2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省邢台市质检联盟高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，解答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．英文单词excellent的所有字母组成的集合共有（ ）
A．6个元素B．7个元素C．8个元素D．9个元素
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性判断即可.
【详解】excellent的所有字母组成的集合为，共有6个元素．
故选：A.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定判断.
【详解】存在量词命题的否定为全称命题，所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过举反例和不等式性质即可得答案.
【详解】取，，有，A，B均错误．
因为，，所以，C正确，D错误．
故选:C.
4．函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6．设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“其中一条边长为6”是“的周长为16”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.
【详解】当的一条边长为6时，若，则，得的周长为，
若，则，得的周长为，
当的周长为16时，由，且，得，，则的一条边长为6，
所以“其中一条边长为6”是“的周长为16”的必要不充分条件.
故选：B
7．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AC
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都为，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10．已知幂函数满足，则（ ）
A．B．
C．的图象经过原点D．的图象不经过第二象限
【答案】ACD
【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得，结合图象逐项判断即可得答案.
【详解】设幂函数，根据题意可得，解得，则，
的图象如图所示：
则的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD.
11．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.
【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，
因为，则有：
当时，；
当时，；
当时，；
则的取值范围为，
由，，，
可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；
又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件；
故选：ABD.
12．函数在上的最大值为4，最小值为，则的值可能为（ ）
A．B．C．8D．9
【答案】BCD
【分析】分类讨论得到的图象，然后分、和三种情况讨论求解即可.
【详解】当时，；
当时，．作出的图象，如图所示．
当时，由，即，解得．
当时，．
当时，由，即，解得．
当时，．
根据在上的最大值为4，最小值为，可对作如下讨论：
若，则，不合题意；
若，则，不合题意；
若，则，令，解得（舍去）或5．
综上可得，，，故．
故选：BCD.
三、填空题
13．某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为 元．
【答案】13
【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.
【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为元．
故答案为：13.
14．已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案.
【详解】因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．
故答案为：.
四、双空题
15．已知是定义在上的奇函数，则 ， ．
【答案】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
五、填空题
16．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
六、问答题
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为，所以．
（2）因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
七、解答题
18．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范围.
【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或.
因为在上单调递减，所以，即，
则.
（2）设，是R上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即a的取值范围为.
八、证明题
19．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明详见解析
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1），
所以.
（2），
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
九、应用题
20．已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【答案】(1)当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
(2)，最大值为万元
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
（2）依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
十、证明题
21．已知定义在上的函数满足，，．
(1)试判断的奇偶性，并说明理由．
(2)证明：．
【答案】(1)偶函数，证明见详解
(2)证明详解
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【详解】（1）为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
（2）令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
十一、问答题
22．已知关于x的不等式．
(1)当，时，求原不等式的解集；
(2)当时，求原不等式的解集；
(3)在（1）的条件下，若不等式恰有1000个整数解，求的取值集合.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)或或
【分析】（1）代入数据直接解不等式即可.
（2）变换得到，考虑，，，四种情况，解不等式得到答案.
（3）根据解集确定，考虑最小值分别为，，三种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，原不等式即为，即．
因为，所以，所以原不等式的解集为．
（2）当时，原不等式可化为．
当时，原不等式即为，此时，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，原不等式即为，此时，原不等式的解集为；
当时，原不等式可化为，此时，
原不等式的解集为或．
综上所述：
当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
（3）原不等式的解集为．
要使得原不等式恰有1000个整数解，则a需满足，
解得．
若1000个整数解的最小值为1001，则最大值为2000，则，
解得，此时，原不等式恰有1000个整数解．
若1000个整数解的最小值为1002，则最大值为2001，则，
解得，此时，原不等式恰有1000个整数解．
若1000个整数解的最小值为1003，则最大值为2002，则，
解得，此时，原不等式恰有1000个整数解．
综上所述：
或或