2023-2024学年甘肃省兰州市兰州第一中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州市兰州第一中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【详解】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
2．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
3．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a、b的方程组，求解方程组即可得答案．
【详解】解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
4．等差数列中，，则此数列的前项和等于（ ）
A．160B．180C．200D．220
【答案】B
【解析】把已知的两式相加得到，再求得解.
【详解】由题得，
所以.
所以.
故选：B
5．设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.
【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列，
设，则，，所以，所以，
所以，即.
故选：A.
6．已知圆的半径为，且，过点的2023条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合圆的性质，求得最短弦为，最长弦为，结合，即可求解.
【详解】因为圆的半径为，且，
过点的2023条弦的长度组成一个等差数列，
其中最短弦长为，最长弦长为，
所以等差数列的公差为.
故选：B.
7．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12
【答案】C
【解析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可.
【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；
连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.
8．椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得，进而得出，再求出离心率范围即得.
【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点，
因此，又点在椭圆上，则，即，整理得，
即，而，因此，
所以椭圆离心率的取值范围为.
故选：D
二、多选题
9．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10
B．面积的最大值为
C．的最小值为1
D．椭圆的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，故，
故的周长为，故A正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，面积的最大，
最大值为，故B正确；
因为为椭圆上异于长轴端点的动点，
所以，即，故C错误；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ABD.
10．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．的方程为
B．直线被截得的弦长为
C．动点到直线的距离的取值范围为
D．上存在三个点到直线的距离为
【答案】BD
【分析】根据到两定点的距离之比为定值可以求出圆的方程，再根据弦长公式求出弦长，最后结合优弧劣弧上的点到直线的距离取值范围确定取值范围为定值的点的个数.
【详解】设点，因为动点到原点与的距离之比为2，
所以，解得，
对于A：由上面结论可知，A错误；
对于B：圆心到直线的距离，
所以弦长，B正确；
对于C：由B知圆心到直线的距离为1，
所以点到直线的距离为，C错误；
对于D：由B知圆心到直线的距离为1，
所以劣弧上的点到直线的距离为，有且只有一个点到直线的距离为，
优弧上的点到直线的距离为，所以有2个点到直线的距离为，
所以一共存在三个点到直线的距离为，所以D正确，
故选：BD
11．圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误．
【详解】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
12．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列为等比数列
【答案】CD
【分析】AB选项，根据求出的通项公式，从而得到AB错误；C选项，分组求和得到，从而得到，故C正确；D选项，由得到，由定义得到为等比数列.
【详解】AB选项，因为①，所以当时，，
即，又，故，
当时，②，
①-②得，，变形为，
故当时，为等比数列，公比为2，首项为，
故，故，
显然不满足，
故的通项公式为，AB错误；
C选项，
，
故，
由于时，，故为等比数列，C正确；
D选项，由B选项可知，，
，
故时，，
所以为等比数列，D正确.
故选：CD
三、填空题
13．一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为 ．
【答案】
【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．
【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），
∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴，且a2=b2+c2，
解得a=2，b=，c=，
∴椭圆方程为．
故答案为．
【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
14．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2023项和 .
【答案】1010
【分析】根据等和数列的性质可以求出奇数项都相等，偶数项也都相等，最后求和即可.
【详解】由等和数列概念可得，
所以，
故答案为：1010
15．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，画出图形，结合图形可得所求的范围．
【详解】由题意，将已知转化为直线与曲线有两个不同的交点，
直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为2的圆的上半部分（包括与轴的交点），
画出图形如下图所示．
当直线，即直线与圆相切时，
则有，解得，．
结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有，
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】解决曲线交点个数、方程根的个数等关于“个数”的问题时，一般要结合图形（或函数的图象）求解，即利用数形结合的方法求解，考查数形结合思想的运用和转化能力，属于中档题．
四、双空题
16．椭圆的左､右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积 ，的值为 .
