2023-2024学年河北省石家庄师大附中高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄师大附中高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，再利用交集含义即可.
【详解】，又因为，
所以，
故选：C.
2．已知函数，则 （ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，则，
故选：B.
3．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图象直接得到其单调增区间.
【详解】根据图象知的单调递增区间为，
故选：D.
4．设x为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系和必要不充分的条件即可判断.
【详解】因为“”推不出“”， “”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式解的情况得到，，代入求解不等式即可.
【详解】由题意得是方程两根，且，则，
则，所以不等式，即，所以，
故选：D.
6．已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义域列出不等式组求解即可.
【详解】函数的定义域是，由，得，且，
函数的定义域是，
故选：A.
7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．16B．10C．6D．8
【答案】A
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当时，即时取“”，所以的最小值为.
故选：A.
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】变换得到，确定，计算得到答案.
【详解】，
，故，则，故，
即，故的值域为.
故选：D
二、多选题
9．已知集合，则下列关系式表示正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可.
【详解】，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：CD
10．已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中是奇函数的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数为奇函数得到，构造新函数，根据奇函数的定义依次判断每个选项即可.
【详解】函数是定义在上的奇函数，则.
对选项A：设，则，函数为偶函数，错误；
对选项B：设，则，正确；
对选项C：设，则，正确；
对选项D：设，则，正确.
故选：BCD
11．已知函数与的定义域均为，且为奇函数， 为偶函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．在上单调递增
C．为奇函数D．
【答案】ACD
【分析】根据和函数奇偶性得到，，再依次判断每个选项即可.
【详解】为奇函数， 为偶函数，，
则，即，
解得，，
对选项A：，正确；
对选项B：在上单调递减，错误；
对选项C：设，函数定义域为，
，函数为奇函数，正确；
对选项D：，正确；
故选：ACD
12．已知函数为偶函数，当，时，成立，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】确定函数的奇偶性和单调性， ，A错误，，B正确，根据得到C错误，利用均值不等式计算得到D正确，得到答案.
【详解】当，时，成立，故函数在单调递减，
函数为偶函数，故函数在上单调递增，
对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，故，错误；
对选项D：，，
当且仅当，即时等号成立，故，正确；
故选：BD
三、双空题（新）
13．用区间表示为 ；用区间表示为 ．
【答案】
【分析】根据区间的定义直接得到答案.
【详解】，.
故答案为：；.
四、填空题
14．已知函数是定义在R上的奇函数，则 ．
【答案】0
【分析】根据奇函数的充要条件即可得到答案.
【详解】由题意得，
即恒成立，则，则，
故答案为：0.
15．若关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】变换，根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】，，故，函数在上单调递增，
则，故.
故答案为：
16．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性得到，解得答案.
【详解】函数是上的减函数，则，解得.
故答案为：
五、问答题
17．设集合，．
(1)若时，求，；
(2)，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由求出集合，即可根据集合的交，并，补运算得出答案；
（2）由判断集合的范围列不等式解出答案.
【详解】（1）因为，所以，
则，或，
则；
（2）因为
则或或，
解得：，
故的取值范围为.
六、解答题
18．已知函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求的值；
(3)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入点坐标，解出即可；
（2）直接代入计算即可；
（3）令，求出值，再代回求出即可.
【详解】（1）将点代入得，解得，
则.
（2），则.
（3）令，则，即，解得，
则，即，解得.
19．已知为幂函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义法证明：在上是减函数；
(3)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，解出即可；
（2）取值、作差变形再判断符号即可；
（3）根据单调性和定义域得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
则.
（2），任取，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上是减函数.
（3）因为，则，解得，
实数m的取值范围.
七、问答题
20．已知函数．
(1)若方程有两个不等实根，若，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）解方程得到或，代入计算得到答案.
（2）考虑，，三种情况，解不等式得到答案.
【详解】（1），故或，，
不妨取，，则，解得或.
（2），
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
综上所述：
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
八、解答题
21．已知奇函数的定义域为，当时，
(1)求函数在定义域上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数的图象；
(3)若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）设，则，利用函数的奇偶性代入数据计算即可.
（2）画出函数图像即可.
（3）根据函数图像确定函数单调区间，得到或，解得答案.
【详解】（1）当时，，故，
故；
（2）画出函数图像，如图所示：
（3）根据函数图像知函数在和上单调递减，在和上单调递增，
函数在区间上不是单调函数，
故或，解得.
22．已知函数，其中．
(1)若不等式对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围；
(2)当时，若函数的最小值为，求实数m的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接根据求解即可；
（2）分，，讨论，确定取最小值的位置，然后列方程求解.
【详解】（1）不等式，即对于一切实数x均成立，
则，
解得或.
（2）函数，，
对称轴为，
当时，，得，
当时，，得或（舍去），
当时，，得（舍去）.
综上或.