2023-2024学年河南省新高中创新联盟TOP二十名校高一上学期11月调研考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省新高中创新联盟TOP二十名校高一上学期11月调研考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先对集合化简，然后利用交集运算求出，从而确定中元素的个数.
【详解】因为，
所以，所以中元素的个数为2.
故选：B.
2．如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．1或2D．3
【答案】C
【分析】结合函数关系图形即可得到答案.
【详解】由图可知，若，则或2.
故选：C.
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．-27B．27C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.
【详解】设，由题意得，
所以.
故选：D.
4．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】由得，所以，A正确；
，根据指数函数性质，，B正确；
取，则，，C错误；
，所以，D正确.
故选：C.
5．已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A．16B．14C．8D．2
【答案】A
【分析】根据题意，得到，结合集合间的包含关系和子集个数的计算，即可求解.
【详解】由集合，
可得集合中元素有：，，
所以集合的任何一个子集，添加元素后都可以作为集合，
所以符合条件的集合共有个.
故选：A.
6．已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据是定义域为的奇函数，得到，结合题意，即可求解.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
且当时，，当时，，
所以，
所以.
故选：B.
7．若为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据为正数求出第一个不等式成立的必要条件，再根据后面不等式成立举出反例即可.
【详解】易知，因为，则，解得，
所以，即成立，充分性成立；
若，取，此时不成立，故必要性不成立，
故选：A.
8．已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
又因为，且，
可知函数在上单调递增，
可得，所以，
即若，则，，
若对，使得，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握.
二、多选题
9．下列所给命题中，是真命题的是（ ）
A．若，则
B．对
C．，使得是奇函数
D．有些偶数能被3整除
【答案】BCD
【分析】对ACD，特殊值法结合全称量词和存在量词的定义，分析即可；对B，根据二次函数的最小值判断.
【详解】对于成立，但不成立，错误；
对于正确；
对于，当时，是奇函数，正确；
对于是偶数，能被3整除，正确.
故选：.
10．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据集合的运算逐个判断即可.
【详解】或，
对于A：易知，所以A正确；
对于B：，所以B错误；
对于C： ，所以，所以C正确；
对于D：或，所以，所以，所以D错误，
故选：AC.
11．已知函数，则（ ）
A．
B．
C．为偶函数
D．的图象关于点中心对称
【答案】BD
【分析】对A，由的范围得到的范围，进而求出函数的值域；对B，通过运算即可得到答案；对C，根据函数奇偶性的定义即可判断；对D，结合C中的推理即可判断答案.
【详解】对A，因为,则，，
所以.A错误；
对B，
.B正确；
对C，记，
，则函数为奇函数.C错误；
对D，由C可知，为奇函数，则的图象关于点对称，所以的图象关于点中心对称.D正确.
故选：BD.
12．若实数且，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．若，则
C．当时，不可能小于零
D．且
【答案】BCD
【分析】对于A，分和两种情况结合基本不等式讨论即可；对于B，对所给条件等式变形并结合已知有，解不等式组即可；对于C，由结合即可判断；对于D，不妨设，从而有，通过分析可以发现，分和两种情况结合基本不等式讨论即可.
【详解】对于A，当时，，当且仅当时等号成立，
此时不存在，使得，
当时，，当且仅当时等号成立，
但此时，所以不存在使得，A错误；
对于B，由得，
所以，
整理得，
所以，
又，
所以或，
综上，，B正确；
对于C，因为，所以，由，C正确；
对于D，因为，设，代入得，
因为，，
所以，
所以，
当时，由得，
所以，所以；
当时，，
当且仅当时等号成立，，
综上，且，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：运用基本不等式、分类讨论思想以及拥有灵活的公式变形能力是解题的关键.
三、填空题
13．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得其否定.
【详解】根据“”的否定是“，
可得命题“”的否定是“”.
故答案为：
14．已知且，则 .
【答案】/
【分析】由已知条件消去未知数即可.
【详解】由于
所以
故答案为：.
