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2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二上学期学情调研数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二上学期学情调研数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，解答题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选C.
【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果.
【详解】由题知，椭圆，
则长轴，焦距，
的周长为.
故选：D
3．圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程.
【详解】由题意知，，
所以所求圆的方程为.
故选：B.
4．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案.
【详解】由题知，，
解得，故，
则两点间的距离为.
故选：C
5．若圆与圆相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两圆相交建立不等式求解.
【详解】由圆的方程可知，，，
所以根据两圆相交可得，即或，
故选：C
二、解答题
6．已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，
所以渐近线方程为：，因此，
则实轴与虚轴相等，
又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，
则，即，
因此该双曲线的方程为.
故选：B.
三、单选题
7．已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由，求出点关于x轴的对称点，结合即可求得结果.
【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
作关于x轴的对称点，如图所示，
，当共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8．设，分别为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.
【详解】
根据椭圆以及双曲线的定义可得，，
所以，.
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
所以，.
两边同时开方可得，.
根据不等式的性质，两边同时取倒数可得，.
故选：D.
四、多选题
9．方程表示的曲线中，可以是（ ）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
【答案】AB
【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可.
【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误；
若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确；
若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确；
该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；
故选：AB.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若动圆与圆外切，且与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是一个完整的椭圆
B．若动点到的距离是到直线的距离的，则动点的轨迹是一个完整的椭圆
C．将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆
D．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹是一个完整的椭圆
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义，结合椭圆轨迹方程的求解方法一一求解即可判断.
【详解】对A，如图，
设动圆的半径为，
根据动圆与圆外切，且与圆内切，
可得，，所以，
所以动圆的圆心的轨迹是一个椭圆，方程为
但不包含点，因为此时动圆变成了一个点，不满足题意，A错误；
对B，设，根据题意可得，，
整理得，，表示完整的椭圆，B正确；
对C，将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得到表示完整的椭圆，C正确；
对D，设，
，整理得，，
但因为均存在，所以，所以不是完整的椭圆，D错误；
故选:BC.
11．已知抛物线的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．的面积为
C．D．
【答案】ABD
【分析】设直线方程，并联立其与抛物线方程可得点A、点B坐标，结合抛物线定义可求得抛物线方程，进而可求得其渐进线方程即可判断A项，在中，可求得可判断D项，由可判断B项，由，进而可判断C项.
【详解】如图所示，
，设直线方程为，
联立，解得，，
由抛物线定义可知，，所以，
所以抛物线方程为，
对于A项，抛物线方程为的渐近线方程为，故A项正确；
对于D项、B项，由直线的斜率为可得直线的倾斜角为，
在中，，，所以，，故D项正确；
又，，
所以，故B项正确；
对于C项，，则，
所以
所以，故C项错误；
故选：ABD.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
【答案】BCD
【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D.
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
五、填空题
13．双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.
【详解】双曲线的渐近线为，所以双曲线的渐近线方程是.
故答案为
【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
14．已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 .
【答案】
【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】已知两直线平行,
则，解得或，
当时，两直线方程相同，舍去，
当时，，，
则两直线间距离为.
故答案为：
15．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinival）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据轨迹方程求出的取值范围，再求最值即可得解.
【详解】由动点满足的方程为，
所以，即，
解得，
故，
故，即的最大值为.
故答案为：
16．在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且满足，点是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】先求出圆的圆心、半径，根据已知得出点满足的轨迹方程.由恒成立，可知点始终在圆的内部或圆上，即圆始终在圆的内部或内切于圆.进而求出到直线的距离，根据两圆的位置关系列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得圆的圆心为，半径.
因为点是弦的中点，所以.
又，所以是等腰直角三角形，
所以，，.
所以，点在以为圆心，1为半径的圆上，
点所在的圆的方程为.
设以为直径的圆心为，半径为R.
要使得恒成立，则点始终在圆的内部或圆上，
即圆始终在圆的内部或内切于圆.
又点到直线的距离，
所以，当且仅当与直线垂直时，等号成立.
由圆和圆的关系，
可知，，所以，
当圆内切于圆时，等号成立，半径最小.
所以线段AB长度的最小值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由恒成立，得出点与以为直径的圆为圆的关系，进而得出点的轨迹与圆的位置关系.
六、解答题
17．已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案；
（2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为.
直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与直线的方程，可得，
所以，直线与直线的交点为.
当直线过原点时，设方程为，代入点可得，
所以，直线的方程为，即；
当直线不过原点时，由已知可设直线方程为，
代入点可得，，解得，
代入直线方程，整理可得.
综上所述，直线的方程为或.
18．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义可由的周长得长轴长，即可得椭圆方程；
（2）先用点斜式求得直线的方程，联立椭圆方程计算弦长，根据点到直线的距离公式计算面积即可.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为，
解得，
而焦距为2，则椭圆的半焦距为，，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，设，
则直线的方程为，
联立直线与椭圆方程整理得，
所以，
所以，
又因为到直线的方程为的距离为，
的面积.
