河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份河北省邢台市名校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则，若过点可以作曲线的两条切线，则，已知，函数的大致图象可能是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A.5种 B.15种 C.25种 D.125种
2.根据5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
3.已知函数，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.的展开式中的系数为（ ）
A.-448 B.448 C.-196 D.196
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.甲､乙两社团各有3名男党员､3名女党员，从甲､乙两社团中各随机选出1名党员参加宪法知识比赛.设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“从甲､乙两社团中选出的是2名男党员”，事件为“从甲､乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则下列说法不正确的是（ ）
A.与相互独立 B.与相互独立
C.与相互独立 D.与互斥
7.袋中装有4个黑球和3个白球，现从中不放回地取球，每次取1个球，直到将袋中的白球取完即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，则终止取球时，恰有1个黑球没有被取出的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为，且每次投篮互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，该同学共进行3次投篮，恰好命中2次的概率为0.144
B.当时，该同学共进行10次投篮，表示命中的次数，则
C.当时，该同学共进行10次投篮，恰好命中次的概率为时，最大
D.若该同学共进行次投篮，其中投中次的概率为，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知随机变量服从，若，则__________.
13.要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为__________.
14.已知函数的最小值为0，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
16.（15分）
某档知识竞赛节目的规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人每道题答对的概率分别为，并且每道题两人答对与否相互独立.
（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；
（2）求甲获得胜利的概率.
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知函数有两个零点，求实数的取值范围.
18.（17分）
已知函数.
（1）求的极值.
（2）已知，且.
①求的取值范围；
②证明：.
19.（17分）
“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望.
2023-2024学年高二（下）质检联盟期中考试数学
参考答案
1.B 根据分类加法计数原理，不同的选法共有种.
2.C 由已知得，又经过点，所以7.2，解得.
3.C 由题意，，故.
4.A 的系数为.
5.B .
6.B 由题意可得.因为，所以与相互独立，正确.因为，所以与不相互独立，错误.因为，所以与相互独立，C正确.因为，所以与互斥，正确.
7.C 所求的概率为.
8.B 在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，则.
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
9.BD 由分布列的性质知，则.，故A错误；，故C错误；，故B正确；，故D正确.
10.ABC 当时，是定义在上的奇函数，当时，，
，则在上单调递增，在上单调递减，故
A符合题意；当时，是定义在上的偶函数，且在上单
调递增，在上单调递减，故B符合题意；当时，是定义在
上的偶函数，当时，，则在上单调递减，故C符合题意；对于D选项，当趋近于时，的值趋近于0，故不符合题意.
11.BCD 对于选项，所求概率为.
对于选项，.
对于选项，，当最大时，，即
所以即
解得，又，所以.故为6时，最大.
对于D选项，.
因为，，
两式相加得，所以，
所以.故选BCD.
12. .
13.100 当村安排1人时，不同的安排方法种数为；
当村安排2人时，不同的安排方法种数为；
当村安排3人时，不同的安排方法种数为.
综上，共有100种不同的安排方法.
14. 令，则，由，换元可得，则，所以在上单调递减，在上单
调递增，则.因为函数的最小值为0，所以有解，当时，不符合题意，当时，则，即有解.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.综上，的取值范围为.
15.解：（1）零假设：选择课程与性别无关.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关.
（2）选出的5名男生中，选择课程的人数为，
选择课程的人数为，
则所求的概率为.
16.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为.
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲､乙得1分的概率分别为，
两人共抢答了3道题比赛结束且甲获胜的概率，
两人共抢答了4道题比赛结束且甲获胜的概率，
两人共抢答了5道题比赛结束且甲获胜的概率，
故甲获得胜利的概率.
17.解：（1）的定义域为，
.
若，则恒成立，在上单调递增；
若，则当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减.
（2），
则.
又因为函数单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，，
，
所以在和上各有一个零点.
当时，的最小值为，且，
所以在上至多只有一个零点.
综上，实数的取值范围是.
18.（1）解：，
则当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值.
（2）①解：因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，所以的取值范围为.
②证明：由（1）可知.
令，则，因为，所以，即，解得
所以，要证，即证.
令，则，所以在上单调递增，所以，故成立.
19.解：（1）.
（2）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，所以
得，
所以，即是公比为的等比数列.
又，所以.
（3）结合题意易得可取，
，
，
所以的分布列为
的数学期望.1
2
3
4
0.5
0.3
0.1
选择课程
选择课程
男生
40
60
女生
20
80
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2