15．给出下列函数：①②；③，其中表示不超过的最大整数；，其中是奇函数或偶函数的序号为 .
【答案】①④
【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，然后判断是否相等或者互为相反数，从而即可求解.
【详解】①因为，所以的定义域为，关于原点对称，
且，所以是奇函数，故①满足题意；
②的定义域为，不关于原点对称，
所以不是奇函数也不是偶函数，故②不满足题意；
③由可得，
而且，故不是偶函数也不是奇函数，故③不满足题意；
④当为有理数时，也为有理数，此时，
当为无理数时，也为无理数，此时，
所以对任意是偶函数，故④满足题意.
故答案为：①④.
16．我国后汉时期的数学家赵爽通过弦图利用出入相补法证明了勾股定理，在我国历史上还有多人通过出入相补法证明过勾股定理，如下图为我国清末数学家华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，在该图中是以为斜边的直角三角形，分别以为边作3个正方形，点在直线上，，记的周长与面积分别为，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，根据，得到，进而得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，
所以，所以，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知集合.
(1)求；
(2)若中有两个元素，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先对集合进行化简，然后再利用集合的交集运算求出；
（2）由中有两个元素，确定集合，然后求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
，
所以.
（2）因为，若中有两个元素，则，
所以，
所以能取到所有非负数，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是.
18．已知函数的定义域为，函数的值域为.
(1)若，求集合；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）由，求出或，再利用二次函数的图像与性质即可求出集合；
（2）根据条件得出，利用二次函数的图像与性质即可求出集合，再利用集合间的包含关系即可求出结果.
【详解】（1）由，解得或，
所以函数的定义域为集合或.
当时，，对称轴为，
因为，
所以，又当时，
所以.
（2）因为 “”是“”的必要不充分条件，
所以，
又因为，，
所以，
又因为或，
所以或，解得或，
故的取值范围为.
19．已知二次函数的图象关于直线对称，且经过点：
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，可设，代入的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）由，得到，根据二次函数的性质可知，得到在上单调递增，结合题意，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：因为二次函数的图象关于直线对称，设，
把点代入可得，解得，
所以，即二次函数的解析式为.
（2）解：因为，且在上的值域为，
所以，可得，
由二次函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为在上的值域为，所以，即，
即是方程的两个根，
又因为，解得.
五、证明题
20．（1）设为正数，求证：；
（2）解关于的不等式：.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）由基本不等式得，，，三式相加即可得证；
（2），即，再从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】（1）因为为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号；
（2）解：，
即，
即，
①当时，的解集为，
②当时，，
等价于，即；
③当时，等价于，
即或，
综上可得：时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法先求出，再得到的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值，然后还是利用赋值法得到的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【详解】（1）函数是奇函数，
证明：因为对，都有
令，可得，解得；
令，则，
令，则，
所以为定义在上的奇函数.
（2）函数在上单调递减，
证明：取，则
可得，
因为所以
所以，
又，
所以，
又当时，，
所以，
所以，即
所以在上单调递减.
（3）因为，且函数是奇函数，
所以
又的定义域为且在上是单调递减的，
所以
所以，解得
所以不等式的解集为.
六、应用题
22．某生活超市经销某种蔬菜，经预测从上架开始的第且天，该蓅菜天销量（单位：）为.已知该种蔬菜进货价格是3元，销售价格是5元，该超市每天销售剩余的该种蔬菜可以全部以2元的价格处理掉.若该生活超市每天都购进该种蔬菜，从上架开始的5天内销售该种蔬菜的总利润为元.
(1)求的解析式；
(2)若从上架开始的5天内，记该种蔬菜按5元售价销售的总销量与总进货量之比为，设，求的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据题意，得到前5天的销量，分和，两种情况讨论，分别求得函数的解析式，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】（1）解：由第天销量为，
可得前5天销量依次为，
当时，可得；
当时，
可得，
所以的解析式为.
（2）解：从上架开始的5天内该种蔬菜的总进货量为，
当时，，可得
则，
因为与在上都是增函数，
所以在上是增函数，所以，.