河北省衡水市武强县武强学校2024届高三上学期开学考试数学试题

武强中学2023—2024学年度上学期综合素质检测一

高三数学试题

出题人：吉岩岩

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，则集合的真子集有（    ）

A．7个 B．8个 C．15个 D．16个

2．已知为虚数单位，则的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

3．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A．  B．

C． D．

4．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

6．正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知平面向量，满足，，与的夹角为，且，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

8．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（    ）

A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．已知集合，，则下列判断正确的是（    ）

A．  B．

C． D．

10．已知函数（），下列结论错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称

11．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．各项系数和为1  B．第2项的二项式系数为15

C．含的项的系数为 D．不存在常数项

12．在平面直角坐标系中，点在抛物线（）上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程为 B．

C．的面积为 D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知函数，则的值是______．

14．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______．

15．已知函数的导函数为，且满足，则______．

16．设是双曲线：的一个焦点．若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．

（1）求角的大小；

（2）设，，求和的值．

18．如图，是所在平面外一点，且，为斜边的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面．

19．已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．

20．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：

（1）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．

下面的临界值表供参考：

参考公式：，其中．

21．过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．

（1）求此弦所在的直线方程；

（2）求此弦长．

22．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）．

高三数学答案

1．A  2．C  3．D  4．C  5．A  6．D  7．D  8．B

9．CD  10．BC  11．AC  12．AD

13．5   14．   15．   16．5

17．解：（1）在中，由正弦定理，

可得．又因为，

所以，

即，所以．因为，所以．

（2）在中，由余弦定理及，，，

得，故．

由，可得．因为，所以．

所以，．

所以．

18．证明：（1）如图所示，取的中点，连接，．

在中，分别为，的中点，∴，∴．

∵，∴．

又，∴平面．

又平面，∴．

在中，∵，为的中点，∴．

又，∴平面．

（2）由于，则．

由（1）可知，平面，又平面，∴，

又，∴平面．

19．解：（1）设等差数列的公差为（）．

由得解得

∴．

（2）由（1）得，

则

，

∴

（3）由（1）得，

∴．

由得．又∵，∴的最小值为13．

20．（1）由公式，

所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．

（2）设所抽样本中有个男生，则，得，所以样本中有4个男生，2个女生，

分别记作，，，，，．从中任选2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，

其中恰有1个男生和1个女生的事件有，，，，，，，，共8个，

所以恰有1个男生和1个女生的概率为．

21．[解]（1）法一：设所求直线方程为．

代入椭圆方程并整理，得．

又设直线与椭圆的交点为，，

则，是方程的两个根，于是．

又为的中点，∴，解得．

故所求直线的方程为．

法二：设直线与椭圆的交点为，．

又为的中点，∴，．

又，两点在椭圆上，则，．

两式相减得．

于是．

∴，即．

又直线过点，故所求直线的方程为．

（2）设弦的两端点分别为，，

由，得，

∴，，

∴．

22．解：（1），的定义域为，

∴．

由，得，由，得，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，

∴在区间上的最大值为．

又，，且．

∴在区间上的最小值为．

∴在区间上的最大值为0，最小值为．