2023-2024学年广东省深圳市南头中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南头中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2．命题“”的否定（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】全称命题的否定为特称命题，具体的否定方法：改量词，否结论.
【详解】因为原命题“”，所以其否定为“”，
故选：D.
3．“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解一元二次不等式,再结合充要条件定义即可求解.
【详解】因为，解得,又因为是的真子集，
所以“”是“”的必要而不充分条件;
故选：．
4．下列选项中不能推出的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】选项A，因为，不符合题意，故不正确；
选项B，因为，即，不符合题意，故不正确；
选项C，因为，符合题意，故正确；
选项D，因为，不符合题意，故不正确.
综上C正确.
故选：C
5．下列函数既是奇函数又在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数解析式的形式以及函数性质判断.
【详解】A.是偶函数，故不成立；
B.，所以不是奇函数，故不成立；
C.的定义域是，并且，所以函数是奇函数，并且，，所以函数在并不是单调递增函数，故不成立；
D. 的定义域是，并且，所以函数是奇函数，
并且函数在都是增函数，所以满足增函数+增函数=增函数，故D成立.
故选：D
6．集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】B
【分析】解不等式求得集合，进而求得正确答案.
【详解】由解得，而，则，
其子集的个数为.
故选：B
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析的单调性，利用单调性即可解得不等式.
【详解】当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且；
故在上单调递减，所以，解得．
故选：A．
8．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】运用参变分离的方法得对恒成立，再构造函数，由二次函数的最值可得选项.
【详解】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ，
故实数的取值范围是，
故选：C.
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，运用参变分离，构造函数求其构造的函数最值，得到参数的范围，是解决此类问题的常用方法，属于中档题.
二、多选题
9．下列四个关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．空集
【答案】CD
【分析】由元素与集合，集合与集合的关系即可判断.
【详解】对于A，元素与集合的关系，符号运用错误；
对于B，集合与集合的关系，符号运用错误；
对于CD，集合的包含关系，正确.
故选：CD
10．（多选）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若正实数x，y满足，则的最小值为8
C．的最小值为2
D．函数（）的最大值是0
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，∵，，，
则，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为8，故B正确，
对于C，令，，
在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，
对于D，当时，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，即函数y的最大值为0，故D正确．
故选：BD．
11．定义在上的偶函数在内单调递减，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断BC选项.
【详解】因为定义在上的偶函数在内单调递减，则函数在内单调递增，
对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，当时，，D错.
故选：ABD.
12．设，用表示不超过的最大整数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（ ）
A．是偶函数B．最小值是1
C．值域是D．是单调函数
【答案】ABD
【分析】对于A，通过计算并比较的值，进而判断；对于B，举例判断即可；对于CD，分，，，，5种情况讨论分析求解即可.
【详解】对于A，因为，，
所以，故不为偶函数，故A错误；
对于B，由A知，，所以最小值不是1，故B错误；
对于C，当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，所以值域是，故C正确；
对于D，由C可知，函数不是单调函数，故D错误.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知函数，则＝ .
【答案】
【分析】根据分段函数的函数解析式代入求值即可.
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：
14．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ．.
【答案】（1，+∞）．
【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B，列不等式组运算得解
【详解】由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，
得：A B，
即，即m＞1，
故答案为：（1，+∞）．
【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题．
15．若，，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
16．已知定义在R上的函数同时满足以下两个条件：
①对任意，都有；
②对任意且，都有.
则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据，变形，可构造，根据题意，可得函数的奇偶性和单调性，由此解不等式，可得答案．
【详解】由，可得：，
令，则，即函数为偶函数，
因为对任意且，都有，
不妨设，则有，即，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
由，得，即，
因为函数为偶函数，所以，
则，解得或，
则不等式的解集为.
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合.
（1）若，求、；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.
【详解】（1），，
（2），
①若；
②若.
综上所述，.
【点睛】本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补全完整函数的图像；
（2）根据（1）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间；
（3）直接写出函数的解析式．
【答案】(1)答案见解析； (2) 单调递增区间为：，单调递减区间为：和
(3)
【解析】（1）根据奇函数图像关于原点对称，即可画图；
（2）根据图像得到函数的单调区间；
（3）利用奇函数的性质，即可求得的解析式.
【详解】(1)如图所示,根据奇函数图像关于原点对称，即可画出图像，
（2）根据图像得：的单调递增区间为：，
单调递减区间为：和
（3）当时，，则有
∴函数的解析式为：
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，画函数图像，求单调区间，求函数解析式，属于容易题.
19．已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值；
(2)若，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；
（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.
【详解】（1）关于x的不等式的解集为或
即方程的根为，
，
解得；
（2）由（1）得关于的不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．已知函数f（x）＝x＋，且此函数的图象过点（1，5）．
（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[2，＋∞）上的单调性，证明你的结论．
【答案】（1）m＝4，奇函数；（2）f（x）在[2，＋∞）上单调递增，证明见解析．
【详解】试题分析：（1）函数图象过点（1，5）将此点代入函数关系式求出m的值即可，因为函数定义域关于原点对称，需要判断函数是否满足关系式或者．满足前者为偶函数，满足后者为奇函数，否则不具有奇偶性．此题也可以将看做与两个函数的和，由的奇偶性判断出的奇偶性．（2）利用函数单调性的定义式：区间上的时，的正负来确定函数在区间上的单调性．
试题解析：（1）（1）∵f（x）过点（1，5），
∴1＋m＝5⇒m＝4．
对于f（x）＝x＋，∵x≠0，
∴f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．
∴f（x）为奇函数．
另解：，，定义域均与定义域相同，因为为奇函数，因此可以得出也为奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈[2，＋∞）且x1则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．
∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0．
∴f（x1）－f（x2）<0．
∴f（x）在[2，＋∞）上单调递增．
【解析】1、求函数表达式；2、证明函数的奇偶性；3、证明函数的单调性．
21．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：
(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】(1)；
(2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.
【详解】（1）由题得利润等于收入减去成本.
当时，；
当时，.
（2）当时，时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
时，的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
22．已知函数是二次函数，不等式的解集为，且.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值的解析式；
(3)设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意设出，结合求出a，即得答案；
（2）分类讨论t的取值范围，根据函数图象的对称轴和所给区间的位置，即可确定函数的最大值；
（3）结合题意将原问题化为对任意恒成立，利用换元法，并结合二次函数性质求得函数的最小值，继而解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意函数是二次函数，不等式的解集为，
可知为的两根，故设，且，
由得，
故；
（2）由可知函数图象的对称轴为，图像开口向下；
当时，函数在上单调递增，故，
当时，，
故；
（3）由题意知，
因为对任意，均成立，
故对任意恒成立，
即，即对任意恒成立，
令，则，
该函数图象对称轴为，开口向下，故当时，，
即，即，
解得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于求解不等式恒成立问题时，要注意分离参数，即将原问题转化为对任意恒成立，进而转化为求解二次函数的最值问题.