充要条件是，解得
故选：AD
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的单调递增区间为
C．当时，
D．的解集为
【答案】BCD
【分析】由奇函数的性质可判断A项；先研究当时，的单调区间，再根据的奇偶性可判断B项；
由奇函数可求出对称区间上的解析式，从而判断C项；解不等式组可判断D项.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A项错误；
因为当时，，所以可得在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以当时，，
所以根据单调性的性质，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
又因为函数是奇函数，所以设，则，
所以为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的单调递增区间为，，故B项正确；
因为当时，，且是奇函数，
所以当时，，故C项正确；
因为，所以或，
即或，即或，
解得或，即的解集为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知，若，则实数= .
【答案】2
【分析】先求，再求，列出关于a的方程，求出a的值.
【详解】因为，所以，而，所以，解得：
故答案为：2
四、双空题
14．已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 .
【答案】
【分析】先根据表格求出，代入即可得出答案；先根据表格得出的值，再根据表格，即可得出的取值.
【详解】根据表格可得，，
所以，.
根据表格可得，
当时，满足，此时；
当时，满足，此时；
当时，满足，此时.
综上可得，实数的取值集合为.
故答案为：；.
五、填空题
15．已知函数，实数满足，则的最大值 .
【答案】6
【分析】由以及得出，再结合函数的定义域求出的取值范围，利用二次函数的单调性求最值即得.
【详解】由，
得，所以，
即，因为，所以得，
所以，设，则
由，
由于开口向下，对称轴，知在上单调递增，
当时，的最大值为.
故答案为：.
16．已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件：
①对任意，都有；
②对任意且，都有.
则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案．
【详解】由，可得：，
令，则，即函数为偶函数，
因为对任意且，都有，
不妨设，则有，即，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
则，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：．
六、解答题
17．已知集合，集合，其中a为实数.
（1）若，求集合；
（2）若且，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或，
【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式求出集合、，再利用集合的补运算即可求解.
（2）分别求出集合、，由题意可得，再根据集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）若，则，
，
所以.
（2）又因为，则，
当时，，
当时，，
若，则，
显然不成立，
当时，，解得或，
综上所述，实数a的取值范围为或，
18．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）由题知，，进而求得答案（注意检验奇函数成立）；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得．
经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．
又，解得，
所以．
（2）解：在上为增函数．证明如下：
在内任取且，
则，
因为，，，，
所以，即，
所以在上为增函数．
七、应用题
19．2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60，280万元
【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出；
（2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出.
【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元
当时，
当时，
（2）当时，
此时，当时，即万元
当时，
此时，即，则万元
由于
所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元．
【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出.
八、解答题
20．设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有；②当时，；③.
（1）求，的值；
（2）证明在上是减函数；
（3）如果不等式成立，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）用赋值法求值；
（2）用单调性的定义证明；
（3）利用单调性解不等式．
【详解】（1）因为对任意正数x，y，都有，，
令，得，，
令，则，
令，，则有，．
（2）令，且，所以，，
，
∴在上是减函数；
（3）由已知不等式化为，
又在上是减函数，∴，解得.
不等式解集为.
【点睛】本题考查解抽象函数问题，用赋值法求函数值是解抽象函数的基本方法，单调性的证明仍然用单调性的定义，而抽象函数不等式只能通过单调性求解．
21．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．
(1)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
(2)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可；
（2）由题意得，则，设，，，利用单调性求解即可．
【详解】（1）因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立．
即对于任意恒成立．
令，
则，解得．
（2）因为，
所以，
设，因为，所以，
则，，
设，
则，
因为，所以，
则，即，
所以得在上单调递增，
所以，
所以
所以．
22．已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【分析】（1）按参数a分类讨论函数的奇偶性即可解决；
（2）把已知条件转化为成立，是本题关键入手点，接下来按x分类讨论去绝对值符号，保证新建函数最小值非负即可.
【详解】（1）时，，
对，
所以是上的奇函数；
当a≠0时，f(1)＝3＋3a，f(＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（2）因为，所以，
即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|，
化简得，
因为，所以，
所以，
当时，，所以，
所以；
当时，，
即，
设，
，所以，
时，，
的对称轴方程为，
当时，即时，
在：上单调递增，
所以成立；
当，即时，成立，
所以恒成立；
当，即时，
在上单调递减，，
综上的取值范围为
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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