2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邢台市五岳联盟高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某羽毛球队共有11名男队员，9名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女混双比赛，则不同的组合方案共有( )
A. 9种B. 11种C. 20种D. 99种
2.已知X服从两点分布，若P(X=0)=0.48，则P(X=1)=( )
A. 0.48B. 0.52C. 0.24D. 0.26
3.(x+1)500的展开式中，系数最大的项的系数为( )
A. C500125B. C500249C. C500250D. C500500
4.曲线y=sinxx在x=π2处的切线的斜率为( )
A. −4π2B. 4π2C. −π24D. π24
5.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，|F1F2|=2c，点P在C的右支上，且△PF1F2的周长为6c，则|PF1|=( )
A. 3c−aB. 3c+aC. 2c−aD. 2c+a
6.河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有( )
A. 18种B. 16种C. 14种D. 12种
7.如图，在三棱锥PABC中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，则二面角F−AE−C的余弦值为( )
A. 63
B. 66
C. 33
D. 36
8.已知(2x−1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，则a1+3a3+5a5+…+99a99=( )
A. 200(1+399)B. 200(1−399)C. 100(1+399)D. 100(1−399)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知P(B|A)=P(B)=0.3，P(C|B)=0.6，则( )
A. A与B相互独立B. A与B相互对立C. P(BC)=0.18D. P(BC)=0.5
10.在平面直角坐标系中，第一、二、三、四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是( )
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与x轴相交的有8条
C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
11.下列命题为真命题的是( )
A. x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值是2
B. x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值是 5
C. x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值是 2
D. x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值是 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列{an}中，a3a1=2，则a5a1= ______．
13.某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑.甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为______．
14.已知椭圆C：x2a2+y22=1(a>2)的离心率为 63，过C的右焦点F的直线l与C交于A，B两点，与直线x=4交于点D，且2|AB|= 3|DF|，则l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
入春以来，成群的红嘴鸥在河北省阜平县平阳镇王快水库栖息飞翔，碧水鸥影的生态美景，吸引众多游客前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，渔民自发地驾船在王快水库巡护红嘴鸥.已知甲、乙等六名渔民计划巡护红嘴鸥六天，每人巡护一天．
(1)若甲不在第一天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
(2)若甲、乙不在相邻的两天巡护，问有多少种不同的巡护方案？
16.(本小题15分)
已知在二项式(x2+2x)n的展开式中，第5项为常数项．
(1)求n；
(2)求(x2+2x)n的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
(3)在(x3−1)(x2+2x)n的展开式中，求含x6的项．
17.(本小题15分)
一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个(分别标有数字1，2，3)，黑色小球4个(分别标有数字2，3，4，5).现从盒子中—次性随机取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；
(2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X(当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X)，求随机变量X的分布列．
18.(本小题17分)
在n个数码1，2，…，n(n∈N,n≥2)构成的一个排列j1j2…jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2>j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为T(j1j2…jn)，例如，T(312)=2．
(1)计算T(51243)；
(2)设数列{an}满足an+1=an⋅T(51243)−T(3412)，a1=2，求{an}的通项公式；
(3)设排列j1j2…jn(n∈N,n≥2)满足ji=n+1−i(i=1,2,…,n)，bn=T(j1j2…jn)，Sn=1b2+1b3+…+1bn+1，求Sn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−alnx−a和g(x)=xex−12ax2−ax．
(1)若g(x)在(0,+∞)上的最小值为f(a)，求a的值；
(2)若不等式f(x)+g(x)≥−12ax2+x−a+1恒成立，求a的取值集合．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：先从11名男队员中抽取一名男队员，有C111=11种可能，
再从9名女队员中抽取一名女队员，有C91=9种可能，
所以不同的组合方案共有11×9=99种．
故选：D．
利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
本题主要考了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵服从两点分布，且P(X=0)=0.48，
∴P(X=1)=1−0.48=0.52．
故选：B．
利用两点分布的概率公式求解．
本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：(x+1)500的展开式一共501项，由于该展开式的二项式系数和系数相等，故该展开式中系数最大的项的系数为C500250．
故选：C．