【答案】 6 3
【分析】由题意得，由内切圆面积为可得其半径，根据焦点三角形面积公式可得第一空答案，结合面积公式和等面积法建立等式化简即可.
【详解】解：由得
由内切圆面积为可得其半径，设其内切圆圆心为
则
又
所以.
故答案为：6；3
【点睛】椭圆中常用面积公式：
（1） (表示边上的高)；
（2）；
（3） (为三角形内切圆半径)；
（4）.
五、解答题
17．已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦点坐标.
【答案】，长轴长为，焦点坐标为.
【分析】根据题意，得到椭圆的焦点在轴上，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求解.
【详解】因为，椭圆的焦点在轴上且，
又因为，可得，解得，
所以椭圆方程为，可得，则
所以椭圆的长轴长为､焦点坐标为.
18．圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切
(1)求圆C的方程；
(2)圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆C的标准方程为，由直线与圆相切的条件列出方程组，求出a､b､r；
（2）由题意求出圆心到直线l的距离，由点到直线的距离公式列出方程，求出k的值，代入直线方程即可.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为；
（2）设直线与圆C交于B､D两点，过点作，垂足为，
因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心C到直线l的距离为，且，
因为直线l的方程为，
所以，化简解得或，
故所求直线l的方程为或.
19．在数列中，.
(1)求的值；
(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)a2=13,a3=33;
(2)存在，-1.
【分析】（1）根据条件，容易求得；
（2）首先假设在实数，使得数列为等差数列，设，进而由求出，然后结合等差数列的定义解决问题.
【详解】（1）由题意，，，.
（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，设，则，所以.
此时，，而，则是首项为2，公差为1的等差数列，即存在实数，使得数列是以首项为2，公差是1的等差数列.
20．如图，已知圆及点.
(1)若点在圆上，求直线与圆的相交弦的长度；
(2)若是直线上任意一点，过点作圆的切线，切点为，当切线长最小时，求点的坐标，并求出这个最小值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）将点代入求出的值，进而求出直线方程，最后由弦长公式求出弦长即可.
（2）根据圆心到直线上的点的距离最小时切线长最小求解即可.
【详解】（1）易知圆的标准方程为，
则，半径.
将点代入圆的方程，得，
所以，故直线的斜率.
因此直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
所以.
（2）因为，
所以当最小时，最小，
又当与直线垂直时，最小，
所以，
所以.
由题易得过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，得，所以.
六、未知
21．已知椭圆的左､右顶点分别为，且，离心率为为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆过椭圆的右焦点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意依次得到，从而求得，由此得解；
（2）分别求得直线的方程，从而得到的坐标，再利用平面向量数量积的坐标表示推得，从而得证.
【详解】（1）由题意知，，得，
又离心率，，
则椭圆的方程为.
（2）由（1）得，
设，则，即.
则直线，直线，
将代入上述直线方程，可得点的纵坐标，点的纵坐标，
即，令椭圆的右焦点为，则，
则
所以，即，
所以为直径的圆过点.
七、解答题
22．已知数列{an}与{bn}满足：，若{an}是各项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝ (n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1.
【答案】（1），bn＝2n－1(n∈N*)；（2）证明见解析.
【分析】（1）由{an}与{bn}的关系得an＝2(bn－bn－1)，根据已知条件求{an}的通项公式，进而应用等比数列求和公式，写出{bn}的通项公式；
（2）利用裂项求和法求Tn，由即可证结论.
【详解】（1）由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，①
当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，②
①－②可得an＝2(bn－bn－1)，结合已知得：a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8，
∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为q，
∴a1q2＝8，得q＝2，
∴.
∴，
∴bn＝2n－1(n∈N*).
（2）由已知：，
∴
，
当n∈N*时,，有，
∴，故Tn＜1，得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据数列间的关系，结合与关系确定、的关系式，由等比数列的性质、前n项和公式，求通项；
（2）应用裂项法求前n项和，进而证明不等式关系.