江苏省建湖高级中学2023-2024学年高一下学期学情检测（2月）数学试题（普通班）

这是一份江苏省建湖高级中学2023-2024学年高一下学期学情检测（2月）数学试题（普通班），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
6. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（ ）
A. 4分钟B. 5分钟C. 6分钟D. 7分钟
7.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A. 116B. 115C. 114D. 113
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且B．若，，则
C．若，则存在实数，使得D．
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点
B. 点P再次进入水中时用时30秒
C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒
11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）.
A. ， B.方程有唯一解
C. 函数有且仅有2个零点
D. 直线与的图象有3个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 函数的定义域为________.
13. 已知，是非零向量，，，则 ．
14.已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
已知.
（1）化简函数；
（2）若，求.

16．（15分）
已知向量，满足，，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)求；
(3)在平行四边形中，若，，求平行四边形ABCD的面积．
17．（15分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值；
（3）若在区间上恰有两个零点、，求.
18．（17分）
已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值并用定义证明函数在上单调递增；
（2）若方程在内有解，求实数的取值范围.
19．（17分）对于函数.
（1）若，且为奇函数，求a的值；
（2）若方程恰有一个实根，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
高一数学学情检测数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.已知，则“”是“”的（ ）条件. A
A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【详解】，设 ， ，令，把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.
6. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（ ）
A. 4分钟B. 5分钟C. 6分钟D. 7分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，，，
因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，
所以，解得，则，
所以要使得该茶降至，即，则有，得，
故，
所以大约需要等待6分钟.
故选：C.
7.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选：A
8.已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A. 116B. 115C. 114D. 113
【答案】C
【解析】
【分析】由可得函数的周期为，
再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，
，
所以
故选：.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且B．若，，则
C．若，则存在实数，使得D．
【答案】ABC
10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A. 点P再次进入水中时用时30秒
B. 当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C. 当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D. 点P第二次到达距水面米时用时25秒
【答案】ACD
【解析】
【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）.
A. ，
B. 方程有唯一解
C. 函数有且仅有2个零点
D. 直线与的图象有3个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】A项，作出函数图象即可得出结论；B项，将零点问题转化为与的交点，作出函数即可得出零点个数；C项，根据函数得出函数的表达式，作出两函数图象即可得出方程的解的个数；D项，作出直线与两函数图象即可得出交点个数.
【详解】由题意，
A项，在中，作出函数图象如下图所示，

由上图可知，，故正确；
B项，在中，当时，，
即与交点，
作出函数图象如下，

可知函数有且仅有2个零点，B正确；
C项，在中，
作出两函数的图象如下图所示，

∴两函数有4个交点，方程有4解，
∴方程不止有唯一解，故C错误；
D项，

由图可知，直线与的图象有3个交点，D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 函数的定义域为________.
【答案】
13. 已知，是非零向量，，，则 ．
【答案】
14.已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可.
【详解】当时，的图象如图所示，
则，令，则方程为，即，，
又，当时，若方程在内有两个不同的解，只需只有一解，即函数与，只有一个交点，
又函数在上单调递减，所以，
即；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意；
当时，若方程在内有两个不同的解，
只需有两个不同的解，
即函数与，有两个不同的个交点，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
已知.
（1）化简函数；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）1
16．（15分）
已知向量，满足，，．
(1)求与夹角的余弦值；
(2)求；
(3)在平行四边形中，若，，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)12
17．（15分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值；
（3）若在区间上恰有两个零点、，求.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式；
（2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值；
（3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【小问1详解】
由图象可知，函数的最小正周期满足，则，，
所以，，则，可得，
因为，则，所以，，解得，
因此，.
【小问2详解】
因为，则，所以，，即，
所以的最大值为，最小值为.
【小问3详解】
因为，当时，，
令，所以，
因为在区间上恰有两个零点、，
函数图象在区间内的对称轴为直线，
由正弦型函数对称性可知，点、关于直线对称，则，
所以，
由得，，
所以，
所以.
18．（17分）
已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值并用定义证明函数在上单调递增；
（2）若方程在内有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数性质求解，检验即可，根据单调性的定义证明即可；
（2）根据函数性质把原问题转化为，构造函数，根据二次函数值域及指数函数单调性求解值域即可求解.
【小问1详解】
因为函数是上的奇函数，则，
于是得，解得，所以，
满足，
函数在上单调递增，证明如下：，，，，
因为函数在上单调递增，又，则，于是得，
即，所以在上单调递增.
【小问2详解】
由是上的奇函数，可化为，
由在上单调递增可得，即，
，则，令，
当，即时，，又，
所以当时，，所以实数的取值范围是.
19．（17分）对于函数.
（1）若，且为奇函数，求a的值；
（2）若方程恰有一个实根，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得；
（2）由题可得，分类讨论可得；
（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.
【小问1详解】
∵，
∴，又奇函数，
∴，
∴，对定义域内任意恒成立，
∴，解得，
此时，定义域为符合奇函数的条件，
所以；
【小问2详解】
方程，
所以，
由①可得，，即，
当时，方程有唯一解，满足②，
所以符合条件；
当时，方程有两相等解，满足②，
所以符合条件；
当且时，方程有两不等解，
若满足②，则，
若满足②，则，
所以当时方程恰有一个实根；
综上，实数的取值范围为；
【小问3详解】
令，则在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
∴，即对任意的恒成立，
设，又，所以函数在单调递增，
所以，
∴.