2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一上学期12月学情调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一上学期12月学情调研数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解对数不等式得到，从而求出交集.
【详解】，
故.
故选：B
2．已知角，那么的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据求出答案.
【详解】，其中，
故的终边在第三象限.
故选：C
3．“”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可。
【详解】可得或
所以“”是“”的必要而不充分条件。
故选：B
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题。
4．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
则，解得.
故选：B
5．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.
【详解】由题意，根据函数的图象，可得，
根据指数函数的图象与性质，
结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.
故选：C.
6．若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.
【详解】依题，令，则，
，
所以
.
故选：A
7．已知幂函数在上单调递减，设， ，则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义得到，求出或0，根据单调性得到，根据指数函数和对数函数单调性得到，，，故，从而根据函数奇偶性和单调性得到答案.
【详解】令，解得或0，
当时，，此时在上单调递减，满足要求，
当时，，此时在上单调递增，不合要求，
故，定义域为，且，
故为偶函数，
，，，
，其中，
由于，故，即.
故选：C
8．若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（ ）
A．在上单调递增
B．
C．当时，的解集为
D．当时，
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个判断.
【详解】由是定义在上的奇函数得，
由是偶函数得，即关于对称，
结合是奇函数可得关于对称，
∴，∴ ，∴函数的周期为8.
当时，，则在（1个周期）的图象如图所示.

对A，由图易得，在上单调递减，A错；
对B，由函数的奇偶性、对称性和周期性可得，B错；
对C，由图以及函数关于对称可知，满足，故C错误.
对D，当时，，因为函数关于对称，所以，D对.
故选：D.
二、多选题
9．设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最大值D．
【答案】ACD
【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到.
【详解】A选项，由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，即最大值为，B错误；
C选项，，
由B选项得，，故，
故，当且仅当时，等号成立，
有最大值，C正确；
D选项，因为，所以，其中，
故
，
当时，等号成立，故，D正确.
故选：ACD
10．下列正确的是（ ）
A．为锐角，
B．为锐角，
C．若，则
D．若，且，则
【答案】ABD
【分析】结合角的象限可判断AB，应用指对幂的运算公式可判断CD.
【详解】对A，为锐角，则在第一象限，则，A正确；
对B，若，则在第一象限，则，B正确；
对C，，C错误；
对D，，则，同理，
则，解得，D正确.
故选：ABD
11．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间单调递增
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
【答案】AD
【分析】A选项，解指数不等式得到定义域；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，先求出定义域，再根据复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；
B选项，当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，的取值范围是，B错误；
C选项，令，解得，
由于在上单调递减，
故的单调递减区间即为所求，
其中对称轴为，开口向下，
故在区间上单调递增，C错误；
D选项，若函数的值域为，则能够取到所有正数，
当时，能够取到所有正数，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，实数的取值范围是，D正确.
故选：AD
12．在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据角的定义和坐标关系分别求值.
【详解】A项，角终边经过点，则角终边经过点，所以，所以A项错误；
B项，因为，，所以，
因为，，所以，
所以，所以B项正确；
C项，因为，
由三角函数定义可知，，
所以，由解得，，
所以，所以C项正确；
D项，因为，所以，
由解得，，
所以，
所以，所以D项错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题意，化简得，，再结合同角三角函数关系分析即可.
三、填空题
13．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】根据全称命题的否定求解.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故答案为：，
14．已知函数，则的值为 .
【答案】
【分析】计算得出，结合函数解析式可得出，即可得解.
【详解】因为，所以，，
所以，.
故答案为：.
15．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，若经过3分钟后物体的温度为，则经过6分钟后物体的温度为 .
【答案】
【分析】由题知，首先求出k的值，再将代入，结合指、对数运算性质求解即可.
【详解】由题知，3分钟后物体的温度是，即，
则，得，
所以，所以，
将代入可得，
故答案为：.
16．若函数，对恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】.
【分析】结合奇偶性与单调性，应用换元法转化为二次函数恒成立问题求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称；又因为，
所以是上的偶函数；
因为，设，则，因为，所以，
所以，则函数在单调递增，又其为偶函数，
得在单调递减，则对恒成立，
即，
即，
即，
即,
令，
则不等式组化为，
即与都要在上恒成立，
则，解得.
实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】抽象函数不等式问题一般情况要结合奇偶性与单调性求解.
四、解答题
17．如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）点P的横坐标为，
，又，
，
；
（2）.
18．（1）已知，，求 的值；
（2）若锐角满足，求的值.
【答案】（1）；（2）2
【分析】（1）根据指数运算法则得到，两边平方得，再求出，结合诱导公式求出答案；
（2）根据对数运算法则求出，进而变形为齐次式，化弦为切，代入求值.
【详解】（1）∵，
，
，
∴，解得，
，，
，，
，
；
（2），
，
，
故
.
19．设函数（且）的图像经过点，记．
(1)求A；
(2)当时，求函数的最值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由题意可解得，然后根据对数函数的单调性求解不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，由换元法，令，，然后根据二次函数的性质即可求得最值.
【详解】（1）由函数（且）的图像经过点可得，解得，
故，且定义域为{x|x>0}，
由可得，
所以，即，
由，解得，
故．
（2），，
令，，
函数等价转换为，对称轴为．
所以在单调递减，在单调递增，故．
又，，所以．
20．已知二次函数满足，函数，且不等式的解集为．
(1)求，的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设，根据求出，然后根据条件列出方程组，进而求出的值，求出解析式.
（2）由（1）中，通过换元，将不等式对恒成立，转化为对时恒成立，然后利用基本不等式求出结果即可.
【详解】（1）设二次函数，
由得，
由得，
不等式得，
由题意，是方程的两根，
则，解得，
所以，
综上，，.
（2）由（1），
因为，令，
则对恒成立，
故对时恒成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
所以，即实数的取值范围为.
21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，
(1)当时，求函数的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数求出，且，进而求出时的函数解析式；
（2）先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
，当时，则，
由时，函数，
所以，
即，
所以当时，；
（2）不等式，由函数为奇函数，
化为：，即，
当时，在上单调递增，
故在上单调递增，且，
由函数为奇函数，所以在上单调递增，
且，
又∵，
∴在上单调递增，
故有，解得，
综上所述：不等式的解集为.
22．定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
(1)判断函数是否是上的有界函数并说明理由；
(2)已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
(3)若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】(1)是上的有界函数；理由见解析
(2)
(3)存在，答案见解析
【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；
（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.
【详解】（1）是上的有界函数，理由如下：
当时，，
当时，，
由对勾函数性质得或，
或，
或，
∴的值域为，，
∴存在，使得，
所以是上的有界函数；
（2）由题意可知在上恒成立，
，，
即，
∴在上恒成立，
∴．
设，，，
由，得．
∵在上单调递减，在上是单调递增，
∴在上，，．
所以，实数a的取值范围是.
（3），
∵，，
∴在上递增，
根据复合函数的单调性可得在上递减，
∴，
∴h(x)存在上界.
①若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
②若，两边平方整理得，
即时，；此时，即，
综上，当时，；
当时，.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.