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2023-2024学年江苏省徐州市沛县沛城高级中学高一上学期第一次学情调研数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省徐州市沛县沛城高级中学高一上学期第一次学情调研数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
3．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的大小无法确定
【答案】C
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
5．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即
则有，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
8．设命题；命题.若是非的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据分式不等式以及二次不等式的解法，结合命题的逻辑用语，可得答案.
【详解】由，得或或；由，
得非或是非的必要不充分条件，
或或，，且等号不同时成立，解得，
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．；
B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合；
C．集合有两个元素；
D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.
【答案】BC
【分析】区分0，的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D．
【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；
对于B，根据集合定义知，某中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确；
对于C，由于方程的判别式，故方程有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确；
对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误，
故选：BC．
10．下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：或，q：方程有两个不同的实数根
B．p：，q：
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：，q：
【答案】AD
【分析】依次判断P与q之间关系即可.
【详解】A选项，若或
则方程判别式，得方程有两个不同的实数根，则.若方程有两个不同的实数根，则
或，则.故p是q的充要条件，故A正确；
B选项，若，则，得，则.
若，则或，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误；
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由，可得，则.由，可得，则.故p是q的充要条件，故D正确.
故选：AD
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得.
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为2
【答案】AB
【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.
【详解】对于选项A，，所以对，都有，故选项A正确；
对于选项B，当时，，故选项B正确；
对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；
对于选项D，，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.
故选：AB
12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以表示为形式
C．若不等式的解集恰为，则或
D．若不等式的解集恰为，则
【答案】AD
【分析】A. 假设有解，求判别式可得b的范围；
B项作图，即可得到；
对于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有，即可解得b的值，然后检验a的值即可.
【详解】A选项，若 有解，即有解，
则有，，
所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为；
B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成；
C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.
则必有，即，解得，或.
又因为在R上的最小值为，则应有且.
当时，有.
即，解得，或，与不相符，舍去；
当时，有.
即，解得，a=0或a=4（舍去）.
所以，a=0,b=4.
故选：AD.
三、填空题
13．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】应用集合并运算求集合即可.
【详解】由题设，又，所以.
故答案为：
14．不等式 的解集为 ．
【答案】或
【分析】根据一元二次不等式的解集公式可直接求得结果.
【详解】不等式可化为，
解得或，
∴原不等式的解集为或.
故答案为：或.
15．已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分别求解两个方程有实根的情况，结合题意可得答案.
【详解】当有实根时，，解得；
当有实根时，，解得；
因为两个方程至少有一个有实根，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．命题“，关于的不等式 < 5成立”为假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再结合均值不等式求解作答.
【详解】依题意，命题“，关于的不等式成立”，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由交集结果知，结合集合的描述易知方程的两根为或，应用韦达定理求参数；
（2）由并集结果知，讨论、，结合判别式、根与系数关系求参数，注意验证所得参数.
【详解】（1）由方程，解得或，所以，
由，而，故，
即方程的两根为或，
利用韦达定理得：，即；
（2）由已知得，又，
时，则，即，解得或；
时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
18．（1）已知，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为1，
（2）由于，所以，
当且仅当等号成立，又，故当时等号成立，故最小值为9.
19．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）解：若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
即实数的取值范围为.
20．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到横线处，若_______，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用并集的定义计算即可；
（2）根据题意得到集合和集合的包含关系，再利用包含关系列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，集合，，
所以.
（2）若选择①，，则，
因为，所以，
又，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则为B真子集
因为，所以，
又，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
若选择③，，因为，，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
21．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．
(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；
(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.
【答案】(1)
(2)，118000元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；
（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，且，则，
则
（2）由（1）可知，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，当米时，元.
22．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数．
(1)设，都是正实数，且，求；
(2)解不等式：；
(3)设，都是正实数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
（2）分段讨论得出，然后解不等式即可；
（3）设出后由基本不等式进行求解.
【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立，
故；
（2）令，得，
当时，当时，
而即恒成立，
故，
可化为或或，
解得，故原不等式的解集为；
（3）设，由题意得，
则，
当且仅当即时等号同时成立，
故的最小值为．
一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
3．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的大小无法确定
【答案】C
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
5．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即
则有，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
8．设命题；命题.若是非的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据分式不等式以及二次不等式的解法，结合命题的逻辑用语，可得答案.