20．已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点.
(1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值；
(2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据抛物线的定义将折线转化为直线，再利用数形结合思想得出当且仅当三点共线时，取最小值，求出即可.
（2）先根据题意求出切线的方程；再联立方程组求出点的坐标；最后计算出直线的斜率，点斜式写出方程整理即可.
【详解】（1）过点向抛物线的准线作垂线，垂足为.
由抛物线的定义得：.
当且仅当三点共线时，取最小值，最小值为.
（2）由圆可得圆心坐标为，半径为.
因为点在抛物线：上，
所以.
因为直线是圆的两条切线，
所以直线的方程为，设直线的方程为，即.
由题意得：圆心到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为.
联立，解得.
因为直线的方程为，，点在抛物线：上.
所以点
所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即.
21．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可.
（2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）证明：如图所示，
由题意知，，，
由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ，
联立，
，
则，，
又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内，
所以，，，，
所以，即，解得，
设直线方程为，
直线方程为，
联立，
即，
又，
所以，
所以点Q在直线上.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点A作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
(1)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有 ，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
(2)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）先求椭圆方程，设直线l：，与椭圆方程联立可求得B，P点坐标，由l方程可求得C点坐标，设存在定点，利用分析可得对任意恒成立，可求得定点坐标；
（2）设直线OM: ，与椭圆方程联立可求得M点横坐标，利用弦长公式整理可得，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】（1）由题意可得，，则，则，
则椭圆C的方程为，
设过点A作斜率为的直线l为：，，则，
联立方程，消去y整理得，
易知，可得，解得，
则，，可得，
假设存在定点，则，
由题意可得恒成立，
整理得对任意恒成立，
则，解得，即.
（2）设过O点作直线l的平行线为，设，
联立方程，解得，
则，
又，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选C.
【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果.
【详解】由题知，椭圆，
则长轴，焦距，
的周长为.
故选：D
3．圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程.
【详解】由题意知，，
所以所求圆的方程为.
故选：B.
4．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案.
【详解】由题知，，
解得，故，
则两点间的距离为.
故选：C
5．若圆与圆相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两圆相交建立不等式求解.
【详解】由圆的方程可知，，，
所以根据两圆相交可得，即或，
故选：C
二、解答题
6．已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，
所以渐近线方程为：，因此，
则实轴与虚轴相等，
又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，
则，即，
因此该双曲线的方程为.
故选：B.
三、单选题
7．已知圆，圆， 分别是圆上两个动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由，求出点关于x轴的对称点，结合即可求得结果.
【详解】由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
作关于x轴的对称点，如图所示，
，当共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8．设，分别为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.
【详解】
根据椭圆以及双曲线的定义可得，，
所以，.
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
所以，.
两边同时开方可得，.
根据不等式的性质，两边同时取倒数可得，.
故选：D.
四、多选题
9．方程表示的曲线中，可以是（ ）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
【答案】AB
【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可.
【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误；
若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确；
若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确；
该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；
故选：AB.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若动圆与圆外切，且与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是一个完整的椭圆
B．若动点到的距离是到直线的距离的，则动点的轨迹是一个完整的椭圆
C．将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆
D．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹是一个完整的椭圆
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义，结合椭圆轨迹方程的求解方法一一求解即可判断.
【详解】对A，如图，
设动圆的半径为，
根据动圆与圆外切，且与圆内切，
可得，，所以，
所以动圆的圆心的轨迹是一个椭圆，方程为
但不包含点，因为此时动圆变成了一个点，不满足题意，A错误；
对B，设，根据题意可得，，
整理得，，表示完整的椭圆，B正确；
对C，将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得到表示完整的椭圆，C正确；
对D，设，
，整理得，，
但因为均存在，所以，所以不是完整的椭圆，D错误；
故选:BC.
11．已知抛物线的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．的面积为
C．D．
【答案】ABD
【分析】设直线方程，并联立其与抛物线方程可得点A、点B坐标，结合抛物线定义可求得抛物线方程，进而可求得其渐进线方程即可判断A项，在中，可求得可判断D项，由可判断B项，由，进而可判断C项.
【详解】如图所示，
，设直线方程为，
联立，解得，，
由抛物线定义可知，，所以，
所以抛物线方程为，
对于A项，抛物线方程为的渐近线方程为，故A项正确；
对于D项、B项，由直线的斜率为可得直线的倾斜角为，
在中，，，所以，，故D项正确；
又，，
所以，故B项正确；
对于C项，，则，
所以
所以，故C项错误；
故选：ABD.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
【答案】BCD
【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D.
