河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，则， 已知，函数的大致图象可能是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A. 5种B. 15种C. 25种D. 125种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理即可求得结果.
【详解】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种．
故选：.
2. 由5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】利用线性回归方程过样本中心即可求解．
【详解】由题意可得，，
又经过点,，所以，解得．
故选：C．
3. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数定义及乘法求导数运算律计算求值.
【详解】因为,
所以.
故选：C.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. 448C. D. 196
【答案】A
【解析】
【分析】运用通项公式计算即可.
【详解】展开式的通项公式为，
要得到项，令，即.
则的系数为.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件概率、对立事件概率公式直接求解即可.
【详解】
故选：B.
6. 甲､乙两社团各有3名男党员､3名女党员，从甲､乙两社团中各随机选出1名党员参加宪法知识比赛.设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“从甲､乙两社团中选出的是2名男党员”，事件为“从甲､乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则下列说法不正确的是（ ）
A. 与相互独立B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与互斥
【答案】B
【解析】
【分析】根据相互独立事件及互斥事件的公式法判断即可.
【详解】由题意可得.
因为，所以与相互独立，正确.
因为，所以与不相互独立，错误.
因为，所以与相互独立，C正确.
因为，所以与互斥，正确.
故选：B
7. 袋中装有4个黑球和3个白球，现从中不放回地取球，每次取1个球，直到将袋中的白球取完即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，则终止取球时，恰有1个黑球没有被取出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】“终止取球时，恰有1个黑球没有被取出”等价于“取出了3个白球和3个黑球”，由此根据古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】根据题意，“终止取球时，恰有1个黑球没有被取出”等价于“取出了3个白球和3个黑球”，
故所求的概率为.
故选：C.
8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，h'x>0，hx在1,+∞上单调递增，
当时，h'x<0，hx在0,1上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】运用分布列性质求，再用均值和方差公式及其性质计算即可.
【详解】由分布列的性质知，则.
对A，，故A错误；
对C，，故C错误；
对B，，故B正确；
对D，，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误.
【详解】对于A，当时，，
，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，
又，A正确；
对于B，当时，，
，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
又，B正确；
对于C，当时，，，
，的定义域为，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，，
在上单调递减，且当时，恒成立；
由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；
对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；
又图象关于轴对称，偶函数，，
此时图象应为B中图象，D错误.
故选：ABC.
11. 某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为，且每次投篮互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，该同学共进行3次投篮，恰好命中2次的概率为0.144
B. 当时，该同学共进行10次投篮，表示命中的次数，则
C. 当时，该同学共进行10次投篮，恰好命中次的概率为时，最大
D. 若该同学共进行次投篮，其中投中次的概率为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据n次独立重复实验概率判断A，应用二项分布数学期望判断B， 根据n次独立重复实验概率最大值判断C，应用二项式系数和计算判断D.
【详解】对于选项，所求概率为.
对于选项，.
对于选项，，当最大时，，即
所以即
解得，又，所以.故为6时，最大.
对于D选项，.
因为，
，
两式相加得，所以，
所以.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知随机变量服从，若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布性质求概率.
【详解】因为,及正态分布的对称性可得
.
故答案：.
13. 要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为______.
【答案】100
【解析】
【分析】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算.
【详解】当村安排1人时，不同的安排方法种数为；
当村安排2人时，不同的安排方法种数为；
当村安排3人时，不同的安排方法种数为.
综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法.
故答案为：100
14. 已知函数的最小值为0，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，有，换元可得，利用函数导数判断的单调性，求得.进而有解，分类讨论和结合函数单调性求得的取值范围.
【详解】令，则，由，
换元可得，则，
当时，，当时，，
所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，则.
因为函数的最小值为0，所以有解，
当时，不符合题意，当时，则，即有解.
令，则，当时，，当时，，
所以hx在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以或.
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：根据函数最小值求参数范围问题，常常构造函数结合函数导数判断函数单调性得到最值，结合参数分类讨论得到参数范围；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
【答案】（1）能 （2）
【解析】
【分析】（1）根据表格计算卡方值，并依据小概率值进行独立性检验即可；
（2）根据分层随机抽样可得到选择课程和的人数，进而根据古典概型的概率计算公式求解即可.
【小问1详解】
零假设：选择课程与性别无关.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关.
【小问2详解】
选出的5名男生中，选择课程的人数为，
选择课程人数为，
这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多有如下两种可能：
选择课程有3人，数选择课程有0人，此种有种选法；
选择课程有2人，数选择课程有1人，此种有种选法；
记“这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多”为事件,
.
16. 某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立.
（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；
（2）求甲获得胜利的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【小问1详解】
第一题结束时甲获得1分的概率为.
【小问2详解】
由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙获得1分的概率分别为，
两人共抢答了3道题，比赛结束且甲获胜的概率，
两人共抢答了4道题，比赛结束且甲获胜的概率，
两人共抢答了5道题，比赛结束且甲获胜的概率，
故甲获得胜利的概率.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调性；
（2）对求导，利用导数判断函数的单调性，求出的最小值，结合零点个数即可求解的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，
.
若，则恒成立，在上单调递增；
若，则当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
，
则，
又因函数单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，，
，
所以在和上各有一个零点.
当时，的最小值为，且，
所以在上至多只有一个零点.
综上，实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求的极值.
（2）已知，且.
①求的取值范围；
②证明:.
【答案】（1）极小值0，极大值
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，判断单调性根据极值定义求解；
（2）根据，，结合函数的单调性和极值求得的取值范围；利用单调性可知，令，则，求得，利用分析法将所要证明的问题转化为，构造函数利用导数证明即可.
【小问1详解】
由题意，
则当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值.
【小问2详解】
①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且，
又，，所以的取值范围为.
②因为，，由（1）的单调性可知，
令，则，因为，所以，
即，解得，
所以，要证，即证.
令，则，
所以在上单调递增，所以，故成立.
19. “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.
（1）求；
（2）证明数列Pn-14是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意分别求出即可；
（2）根据题意得出数列的递推公式，再根据等比数列的定义证明为等比数列即可；
（3）依题意可得的可能取值有，再计算其概率分布列和数学期望即可.
【小问1详解】
由题意可得：.
【小问2详解】
记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，
所以
所以，所以，
又，
所以是公比为的等比数列.
所以.
【小问3详解】
结合题意易得可取，
，
，
，
所以的分布列为
的数学期望
1
2
3
4
0.5
0.3
0.1
选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2