直接利用展开式中二项式系数和系数的关系求出结果．
本题考查的知识点：二项式系数和项的系数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由y=sinxx，得y′=xcsx−sinxx2，
则所求切线的斜率为y′|x=π2=π2csπ2−sinπ2(π2)2=−4π2．
故选：A．
求出原函数的导函数，可得函数在x=π2处的导数值，则答案可求．
本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由双曲线定义可知：|PF1|−|PF2|=2a，
则△PF1F2的周长为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=2c+|PF1|+|PF1|−2a=6c，故|PF1|=2c+a．
故选：D．
借助双曲线定义计算即可得．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若要求这两种旱碱麦都要种植，分两类：
第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有C41A22=8种；
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有C42A22A22=6种．
故不同的种植方案共有8+6=14种．
故选：C．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，
所以以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(12,1,0)，F(0,1,1)，
所以AE=(12,1,0)，AF=(0,1,1)，AC=(0,2,0)，
设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AE=12x+y=0m⋅AF=y+z=0，令x=2，则y=−1，z=1，所以m=(2,−1,1)，
由题知，平面AEC的一个法向量为n=(0,0,1)，
设二面角F−AE−C的平面角为θ，且由图可知θ为锐角，
所以csθ=|cs|=|m⋅n||m||n|=1 6= 66．
故选：B．
建立空间直角坐标系，求出平面AEF和平面AEC的法向量，由向量夹角公式即可求得．
本题考查二面角的求法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对(2x−1)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100两边求导，可得2×100(2x−1)99=a1+2a2x+3a3x2+⋯+100a100x99，
令x=1，得a1+2a2+3a3+⋯+100a100=200，①
令x=−1，得a1−2a2+3a3−⋯−100a100=−200×399，②
①+②2，可得a1+3a3+5a5+⋯+99a99=100(1−399)．
故选：D．
先对已知等式两边同时求导，再分别令x=1，x=−1，联立方程即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求导，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：根据题意，P(B|A)=P(B)，而P(B|A)=P(AB)P(A)，
则有P(AB)P(A)=P(B)，变形可得P(A)P(B)=P(AB)，则事件A与B相互独立，A正确，B错误；
又由P(C|B)=0.6，即P(BC)P(B)=0.6，变形可得P(BC)=P(B)P(C|B)=0.18，
故C正确，D错误．
故选：AC．
根据题意，由于P(B|A)=P(B)，结合条件概率公式可得P(A)P(B)=P(AB)，分析可得A正确，B错误；又由P(BC)=P(B)P(C|B)，求出P(BC)的值，可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的判断，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：以这8个点中的2个点为端点的线段有C82=28条，A正确；
以这8个点中的3个点为顶点的三角形有C83=56个，C正确；
x轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有C41C41=16条，B错误；
先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有C43C21C21C21=32个，D正确．
故选：ACD．
根据排列组合相关知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：设A(0,2)，B(−1,1)，F(−1,0)，P(x, −4x)，
易知点P的轨迹是抛物线y2=−4x的上半部分，
抛物线y2=−4x的准线为直线x=1，
P到准线的距离d=|x−1|，
F为抛物线y2=−4x的焦点，
所以 x2−4x−8 −x+4+|x−1|= x2+( −4x−2)2+|x−1|=|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|= 5，
所以 x2−4x−8 −x+4+|x−1|的最小值为 5，故A错误，B正确；
x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2= x2+( −4x−2)2+ (x+1)2+( −4x−1)2=|PA|+|PB|≥ 2，
所以 x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2的最小值为 2，
因此C正确，D错误．
故选：BC．
设A(0,2)，B(−1,1)，F(−1,0)，P(x, −4x)，易知点P的轨迹是抛物线y2=−4x的上半部分，由 x2−4x−8 −x+4+|x−1|= x2+( −4x−2)2+|x−1|=|PA|+d，判断AB；由 x2−4x−8 −x+4+ x2−2x−4 −x+2= x2+( −4x−2)2+ (x+1)2+( −4x−1)2=|PA|+|PB|，判断CD．
本题考查了转化思想、抛物线的性质，属于中档题．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若a3a1=2，则a1+2da1=2，变形可得a1+2d=2a1，则有a1=2d，
则a5a1=a1+4da1=2d+4d2d=3．
故答案为：3．
根据题意，设等差数列{an}的公差为d，分析可得a1+2da1=2，变形可得a1=2d，结合等差数列的性质分析可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的性质，属于基础题．
13.【答案】0.73
【解析】解：某校运动会短跑比赛有两个项目：100米短跑和400短跑．甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，
参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加100米短跑比赛夺冠的概率为0.7，
参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，
则甲参加短跑比赛夺冠的概率为P=0.7×0.7+0.3×0.8=0.73．
故答案为：0.73．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】±1
【解析】解：因为椭圆C：x2a2+y22=1(a>2)的离心率为 63，
所以e=ca= a2−b2a2= a2−2a2= 63，解得a2=6，