【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
整理得，而点的轨迹方程为，
于是，解得或（舍去），B正确；
对于C，如图所示，
当三点不共线时，，即，
于是，显然，因此，
射线是的角平分线，C正确；
对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，，
则，整理得，又，
联立解得或，D正确.
故选：BCD
五、填空题
13．双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.
【详解】双曲线的渐近线为，所以双曲线的渐近线方程是.
故答案为
【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
14．已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 .
【答案】
【分析】利用两直线平行的性质即可判断，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】已知两直线平行,
则，解得或，
当时，两直线方程相同，舍去，
当时，，，
则两直线间距离为.
故答案为：
15．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinival）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据轨迹方程求出的取值范围，再求最值即可得解.
【详解】由动点满足的方程为，
所以，即，
解得，
故，
故，即的最大值为.
故答案为：
16．在平面直角坐标系中，已知是圆的一条弦，且满足，点是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】先求出圆的圆心、半径，根据已知得出点满足的轨迹方程.由恒成立，可知点始终在圆的内部或圆上，即圆始终在圆的内部或内切于圆.进而求出到直线的距离，根据两圆的位置关系列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得圆的圆心为，半径.
因为点是弦的中点，所以.
又，所以是等腰直角三角形，
所以，，.
所以，点在以为圆心，1为半径的圆上，
点所在的圆的方程为.
设以为直径的圆心为，半径为R.
要使得恒成立，则点始终在圆的内部或圆上，
即圆始终在圆的内部或内切于圆.
又点到直线的距离，
所以，当且仅当与直线垂直时，等号成立.
由圆和圆的关系，
可知，，所以，
当圆内切于圆时，等号成立，半径最小.
所以线段AB长度的最小值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由恒成立，得出点与以为直径的圆为圆的关系，进而得出点的轨迹与圆的位置关系.
六、解答题
17．已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线的方程；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案；
（2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案.
【详解】（1）由已知以及直线的方程，可设直线的方程为.
直线过点，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
（2）联立直线与直线的方程，可得，
所以，直线与直线的交点为.
当直线过原点时，设方程为，代入点可得，
所以，直线的方程为，即；
当直线不过原点时，由已知可设直线方程为，
代入点可得，，解得，
代入直线方程，整理可得.
综上所述，直线的方程为或.
18．在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，
则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程，解得，
即圆心，，
所以，圆的方程为.
（2）因为直线被曲线截得弦长为，
则圆心到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得，解得.
19．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义可由的周长得长轴长，即可得椭圆方程；
（2）先用点斜式求得直线的方程，联立椭圆方程计算弦长，根据点到直线的距离公式计算面积即可.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为，
解得，
而焦距为2，则椭圆的半焦距为，，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，设，
则直线的方程为，
联立直线与椭圆方程整理得，
所以，
所以，
又因为到直线的方程为的距离为，
的面积.
20．已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点.
(1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值；
(2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据抛物线的定义将折线转化为直线，再利用数形结合思想得出当且仅当三点共线时，取最小值，求出即可.
（2）先根据题意求出切线的方程；再联立方程组求出点的坐标；最后计算出直线的斜率，点斜式写出方程整理即可.
【详解】（1）过点向抛物线的准线作垂线，垂足为.
由抛物线的定义得：.
当且仅当三点共线时，取最小值，最小值为.
（2）由圆可得圆心坐标为，半径为.
因为点在抛物线：上，
所以.
因为直线是圆的两条切线，
所以直线的方程为，设直线的方程为，即.
由题意得：圆心到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为.
联立，解得.
因为直线的方程为，，点在抛物线：上.
所以点
所以直线的斜率为，
所以直线的方程是，即.
21．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦点及渐近线方程求解即可.
（2）设直线的方程为，联立其与双曲线方程可得，，设设直线方程、直线方程，并联立两者求其交点Q的横坐标，结合即可证明.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）证明：如图所示，
由题意知，，，
由题知过点T的直线的斜率必不为0，设直线的方程为，， ，
联立，
，
则，，
又因为过点T的直线与双曲线的右支交于、，在第一象限内，
所以，，，，
所以，即，解得，
设直线方程为，
直线方程为，
联立，
即，
又，
所以，
所以点Q在直线上.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点A作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
(1)已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有 ，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
(2)若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）先求椭圆方程，设直线l：，与椭圆方程联立可求得B，P点坐标，由l方程可求得C点坐标，设存在定点，利用分析可得对任意恒成立，可求得定点坐标；
（2）设直线OM: ，与椭圆方程联立可求得M点横坐标，利用弦长公式整理可得，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】（1）由题意可得，，则，则，
则椭圆C的方程为，
设过点A作斜率为的直线l为：，，则，
联立方程，消去y整理得，
易知，可得，解得，
则，，可得，
假设存在定点，则，
由题意可得恒成立，
整理得对任意恒成立，
则，解得，即.
（2）设过O点作直线l的平行线为，设，
联立方程，解得，
则，
又，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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