2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：C
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的奇偶性以及单调性，即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A,由指数函数的性质可知为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，由反比例函数的性质可知在和均为单调递减函数，故B错误，
对于C，的定义域为，由于所以为偶函数，故C错误，
对于D，的定义域为，且，故为奇函数，又为上的单调递增函数，故D正确，
故选：D
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合，从充分性和必要性两方面考虑即可.
【详解】由函数，其在单调递减，单调递增，
则当时，能推出；
当时，只能推出，不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数是上的增函数可判断，的大小；指数函数是R上的减函数可判断，的大小；得解.
【详解】是上的增函数，，即；
又是R上的减函数，，即；
.
故选：A.
5．已知函数的定义域为，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为不等式的解集为，结合根与系数的关系，求得的值，再结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数的定义域为，
即不等式的解集为，所以和是方程两个根，
可得且，解得，所以，
因为，所以函数的值域为.
故选：D.
6．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合，即可求解.
【详解】由且，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解.
【详解】当时，函数，
若函数当时，，
当时，，此时函数的最大值为4，符合要求，
当时，在上单调递减，故，
若有最大值，则，则，
综上可知，
故选：A
8．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出函数的定义域，计算，进而判断函数的单调性，利用函数的单调性进行转化求解即可．
【详解】由得，得，即函数的定义域为，
，
则,
,
由于函数均为的单调递减函数，所以为的单调递减函数
即函数在上为减函数，
由得得，
解得，
故选：B
二、多选题
9．若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于AC，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断，对于D，利用指数函数的单调性判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A正确，
对于B，若，则满足，此时，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，即，所以C正确，
对于D，因为在上递增，且，所以，所以D正确，
故选：ACD
10．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．不等式的解集为
C．的单调增区间为D．当时，方程有三个不等根
【答案】ABD
【分析】根据分段函数表达式，作出函数图象，即可结合图象，逐一求解.
【详解】作出的图象如下：
对于A，，A正确，
对于B，令，解得或或，结合函数图象可知：
的解集为，B正确，
对于C，的单调减区间为，故C错误，
对于D，，故当方程有三个不等根时，，D正确，
故选：ABD
11．已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．在区间上单调递减D．
【答案】AB
【分析】由奇函数及，取，即可判断A，结合奇函数即可判断B，结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD.
【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，
又图象关于对称，则，
令，则，A正确；
由，得，
则，B正确
为奇函数，时，单调递减，则其在单调递减，
又图象关于对称，
则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，
即在区间上单调递增，C错误；
则，则，
则周期为4，则在的单调性与在的单调性相同，
即在的单调递减，则，，
则，D错误.
故选：AB
12．指数与对数的研究常常结合进行，例如：已知，则可得到，因此；仿照上述步骤，结合，等指数不等式，可以得到（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数与对数的互化，即可根据指数不等式求解.
【详解】由得，
由得，
因此，故B正确，
由得，
由得，
所以，故D正确，
故选：BD
三、填空题
13．已知，且，则的最大值为
【答案】/
【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，
故答案为：
14．函数的单调递减区间为
【答案】
【分析】根据指数复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】的定义域为,且是由函数和符合而成，
由于函数在递增，而在定义域内为单调递减，
故的单调递减区间为，
故答案为：
15．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为
【答案】
【分析】由函数为偶函数可将原不等化为，再根据函数在上单调递增，可得，从而可求得结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以可化为，
因为在上单调递增，
所以，所以，
即，解得，
所以原不等式的解集为，
故答案为：.
16．已知函数，若对，都有，则的取值范围为
【答案】
【分析】由题意将问题转化为 在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围.
【详解】当时，在上递增，
因为对，都有，
所以，所以，
所以，解得；
当时，在上递减，
因为对，都有，
所以，所以，
所以，解得；
综上，或，
即的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，分别求出集合的解集，然后利用集合补集即可求解；
（2）根据分情况讨论集合，从而求解.
【详解】（1）当时，，
所以：.
（2）因为，所以有：，两种情况，
若时，即：，得：.
若时，即：，解得：.
综上所述：的取值范围为：.
18．已知
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)求不等式的解集
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解，
（2）分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解.
【详解】（1）恒成立，则对恒成立，故，化简得，
解得，
故实数的取值范围
（2），即，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为
19．某公司经过调研知：某产品年产量最大为件，生产该产品年固定成本为万元，年产量为件时另需投入可变成本（单位：万元），若，每件产品的售价为1万元，且生产的产品能够全部销售完
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元.
【分析】（1）根据条件即可建立年利润关于年产量（件）的函数解析式；
（2）根据函数的表达式，利用二次函数的性质及基本不等式即可求出最大值．
【详解】（1）由题意可得，
所以．
（2）当，时，．
当时，取得最大值．
当，时，．
当，即时，取得最大值．
综上，当时，取得最大值86，即年产量为800件时，该公司所获利润最大,最大利润为86万元．
20．已知函数
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若，使得，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用换元法，结合二次函数的最值即可求解；
（2）应用换元法，即二次函数在有图像在轴下方，即可求解.
【详解】（1）当时，，
令，，则，
开口向上，对称轴为，离对称轴较远，
则，，
即在区间上的值域为
（2）函数，
令，
则开口向上，对称轴为，
若，使得，又，
即，使得，
当时，则需,即，
当时，需，解得
则实数的取值范围.
21．已知函数是奇函数
(1)求的值；
(2)利用定义判断的单调性；
(3)若，解不等式：
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由奇函数得解得，再验证定义域是否关于原点对称即可；
（2）利用定义作差变形，结合对数函数的单调性利用作差比较法判断的符号；
（3）设，不等式变形为，再利用单调性求解.
【详解】（1）因为函数是奇函数，则，
所以，
则有，解得，
当时，，
由于定义域为，不关于原点对称，故舍去；
当时，，
由，解得，或，
定义域为，关于原点对称，满足题意.
综上，若函数是奇函数，则.
（2），.
任取，且，
则
因为，所以，
又，
，，
则，即，
故在区间上单调递增.
由是奇函数，则在区间上也单调递增.
所以在区间上单调递增，在区间上也单调递增.
（3）设，且，
则不等式，
当时，函数单调递增，函数也单调递增，
则在区间单调递增，
所以有，解得,
故原不等式的解集为
22．已知
(1)讨论的奇偶性；
(2)若在上的最大值为，求的值
【答案】(1)当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数
(2)3或4
【分析】（1）分与结合函数奇偶性的定义进行判断；
（2）将表示为分段函数，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，函数的单调性即可求解.
【详解】（1）依题知函数的定义域为，
当时，，则，此时为奇函数；
当时，，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
（2）由，
，开口向上，对称轴为，
，开口向下，对称轴为，
当时，在单调递增，则，解得（舍去）；
则当时，，则在单调递减，单调递增，
又，，则，，则（舍去）；
当，，则在单调递增，单调递减，单调递增，
，，
若，即，解得，
即在时，，，则；
当，，则；
当时，，则在单调递增，单调递减，
，则（舍去）；
当，，则在单调递增，，则（舍去）.
综上：的值为3或4.