所以椭圆方程为x26+y22=1，可得F(2,0)，
当直线l的斜率为0时，则A( 6,0)，B(− 6,0)，D(4,0)，
所以|AB|=2 6，|DF|=2，显然不满足2|AB|= 3|DF|，故舍去；
依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x−2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x−2)x26+y22=1，消去y整理得(1+3k2)x2−12k2x+12k2−6=0，
显然Δ>0，则x1+x2=12k21+3k2，x1x2=12k2−61+3k2，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2⋅ (12k21+3k2)2−4×12k2−61+3k2
=2 6(1+k2)1+3k2，
又y=k(x−2)x=4，解得y=2kx=4，所以D(4,2k)，
所以|DF|= (4−2)2+(2k)2=2 1+k2，
因为2|AB|= 3|DF|，所以4 6(1+k2)1+3k2=2 3× 1+k2，解得k=±1，
综上可得l的斜率为±1．
故答案为：±1．
由离心率公式求出a2，从而可得椭圆方程，首先计算直线l的斜率为0时不符合题意，设直线l的方程为y=k(x−2)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出|AB|，再求出D点坐标，即可得到|DF|，从而得到方程，求出k即可．
本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)若甲不在第一天巡护，则甲有C51种排法，剩下5人共有A55种排法，
则由分步计数乘法原理可得共有C51A55=600种排法；
(2)先排除甲乙剩下的4人，共有A44=24种排法，再将甲乙从5个空中选取2个空全排，共有C52A22=20种排法，
由分步乘法计数原理可得共有24×20=480种排法．
【解析】(1)先排甲，再全排剩下5人，然后根据分步乘法计数原理即可求解；(2)先排除甲乙剩下的4人，再将甲乙插空，然后根据分步乘法计数原理即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题意得第5项为Cn4(x2)n−4(2x)4=24Cn4x2n−12，
又第5项为常数项，
则2n−12=0，
得n=6．
(2)由题意可得：所有奇数项的二项式系数之和为12×26=32．
(3)由(1)知(x3−1)(x2+2x)6=x3(x2+2x)6−(x2+2x)6，
在(x2+2x)6的展开式中，含x3的项为C63(x2)3(2x)3=23C63x3=160x3，
在(x2+2x)6的展开式中，含x6的项为C62(x2)4(2x)2=22C62x6=60x6，
所以在(x3−1)(x2+2x)6的展开式中，含x6的项为160x6−60x6=100x6．
【解析】(1)由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解；
(2)结合二项式定理求解；
(3)由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)7个球里取3个共有C73=35种，
3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3，
其中4，5，1只有一种，而3，5，2有C21C21=4种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种，
所以总共有1+4+1=6种，
所以概率为635；
(2)由题意可知，X可能的值有5，4，3，2，
则P(X=5)=C62C73−C33=1534，P(X=4)=C52C73−C33=1034=517，P(X=3)=C42C73−C33=634=317，P(X=2)=C32C73−C33=334，
所以X的分布列为：

【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解；
(2)由题意可知，X可能的值有5，4，3，2，再利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由逆序的定义可得T(51243)=4+1=5；
(2)由逆序的定义可得an+1=an⋅T(51243)−T(3412)=5an−4，
即为an+1−1=5(an−1)，
可得数列{an−1}是首项为a1−1=1，公比为5的等比数列，
则an−1=5n−1，即有an=5n−1+1；
(3)由逆序的定义可得bn=T(j1j2…jn)=1+2+...+(n−2)+(n−1)=12n(n−1)，
Sn=1b2+1b3+…+1bn+1=22×1+23×2+...+2(n+1)n
=2(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．
【解析】(1)由逆序的定义，计算可得所求值；
(2)由逆序的定义，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
(3)由逆序的定义求得bn=12n(n−1)，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)g′(x)=ex+xex−ax−a=(x+1)(ex−a)，
若a≤1，则g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，则g(x)无最小值，不符合题意，
所以a>1，
当0lna时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min=g(lna)=−12a(lna)2，
由−12a(lna)2=f(a)=−alna，得lna(lna−2)=0，
即a=1或a=e2，
因为a>1，所以a=e2；
(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f(x)+g(x)≥−12ax2+x−a+1，得xe−a(lnx+x)−1=xe−aln(xex)−1≥0，
令函数t=xex，则t−alnt−1≥0，t′=(x+1)ex>0，
所以t=xex单调递增，得t>0，
令函数h(t)=t−alnt−1，则h′(t)=1−at=t−at，
若a≤0，则h′(t)>0，h(t)在(0,+∞)上单调递增，因为h(1)=0，
所以当t∈(0,1)时，h(t)<0，不符合题意，所以a>0，
当0a时，h′(t)>0，h(t)单调递增，
所以h(t)min=h(a)=a−alna−1，即a−alna−1≥0恒成立，
令函数H(x)=x−xlnx−1，则H′(x)=−lnx，
当00，H(x)单调递增，当x>1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，
所以H(x)=x−xlnx−1≤H(1)=0，即a−alna−1≤0，
故H(a)=a−alna−1=H(1)=0，即a=1，
所以a的取值集合为{1}．
【解析】(1)求导得g′(x)=(x+1)(ex−a)，对a分情况讨论，得到g(x)的单调性，进而求出g(x)的最小值，再结合f(x)的解析式求出a的值；
(2)由题意可知，xe−aln(xex)−1≥0恒成立，令函数t=xex，则t−alnt−1≥0，令函数h(t)=t−alnt−1，利用导数可得h(t)min=h(a)=a−alna−1，则a−alna−1≥0恒成立，再次求导可得a−alna−1≤0，从而只有a−alna−1=0，由此求出a的值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的恒成立问题，属于中档题．X
2
3
4
5
P
334
317
517
1534