2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由计算出的值，由此求得的值.
【详解】由由解得，所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.
2．sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A．－B．
C．－＋D．＋
【答案】B
【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果.
【详解】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
则 sin 600°＋tan 240°＝.
故选：B.
【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
3．已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长．
【详解】如图所示，
，，过点O作，C为垂足，
延长OC交于D，则，；
中，，
从而弧长为，故选A．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，求出扇形的半径是解题的关键，属于基础题．
4．已知函数，，且，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由诱导公式可得，可求的值.
【详解】∵，
∴，
∴
．
故选：C
5．设函数，，则函数的减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用对数型复合函数单调性求解作答.
【详解】依题意，，则得：，即函数的定义域为，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的减区间为.
故选：B
6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要（ ）
A．小时B．3小时C．3.2小时D．4小时
【答案】B
【分析】先通过“前3个小时消除了的污染物”求得，再根据，求得，即可得解.
【详解】解：由题意可得，解得，
令，
可得，解得，
所以污染物消除至最初的还要3小时.
故选：B.
7．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b【答案】A
【分析】根据幂函数的定义可知m－1＝1，从而求得m和n，再利用f(x)＝x3是定义在R上的增函数，选取中间值0和1可比较大小.
【详解】由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn，
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3是增函数．
又ln π>1>＝，
因此b>c>a.
故本题答案为A.
【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，根据单调性和选取合适的中间值进行比较大小是关键，注意运算的准确度，属基础题.
8．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.
【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，
所以，或，，
则，，
故、是方程的两个同号的不等实数根，
即方程有两个同号的不等实数根，注意到，
故只需，解得，
结合，可得.
故选：D
二、多选题
9．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则的取值范围是
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数，则函数的值域为
【答案】ABD
【分析】由奇函数的定义判断A，函数的值域满足判断B，根据抽象函数的定义域判断C，由对数函数的运算性质结合换元法判断D.
【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，
则，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，
当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，
综上所述，选项A说法错误；
选项B：因为的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得，所以B说法错误；
选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；
选项D：因为函数，
所以，，
当时，，
令，，则，
即函数的值域为，选项D说法错误；
故选：ABD
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
11．函数，以下四个结论正确的是
A．的值域是；
B．对任意，都有；
C．若规定，，则对任意的，
D．对任意的，若函数恒成立，则当时，或.
【答案】ABC
【分析】根据函数的值域、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于函数，，
，所以为奇函数，
当时，，
由于，所以，
而是奇函数，所以当时，，
综上所述，的值域为，A选项正确.
当时，为增函数，
而是奇函数，在上单调递增，
所以对任意，都有，所以B选项正确.
，，
，
以此类推可得，所以C选项正确.
对任意的，函数恒成立，
，
所以恒成立，所以，即，
若，则，，
解得或或，所以D选项错误.
故选：ABC
12．已知函数的定义域为，当时，，当，（为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，函数的值域为
C．当时，的图象与曲线的图象有3个交点
D．当时，的图象与直线在内的交点个数是
【答案】BCD
【分析】当时，则可转化为，从而可求出，求出结果后即可判断A选项；根据题意，依次求出，，的值域，从而得出函数的值域，即可判断B选项；当时，当，，从而得出和时的函数解析式，画出的图象与曲线的图象，即可判断C选项；结合函数的图象，确定交点个数，即可判断D选项.
【详解】解：A选项：已知当，（为非零常数）
当时，则可转化为
则，故A错误；
B选项：当时，
故当时，的值域为；
当时，的值域为；
当时，的值域为.
随着的依次取值，值域将变为，故B正确；
C选项：当时，当，，
则，，
则的图象与曲线的图象如图所示：
由图可知，的图象与曲线的图象有3个交点，故C正确；
D选项：当时，；当时，；
当时，当时，；
当时，；当时，；
若，则，
结合函数图象可知，直线与的图象在区间，均有两个交点，在上有一个交点，在区间上无交点，
所以的图象与直线在内的交点个数是，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．函数且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则 .
【答案】
【分析】首先可得点的坐标，然后可得，然后可求出答案.
