广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试卷

这是一份广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试卷，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A . ①是棱台 B . ②是圆台 C . ③是棱锥 D . ④不是棱柱
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
3. 复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A . B . C . D .
4. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现 ， 根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
5. 已知平面向量 ， ， 若 ， 则（ ）
A . B . 0 C . D .
6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A . B . C . D .
7. 蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A . 平方米 B . 平方米 C . 平方米 D . 平方米
8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且 ， 弦均过点 ， 则下列说法错误的是（ ）
A . 为定值 B . 当时，为定值 C . 的取值范围是 D . 的最大值为12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. （多选）下列命题中的真命题是（ ）
A . 若直线不在平面内，则 B . 若直线上有无数个点不在平面内，则 C . 若 ， 则直线与平面内任何一条直线都没有公共点 D . 平行于同一平面的两直线可以相交
10. 如图，正方体 的棱长为1，动点E在线段 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A . B . 平面 C . 存在点E，使得平面 平面 D . 三棱锥 的体积为定值
11. 设的内角的对边分别为 ， ， ， 下列结论正确的是（ ）
A . 若 ， 则满足条件的三角形只有1个 B . 面积的最大值为 C . 周长的最大值为 D . 若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为.
13. 已知 ， 且 ， i为虚数单位，则的最小值是.
14. 在三棱锥中，平面 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且 ．
（1） 求小岛与小岛之间的距离；
（2） 记为 ， 为 ， 求的值．
16. 如图：在正方体中 ， 为的中点．
（1） 求三棱锥的体积；
（2） 求证：平面；
（3） 若为的中点，求证：平面平面 ．
17. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ， ．
（1） 证明： 平面 ；
（2） 若 是棱 的中点，在棱 上是否存在一点 ，使DE∥平面 ？证明你的结论．
18. 已知向量 ， ， 且.
（1） 求的值；
（2） 求的取值范围；
（3） 记函数 ， 若的最小值为 ， 求实数的值.
19. 在中，对应的边分别为 ，
（1） 求；
（2） 奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为 ， 借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.