2023-2024学年河北省沧州市运东七县部分学校高二上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省沧州市运东七县部分学校高二上学期期中联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.
【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.
故选：B
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接根据双曲线定义得到，，得到双曲线方程.
【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，
故，.所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
3．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A．-9B．-8C．9D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由，得，
所以，解得.
故选：D.
4．已知是空间的一个基底，，若，则（ ）
A．0B．C．6D．5
【答案】C
【分析】首先化简向量，再代入向量平行的坐标表示公式，即可求解.
【详解】，因为，所以存在实数，使得，
所以，
所以解得
所以．
故选：C
5．已知直线：与：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》
【详解】由，则，即，故或，
时，，，即，显然两线重合；
时，则，，即，故.
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
6．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以
故选：D

7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆C的圆心，半径，所以，且，
所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.
故选：B.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为点，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求得，再根据得关系求得离心率的最大值.
【详解】由题意可得，
所以，
又，
所以，
又，所以，
化简，得，即，
解得，所以e的最大值为.
故选：C
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于原点对称的点是
B．点关于轴对称的点是
C．点关于平面，对称的点是
D．点关于点对称的点是
【答案】AC
【分析】利用点关于原点的对称点的特点可判断A的正误；根据点关于坐标轴对称点的特点可判断B的正误；利用点关于坐标平面对称点的特点可判断C的正误；利用点关于点对称的特点可判断D.
【详解】空间直角坐标系中，点.
对于A，点关于于原点对称的点的坐标是，A正确；
对于B，点关于轴对称的点的坐标是，B错误；
对于C，点关于平面对称点的坐标是，C正确；
对于D，点关于点对称点的坐标是，D错误；
综上知，正确的选项是AC.
故选：AC.
10．已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A．圆M的方程为B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为D．的面积为
【答案】ABD
【分析】由给定方程求出双曲线的实虚半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】由双曲线方程，得实半轴长，虚半轴长，半焦距，
圆M的圆心为，半径为，方程为，A正确；
双曲线C的离心率，B正确；
双曲线的渐近线方程为，C错误；
由，解得，则点横坐标满足，
而，于是，D正确.
故选：ABD
11．如图，点P在棱长为2的正方体的底面ABCD内运动（包含边界），E是的中点，若平面，则P，E两点之间的距离可能是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BC
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，，求出平面的法向量和直线的方向向量，由平面，求得，即可求出P，E两点之间的距离.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设，则，，
.设平面的法向量为，
则，即，令，
则平面的一个法向量，
因为平面，所以，
所以，
由，解得，
所以.
所以A，D错误，B，C正确.
故选：BC.
12．“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（ ）
A．黑色阴影区域在轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B．直线与白色部分有公共点
C．点是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为4
D．过点作互相垂直的直线、，其中与圆交于点、，与圆交于点、，则四边形面积的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A：确定它的圆心和半径可以确定答案；对于B：只需考虑白色部分的圆心到直线的距离与其半径的大小可判断；对于C：可用数形结合的思想解决；对于D：运用弦长公式求出面积的表达式可得最值.
【详解】
对A：圆心，半径为，圆的方程为，A对；
对B：分析易知，直线与白色部分是否有交点只需判断轴左侧部分即可，
左侧为半圆，圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
则直线与白色部分的轴左侧半圆相交，B对；
对C：令，则为直线在轴上截距的相反数，
故我们将代入可得，
再判断一下与第一象限的小圆相切时，则有，所以，，
故的最大值不是，C错；
对D：如图于，
，
当且仅当D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知向量，若，则m= .
【答案】
【分析】由空间向量垂直的条件求解.
【详解】由，得 解得
故答案为：
14．若直线与直线垂直，则实数 .
【答案】/
【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故答案为：.
15．如图，在矩形中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
16．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.
【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，
设，，则，
两式相减得，
又，，所以②，
解①②得，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
法二：将代入椭圆的方程得，所以①，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程并消去整理得，
则，
设，，则，即②，
解①②得，满足，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线l的方程为．
(1)若直线l的倾斜角为，求k的值；
(2)已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线斜率与倾斜角的关系，求k的值．
（2）求出直线l在x轴，y轴上的截距，根据方程得到k的值，可求直线l的方程.
【详解】（1）由题意可得
（2）在直线l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线l的方程为或.
五、问答题
18．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
(2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线的标准方程，根据条件求出即可；
（2）设双曲线方程，将点代入求得即可.
【详解】（1）已知双曲线C的焦点在y轴上，
所以可设C的标准方程为，
又C的渐近线方程为，所以，即，
由C的两顶点之间的距离为4，得，所以.
故双曲线C的标准方程为.
（2）因为E与双曲线有共同的渐近线，
所以可设E为，
因为E过点，则，解得，
故双曲线E的标准方程为.
六、解答题
19．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
20．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
21．如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）根据点到平面距离的向量法求解即可.
【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，
所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，.
因为，，，DE，平面BCDE，
所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一个法向量，
设平面MCN的法向量，由得取，则，，所以平面MCN的一个法向量，
设平面MCN与平面BCDE的夹角为，则，
所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面MCN的一个法向量，
又，
所以点P到平面MCN的距离.
22．已知动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线与轴的正半轴交于点，不与轴垂直的直线交曲线于两点（，异于点），直线分别与轴交于两点，若的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)l过定点，.
【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简作答.
（2）设出直线的方程及点的坐标，联立直线与曲线的方程，求出点的横坐标，由已知结合韦达定理求解作答.
【详解】（1）依题意，，化简整理得，
所以曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由消去y得，当时，，

由，得，则直线的方程为，令，得点的横坐标，
直线的方程为，令，得点的横坐标，
于是，
即，
则有，化简得，解得或（舍去），
所以直线的方程为，直线恒过定点.
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.