【详解】由题可知点Q(4，2)，所以
所以
故答案为：
14．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据函数的奇偶性，把不等式转化为，再根据函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，原不等式可化为，
因为是奇函数，所以，
因为是定义在上的减函数，则满足，解得，
即实数m的取值范围是．
故答案为：．
15．最新版高中数学教材必修第一册的(探究题)告诉我们：任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数.据此，可判断数的位数是 .(取).
【答案】309
【解析】先根据题意取对数，化简计算成形式，即得结果.
【详解】因为，所以，
所以，数的位数是309.
故答案为： 309.
16．，记表示二者中较大的一个，函数，若，，使成立，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先求得的解析式，求得在区间的值域并画出对应区间的图象，
【详解】在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以当时，，即在区间上的值域为.
，
令，得，
解得或，画出的图象如下图所示，
要“，，使成立”，
等价于在上的函数值域是在上的值域的子集，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：画形如的图象，主要是通过图象变换的方法来进行，如是向右平移个单位所得；如是向左平移个单位所得. 口诀是：左加右减.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据指数运算求得正确答案；
（2）（3）根据对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若－1＜f(1)＜1，求实数a的取值范围．
【答案】(1) f(x)＝ (2)∪(2，＋∞)．
【分析】（1）利用代入法求出函数在x＜0时的解析式，即得函数f(x)的解析式；（2）对a分类讨论，解不等式－1＜lga2＜1得解.
【详解】(1)当x＜0时，－x＞0，
由题意知f(－x)＝lga(－x＋1)，
又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝lga(－x＋1)，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜lga2＜1，
∴lga＜lga2＜lgaa.
①当a＞1时，原不等式等价于解得a＞2；
②当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜.
综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．
【点睛】本题主要考查奇偶函数在对称区间的解析式的求法，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19．设，是关于的方程（其中）的两个实数根
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得.
（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.
（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.
【详解】（1），是关于的方程（其中）的两个实数根，
所以，或，
由两边平方得，
，解得（舍）或.
所以.
（2）
.
（3）
.
20．已知函数满足
(1)求的解析式；
(2)从下面两个条件中选一个，求实数的取值范围.
①若“”为假命题；②若“”为真命题.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用换元法，可得答案；
（2）将问题转化为二次不等式恒成立或有解问题，分情况讨论，可得答案.
【详解】（1）令，则，即，
故.
（2）若选：①，
由“”为假命题，则“”为真命题，
不等式，整理可得，
则问题等价于在上恒成立，
当时，不等式整理为，显然成立；
当时，可得，由，整理可得，解得，即可得；
综上所述，.
若选：②，
不等式，整理可得，
则问题等价于在上有解，
当时，不等式整理为，显然不成立；
当，即时，可得或，则，整理可得，解得或，即可得；
当，即时，令，该函数为开口向下的二次函数，则命题显然成立；
综上所述，.
21．已知函数.
(1)解方程；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数运算求得方程的解.
（2）利用分离参数法化简，根据函数的单调性求得的取值范围.
（3）化简不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】（1）由题，
解得.
（2）依题意，存在，使成立，
即存在，使成立，
由于，所以，函数在上单调递减，最小值为，
所以，
所以.
（3）函数在上单调递增，
依题意，不等式对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立，
二次函数的开口向上，
对称轴为，在对称轴两侧左减右增，所以：
①当时，函数在上单调递增，
所以，又，
所以；
②当，即时，
则，
整理得（舍去）.
③不等式组无解.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】求解含参数的一元二次不等式在区间上恒成立问题，主要的方法是对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.分类标准的制定可以根据一元二次不等式对应的函数的开口方向、对称轴、判别式等知识来进行.
22．在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”.
（1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系；
（2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”? 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在，
【解析】（1）（2）根据点在函数的图象上，从而得出，，都有，从而讨论时，得出函数在，上的值域为，从而可得出的范围；同理，讨论和时，求出函数的值域，让该值域是集合的子集，从而可得出的范围．
【详解】（1）由函数是点的“界函数”，且函数为增函数，
当时，值域为，
因为，
所以，
（2）在函数的图象上，
，
，，都有，
①，即时，在，上单调递增，
，
，
，解得，又，
这种情况不合题意；
②，即时，
由，可得或，
且，
，解得，
③，即时，在，上单调递减，
，
，
，解得，又，
这种情况不合题意，
综上得，的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义，考查了计算和推理能力，属于难题．