2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五校联考高一上学期10月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五校联考高一上学期10月期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的交集运算即可求.
【详解】易知集合及集合的公共元素为1和2，所以．
故选：C
2．已知函数，则的值是（ ）
A．－2022B．0C．1D．2022
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数可求的值.
【详解】的定义域为，定义域关于原点对称.
，故为奇函数，
则．
故选：B.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果
【详解】要使函数有意义，必须，解得且，
则函数的定义域为，
故选：D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解不等式得到，根据范围的大小关系得到答案.
【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
5．函数在上的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】由反比例函数的性质判断的单调性即可得出答案.
【详解】因为在上单调递减，
所以当时取最小值为.
故选：B．
6．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解.
【详解】解：因为函数为偶函数，
所以，，
因为当时，是增函数，又，
所以，即，
故选：A.
7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出.
【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元.
当时，则；
当时，则；
当时，则.
综上所述，
由前面可知，，则有，解得.
故选：D.
8．函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.
【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，
则，解得.
故选：A.
二、多选题
9．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】应用作差法判断各选项中不等式的正误.
【详解】由，可得.
A：由，当时，，故不正确；
B：由，当时，，故不正确；
C：由，故正确；
D：由，故正确.
故选：CD.
10．设定义在上的函数，则下列函数必为偶函数的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用偶函数定义逐项计算判断即得.
【详解】对于A，令，，即为偶函数，A正确；
对于B，令，，为偶函数，B正确；
对于C，令，，无法判断的奇偶性，C错误；
对于D，令，，为偶函数，D正确．
故选：ABD
11．若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】BCD
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则；
综上，．
故选：BCD
12．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．命题：“，”的否定是 .
【答案】，
【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，
则命题：“，”的否定是“，”.
故答案为：，.
14．已知幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据幂函数定义，设幂函数，带入点求出参数a，求出函数解析式，再带入计算即可.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以．
故答案为：
15．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
【答案】/
【分析】由题意，根据必要不充分条件可得⫋，从而建立不等关系即可求解.
【详解】解：不等式的解集为，不等式的解集为，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以⫋，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：.
16．已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对分类讨论即可.
【详解】当时，无最大值，
要使函数存在最大值，则且，
即，
解得.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；
（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.
【详解】（1）解：若，
则有，解得；
（2）解：，
因为，
所以，解得.
五、问答题
18．（1）比较和的大小；
（2）请判断“，”是“”的什么条件?（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
【答案】（1）；（2）充分不必要条件.
【分析】（1）利用作差法比较大小即可.
（2）利用不等式性质及举例说明，并结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】（1）依题意，
，
由，，，得，当且仅当取等号，
所以与的大小关系为.
（2）由，，得，则，
因此“，”是“”的充分条件；
取，，，，此时，但，
因此成立，不能保证，同时成立，即“，”不是“”的必要条件，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
六、解答题
19．已知函数．
(1)用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合函数单调性的定义，通过计算，来证得在上递增.
（2）结合函数的奇偶性的单调性求得不等式的解集.
【详解】（1）任取，则，
因为，
所以，
所以，
所以f（x）在（0，2）上单调递增.
（2）函数f（x）的定义域为（－2，2）．
因为，
所以函数f（x）为奇函数，
又f（0）＝0，所以函数f（x）在（－2，2）上单调递增，
原不等式可化为不等式，
因此解得，
所以原不等式的解集为．
20．（1）若关于的不等式的解集是，求不等式的解集；
（2）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或（2）
【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可.
（2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可.
【详解】（1）不等式的解集是，
，是方程的两个根，
由韦达定理得：，，
即，
解不等式可得：或，
故的解集为或
（2）恒成立，，
，
当且仅当，即时等号成立，
解得，
则实数的范围是：.
七、问答题
21．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在实数或
【分析】（1）先求出的增区间，再利用子集关系求解即可；
（2）求出在上的最值，其一定不比大，可先求出的初步范围，在分类讨论求最值即可求出的值.
【详解】（1）因为二次函数的解析式为，
所以的对称轴为且开口向上， 即的增区间为，
又函数在上单调递增，
所以，可得，
解得．
所以的取值范围是；
（2）令
，
假设存在实数，使得函数在区间上的最小值为，
则，得，解得或．
当时，在上递增，
则，所以，得；
当时，在上递减，
则，所以，得，
综上所述，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为.
八、解答题
22．对于定义在D上的函数，若存在实数m，n且，使得在区间上的最大值为，最小值为，则称为的一个“保值区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当）时，．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在内的“保值区间”；
(3)若以函数在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数的图象，求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用函数的奇偶性即得函数的解析式；
（2）根据“保值区间”的概念结合函数的单调性可得关于的方程组，进而构造方程即得；
（3）根据函数的性质可得在定义域内所有“保值区间”，进而可得函数，即得.
【详解】（1）因为为R上的奇函数，则，
因为当）时，，
所以当时，则，
∴，
所以；
（2）设，由在上单调递减，
可得，
所以是方程，即的两个不等正根，
，
，
所以在内的“保值区间”为；
（3）设为的一个“保值区间”，
则，
∴m，n同号．
当时，同理可求在内的“保值区间”为，
∴，
所以函数的值域是．
每户每月用水量
水价
不超过的部分
2.07元
超过但不超过的部分
4.07元
超过的部分
6.07元