2021-2022学年河北省衡水市武强中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省衡水市武强中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

2．已知随机变量服从正态分布，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知可求出，由即可求出的值.

【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知，

则，

故选:B.

【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，考查了转化思想，属于基础题.

3．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

【答案】B

【分析】先将5名志愿者分为4组，然后再将4组分到4个项目，再根据分布乘法原理即可得解.

【详解】先将5名志愿者分为4组，有种分法，

然后再将4组分到4个项目，有种分法，

再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有种.

故选：B.

4．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（       ）

A．-84 B．-14 C．14 D．84

【答案】A

【解析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数.

【详解】因为二项式的系数之和等于128，

所以，解得，

所以二项式展开式的通项公式为，

令，解得，

所以展开式中含项的系数为，

故选：A

【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

5．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境､陶冶情操､修身养性､生慧増智，而且还与天象易理､兵法策略､治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲､乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．

【详解】解：甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，

且，，

所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：.

故选：C．

6．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.

【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.

设此时盒中旧乒乓球的个数为，

说明取出的2个球1新1旧，

则.

故选：D.

7．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：

已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（       ）A． B． C．              D．

【答案】C

【分析】将代入回归直线方程，利用残差的定义可得结果.

【详解】当时，，此时，残差为.

故选：C.

8．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及.

【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得，

，

故选：B．

二、多选题

9．下列有关回归分析的结论中，正确的有（       ）

A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心

B．若相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强.

C．若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好.

D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高

【答案】ABD

【分析】对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心；对于B，C，由相关系数和相关指数的性质判断；对于D，由残差点分布的特征判断.

【详解】解：对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心，所以A正确；

对于B，相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强，所以B正确；

对于C，根据相关概念，相关指数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，越接近于0，表示效果越差，C错误；

对于D，由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以D正确.

故选：ABD.

10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（       ）

A．若任意选科，选法总数为

B．若化学必选，选法总数为

C．若政治和地理至少选一门，选法总数为

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

【答案】BD

【分析】对于A，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可

【详解】若任意选科，选法总数为，A错误；

若化学必选，选法总数为，B正确；

若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；

若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．

故选：BD.

11．下列结论正确的有（       ）

A．若随机变量，，则

B．若随机变量，则

C．已知回归直线方程为，且，，则

D．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22

【答案】AC

【分析】根据正态分布对称性知正确，计算，错误，将代入回归直线，计算得到正确，讨论三种情况得到可能数据的和为，错误，得到答案.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，所以，故B不正确；

对于C，回归直线方程经过点，将，代入求得，故C正确；

对于D，设丢失的数据为x，则这组数据的平均数为，众数为3，当时，中位数为3，此时，解得；当时，中位数为x，此时，解得；当时，中位数为5，此时，解得.所以所有可能x的值和为，故D不正确.

故选AC.

12．已知，则（       ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有偶次项系数和为

C．展开式中所有奇次项系数和为 D．

【答案】ABD

【分析】根据二项式系数的性质即可判断A，利用赋值法对应各个选项逐个求解即可判断BCD．

【详解】解：由二项式系数的性质可得：展开式中所有项的二项式系数的和，故A正确；

令，则①，

令，则②，

①②整理可得，所以展开式中所有偶次项的系数和为，故B正确；

①②整理可得：，所以展开式中所有奇次项的系数和为，故C错误；

令，则，

再令，则，

所以，故D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答）

【答案】210

【详解】若3名老师去3所学校，则共有种分配方案；

若3名老师去2所学校，则共有种分配方案;

所以共有种分配方案.

故答案为：210.

14．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布,已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有______人.

【答案】

【详解】由题意可知，

所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为50×0.14=4（人）.

故答案为：7.

15．以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______．

【答案】

【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.

【详解】由，得，，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．盒中有5个球，其中1个红球，1个绿球，3个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为，则___；___．

【答案】     0.25     1.5

【分析】根据题意随机变量可取，求出对应随机变量的概率，再根据期望公式即可得出答案.

【详解】解：随机变量可取，

，

，

，

，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

【答案】（1）300；（2）156.

【分析】（1）第一步排千位数字有种不同排法，第二步排百位、十位、个位数字种不同排法，

最后组成不同的四位数有种，

（2）先求第一类个位数字为0有种不同排法，再求第二类个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法，最后求组成不同的四位偶数有种.

【详解】解：（1）根据题意分步完成任务：

第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有种不同排法；

第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有种不同排法；

所以组成不同的四位数有种，

（2）根据题意分类完成任务：

第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有种不同排法；

第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有种不同排法；

所以组成不同的四位偶数有种.

【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，是中档题.

18．已知在的展开式中第6项为常数项．

(1)求展开式中所有项的二项式系数和；

(2)求展开式中所有项的系数和；

(3)求展开式中所有的有理项．

【答案】(1)

(2)

(3)，，

【分析】（1）根据题意求出，再根据二项式系数的性质即可得解；

（2）令，即可得解；

（3）求出二项展开式的通项，令的指数为整数，即可得出答案.

【详解】(1)解：因为在的展开式中第项为常数项，

所以为常数项，所以，

所以展开式中所有项的二项式系数和为；

(2)解：令，得到展开式中所有项的系数和为；

(3)解：展开式中通项为，

令为整数，，得到，

时，；

时，；

时，；

所以展开式中所有的有理项有，，．

19．在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩，如下表：

(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；             

(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率．（参考公式：   参考数据：）

【答案】(1) =﹣13.2x+1133.2，x=80，=77;(2).

【详解】试题分析：（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程，x=80分，即可预测他的数学成绩；（2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论．

试题解析：

（1）=76，=130，∴==≈﹣13.2，

=﹣=130﹣（﹣13.2）×76≈1133.2，

∴ =﹣13.2x+1133.2，x=80，=77；

（2）从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，有=10种方法，选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率为1﹣=．

20．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关；

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）．

附：

.

【答案】（1）；（2）列联表见解析，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）．

【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，利用频率分布直方图计算出、的估计值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得事件的概率；

（2）根据频率分布直方图可完善列联表，计算出的观测值，对比临界值表，由此可得出结论；

（3）在新养殖法对应的频率分步直方图中，利用中位数左边的直方图的面积之和为可求得中位数的值.

【详解】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”．

由题意知．

旧养殖法的箱产量低于的频率为，

故的估计值为.

新养殖法的箱产量不低于的频率为，

故的估计值为.

因此，事件的概率估计值为；

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：

，

由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关；

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，

箱产量低于的直方图面积为，

箱产量低于的直方图面积为，

故新养殖法产量的中位数为，则，解得.

因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值为.

21．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.

(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；

(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；

(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．

【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；

（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．

【详解】(1)时，消费者购买该纪念品的概率，

由题意，，，

，同理，，，，

的分布列为：

；

(2)由（1）知时，（时等号成立），

时，（时等号成立），

时，（时等号成立），

，因此最大，此时．

所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．

22．为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．

（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；

（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．

①求，，；

②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．

【答案】（1）；（2）①，，；②，.

【分析】（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与期望；

（2）①，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得0分，有1轮甲得1分，由此能求出．经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．由此能求出．

②推导出，将，代入得，，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．

【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立．

由题意，，甲的得分的可能取值为，0，1．

，

．

，

∴的分布列为：

．

（2）①由（1），

．

经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分．

∴，

②∵规定，且有，

∴代入得：，

∴，∴数列是等比数列，

公比为，首项为，∴．

∴．

【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.