2022-2023学年广东省深圳市南头中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市南头中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合A，B和全集U={1，2，3，4}，且A={1，2，3}，B={3，4}，则（    ）

A．{4} B． C．{3，4} D．{3}

【答案】A

【分析】求出，再求交集即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

2．不等式的解集为（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】，

故选：D

3．设R，则“＞1”是“＞1”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件

【解析】充分条件与必要条件

4．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

5．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质对选项逐一分析

【详解】对于A，，故A正确

B，C，D均不成立，可举反例，取，

故选：A

6．设函数，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】利用的值来求得的值.

【详解】，

.

故选：C

7．已知aR，函数，若，则a的值为（    ）

A．3 B．1 C．-4 D．2

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，求得，结合，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

则，解得.

故选：D.

8．已知，是定义在上的减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据分段函数的单调性列式可解得结果.

【详解】因为，是定义在上的减函数，

所以，解得.

故选：D

【点睛】本题考查了分段函数的单调性，属于基础题.

二、多选题

9．已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.

【详解】由题得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正确：

，故BC错误；

因为，，故D正确，.

故选：AD.

10．下列与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】CD

【分析】依次计算每个函数的定义域和化简解析式，对比得到答案.

【详解】的定义域为，的定义域为，故不是同一个函数，A错误；

的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数，B错误；

，定义域为，，定义域为，故为同一个函数，C正确；

定义域为R，，定义域为R，故为同一个函数，D正确.

故选：CD.

11．若函数是幂函数，则一定（    ）

A．是偶函数

B．是奇函数

C．在上单调递减

D．在上单调递增

【答案】BD

【分析】根据幂函数的定义，列出方程，求解即可判断.

【详解】因为函数是幂函数，所以，

解得，所以，由幂函数性质知是奇函数且单调递增，

故选：BD.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的单调递增区间为（-1，0），（1，+）

C．当时， D．的解集为（-，-1）（1，+）

【答案】BC

【分析】根据奇函数的性质可得，再根据函数的单调性及可得出函数值为正负时，的范围，从而可判断BD，根据奇函数的定义求出时函数的解析式即可判断C.

【详解】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，故A错误；

因为函数在都是增函数，

所以函数在是增函数，

又，则当时，，当时，，

当时，，当时，，

则函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+），故B正确；

当时，则，

，

所以当时，，故C正确；

若，则或，

所以或，

即不等式的解集为，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域为____________________．

【答案】

【分析】只需解不等式组即可.

【详解】，

，解得，且.

所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题意可得，是真命题，则，解不等式即可得出答案.

【详解】∵命题，为假命题，

∴，是真命题，

∴方程有实数根，则，解得.

故答案为：

15．设，则与的大小为______.

【答案】

【分析】由幂函数的单调性判断，

【详解】幂函数在上单调递增，而，则，

故答案为：

16．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．

【答案】{k|－3<k≤1}

【分析】分k＝1和k≠1讨论，利用判别式可得答案.

【详解】当k＝1时，－1<0恒成立；

当k≠1时，由题意得，解得－3<k<1.

因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}．

四、解答题

17．已知集合，：

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，得到集合，即可求解；

（2）由题意可知：是的真子集，即可得到关于的不等式组，求解即可得到结果.

【详解】（1），∴，∴或，

∴.

（2）由题意知：由能得到，而由不能得到，

故：是的真子集，

当时，，即；

当时，有且等号不同时成立，即：，

综上：的取值范围是：.

18．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求y=x（13x）的最大值.

【答案】（1）7；（2）.

【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；

（2）化简y=×3x（13x）,再利用基本不等式求解.

【详解】（1）∵，即，

，

当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7.

（2）∵0<x<，∴1-3x>0.∴y=x（13x）=×3x（13x）

.当且仅当3x=13x，即x=时，等号成立.

∴当x=时，y=x（13x）取得最大值.

19．已知函数.

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）；

(2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}.

【答案】(1)答案见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为和

(2)M={m|m>4或m=0}.

【分析】（1）化简函数的解析式，再画出函数的图象，即得函数的单调区间；

（2）当 时，取最大值4，利用数形结合分析得解.

【详解】（1）当时，得或 ， ，

当时，得，，

即.

函数的图象如图所示，单调递增区间为和，单调递减区间为和.

（2）当 时， ，

当时，取最大值4.

由题意可知，函数与y=m的图象有两个不同的交点，

故集合M={m|m>4或m=0}.

20．已知A､B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.

(1)把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；

(2)求汽车行驶5小时与A地的距离.

【答案】(1)；

(2)75千米.

【分析】（1）对分三种情况讨论得解；

（2）把代入函数的解析式即得解.

【详解】（1）由题意得A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B须要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时.

∴当0≤t≤2.5时，x=60t；

当2.5＜t≤3.5时，x=150；

当3.5＜t≤6.5时，x=15050（t3.5）；

故

（2）当t=5时，x=50×5+325=75，即汽车行驶5小时离A地75千米.

21．已知.

(1)用函数单调性的定义证明：在单调递增；

(2)解不等式：.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；

（2）先求出，再利用函数的单调性得到，解不等式得解.

【详解】（1），且，则，

，则，且，

，即在单调递增.

（2）由，即，

在卓调递增，要使，

，即，解得，

不等式的解集为.

22．已知函数，，.

(1)当时，求函数（）的值域；

(2)若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）当，求出，利用换元法结合二次函数的性质即可求解；

（2）将不等式整理可得恰有个整数解，可得，即或，分别讨论时整数解为，，当时整数解为，，列不等式再解不等式即可求解.

【详解】（1）当，，

令，因为，所以，

所以函数（）的值域为.

（2）由题意可得，则，

恰有个整数解，

所以，即或，

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解即：，，

所以，，解得：，

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解即：，，

所以，，解得：，

综上所述：或.