【详解】由，得或或；由，
得非或是非的必要不充分条件，
或或，，且等号不同时成立，解得，
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．；
B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合；
C．集合有两个元素；
D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.
【答案】BC
【分析】区分0，的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D．
【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误；
对于B，根据集合定义知，某中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确；
对于C，由于方程的判别式，故方程有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确；
对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误，
故选：BC．
10．下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：或，q：方程有两个不同的实数根
B．p：，q：
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：，q：
【答案】AD
【分析】依次判断P与q之间关系即可.
【详解】A选项，若或
则方程判别式，得方程有两个不同的实数根，则.若方程有两个不同的实数根，则
或，则.故p是q的充要条件，故A正确；
B选项，若，则，得，则.
若，则或，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误；
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由，可得，则.由，可得，则.故p是q的充要条件，故D正确.
故选：AD
11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得.
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为2
【答案】AB
【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.
【详解】对于选项A，，所以对，都有，故选项A正确；
对于选项B，当时，，故选项B正确；
对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；
对于选项D，，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.
故选：AB
12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集可以表示为形式
C．若不等式的解集恰为，则或
D．若不等式的解集恰为，则
【答案】AD
【分析】A. 假设有解，求判别式可得b的范围；
B项作图，即可得到；
对于C、D两项，由题目可转化为，二次函数的给定范围与函数值范围相同，则应有，即可解得b的值，然后检验a的值即可.
【详解】A选项，若 有解，即有解，
则有，，
所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为；
B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成；
C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.
则必有，即，解得，或.
又因为在R上的最小值为，则应有且.
当时，有.
即，解得，或，与不相符，舍去；
当时，有.
即，解得，a=0或a=4（舍去）.
所以，a=0,b=4.
故选：AD.
三、填空题
13．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】应用集合并运算求集合即可.
【详解】由题设，又，所以.
故答案为：
14．不等式 的解集为 ．
【答案】或
【分析】根据一元二次不等式的解集公式可直接求得结果.
【详解】不等式可化为，
解得或，
∴原不等式的解集为或.
故答案为：或.
15．已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分别求解两个方程有实根的情况，结合题意可得答案.
【详解】当有实根时，，解得；
当有实根时，，解得；
因为两个方程至少有一个有实根，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．命题“，关于的不等式 < 5成立”为假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出给定命题的否定，再结合均值不等式求解作答.
【详解】依题意，命题“，关于的不等式成立”，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由交集结果知，结合集合的描述易知方程的两根为或，应用韦达定理求参数；
（2）由并集结果知，讨论、，结合判别式、根与系数关系求参数，注意验证所得参数.
【详解】（1）由方程，解得或，所以，
由，而，故，
即方程的两根为或，
利用韦达定理得：，即；
（2）由已知得，又，
时，则，即，解得或；
时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
18．（1）已知，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为1，
（2）由于，所以，
当且仅当等号成立，又，故当时等号成立，故最小值为9.
19．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）解：若“”是“”的充分不必要条件，即，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
即实数的取值范围为.
20．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到横线处，若_______，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用并集的定义计算即可；
（2）根据题意得到集合和集合的包含关系，再利用包含关系列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，集合，，
所以.
（2）若选择①，，则，
因为，所以，
又，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则为B真子集
因为，所以，
又，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
若选择③，，因为，，
所以或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
21．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．
(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；
(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.
【答案】(1)
(2)，118000元
【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；
（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，且，则，
则
（2）由（1）可知，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，当米时，元.
22．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数．
(1)设，都是正实数，且，求；
(2)解不等式：；
(3)设，都是正实数，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
（2）分段讨论得出，然后解不等式即可；
（3）设出后由基本不等式进行求解.
【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立，
故；
（2）令，得，
当时，当时，
而即恒成立，
故，
可化为或或，
解得，故原不等式的解集为；
（3）设，由题意得，
则，
当且仅当即时等号同时成立，
故的最小值为．
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