2023-2024学年广东省深圳市龙华中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙华中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据并集的知识确定正确答案.
【详解】.
故选：B
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】全称命题的否定是特称命题
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B
3．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，根据对称轴右侧递增列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数，开口向上，其对称轴，
∵在上是增函数，
∴，即实数的取值范围为，
故选D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性问题，注意开口方向和对称轴，属于基础题．
4．函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到函数在上是增函数，，进而结合函数的单调性和对称性求得答案.
【详解】因为函数且在上是增函数，，所以函数在上是增函数，.
于是，时，；时，；时，；时，.
所以，的解集为.
故选：D.
5．已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】构造，确定函数为奇函数，得到，计算得到答案.
【详解】，设，函数定义域为，
，函数为奇函数，，
，，故.
故选：B.
6．已知，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】解：因为，即，
，，
所以.
故选：D
7．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点存在定理判断．
【详解】易知函数是增函数，，，
因此有唯一零点 在区间上，
故选：C．
8．已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组，求出其解后可得正确的选项.
【详解】因为为上的减函数，所以，解得，
故选：A.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，
由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
11．设，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据对数的运算法则及性质逐一判断各选项即可.
【详解】已知，，
对于A，，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误；
故选：AC.
12．定义在上的奇函数，满足且在上单调递减，，则（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的周期为6
C．
D．设，和的图象所有交点横坐标之和为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件及奇函数的定义，利用函数的对称性及周期性，作出函数的图象，再利用数形结合即可求解.
【详解】因为定义在上的函数，满足，
所以，
所以函数图象关于直线对称，故A正确；
因为定义在上的奇函数，满足，
所以，即，于是有，
所以函数的周期为，故B错误；
，故C正确；
因为定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
所以在上单调递减，，
则函数图象关于直线对称，函数图象也关于直线对称，
作出函数和的图象，如图所示
由图可知，函数和的图象共有交点，则函数和的图象的交点关于对称，
所以，即，
所以和的图象所有交点横坐标之和为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
【答案】2
【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值.
【详解】由题设，，即，解得或，
当时，，此时函数在上递增，不合题意；
当时，，此时函数在上递减，符合题设.
综上，.
故答案为：2
14．函数的定义域是 .
【答案】且
【解析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案.
【详解】由题意得，解得且，所以定义域为：且
故答案为：且
15．函数的单调减区间是 .
【答案】
【分析】求出函数的定义域根据复合函数单调性的判断方法可得答案.
【详解】由得函数的定义域为，
为开口向下、对称轴为的抛物线，
又为增函数，由复合函数单调性的判断方法得，
当时是减函数，
所以的单调减区间为.
故答案为：.
16．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
【详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：
四、问答题
17．计算.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据指数运算性质化简求值；
（2）根据对数运算性质化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18．已知关于x的不等式的解集为或（）.
(1)求a，b的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
五、证明题
19．已知函数．
(1)判断的奇偶性并证明．
(2)当时，判断的单调性并证明．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可；
（2）根据定义法作差变形判定符号即可.
【详解】（1）为奇函数，
证明：函数的定义域为，关于坐标原点对称，
，
故为奇函数.
（2）当时，单调递增，
证明：任取，，且，
则
，
∵，∴，，，
∴，所以在上单调递增.
六、问答题
20．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用偶函数的意义求出时，的解析式即可作答.
（2）求出函数在时的单调性，再借助偶函数列出不等式，求解作答.
【详解】（1）当时，有，而是偶函数，则，
所以函数的解析式是.
（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，
由得：，于是得，
即有，整理得：，解得，
所以不等式的解集为.
21．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的油速（单位：m/s）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；
(2)假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值.
【答案】(1)8100
(2)
【分析】（1）将游速为2m/s代入可解出鱼的耗氧量的单位数；
（2）先根据追及问题表示出甲乙的速度差，然后根据可求出各自的耗氧量的单位数的比值.
【详解】（1）由题意得，得.
故该鱼的耗氧量的单位数为8100.
（2）设甲鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为，乙鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为.
由题意得，则，
得，得.
22．已知函数．
(1)若是偶函数，求a的值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；
（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
即，故．
（2）由题意知在上恒成立，
则，又因为，所以，
则．令，则，
可得，
又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．