2022-2023学年甘肃省兰州市等3地高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省兰州市等3地高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（    ）．

A． B．

C． D．存在非零实数，使

【答案】D

【解析】分析各选项中、的位置关系，由此可得出合适的选项.

【详解】若非零向量，在同一条直线上，则、共线.

对于A选项，，且是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，

所以，、同向，所以，是、在一条直线上的充分不必要条件；

对于B选项，取，，则，但、不共线；

对于C选项，若，则，可知；

对于D选项，“存在非零实数，使”“”.

故选：D.

2．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，焦点到渐近线的距离为，说明，则，

∴双曲线的方程为

故选:B

3．若点是直线：外一点，则方程表示（    ）

A．过点且与平行的直线

B．过点且与垂直的直线

C．不过点且与平行的直线

D．不过点且与垂直的直线

【答案】C

【解析】易知点的坐标不在直线上，根据两直线方程的一般形式中的系数相同，但不同，可得直线平行；

【详解】∵点不在直线：上，∴，

∴直线不过点，

又直线与直线：平行，

故选：C.

4．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出点的坐标，结合椭圆方程及斜率坐标公式，借助均值不等式求解作答.

【详解】设椭圆方程为，点，则点，显然，

由与，相减得，

整理得，而，于是，

因为，当且仅当取等号，因此，即，

椭圆的离心率为.

故选：D

5．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．

【详解】设圆上任意一点为，中点为，

则，可得，

代入得，

化简得．

故选：A．

6．已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】过点倾斜角为的直线方程为：，即，

则圆心到直线的距离：，

由弦长公式可得：，

整理可得：

则：.

本题选择B选项.

点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

7．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．

【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，

由题意知：当、时，、、、共面，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面的法向量为，，，

则，取，解得，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

故选：B.

二、多选题

8．给出下列命题，其中正确的有（    ）

A．空间任意三个向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底

C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面

D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

【答案】BCD

【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可.

【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误；

B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确；

C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确；

D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确.

故选：BCD

9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对参数分类讨论，根据直线垂直，即可求得结果.

【详解】当时，直线的斜率为，直线不存在斜率，此时满足直线互相垂直；

当时，直线的斜率为，直线的斜率为，

若两直线垂直，则，解得，满足题意.

综上所述：或.

故选：BC.

10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.

【详解】因为抛物线C的方程为，所以焦点，

设，由抛物线的性质知，得．

因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，

由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，

故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，

代入抛物线方程，得，解得或．

所以抛物线C的方程为或．

故选：AC

11．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由题意，分、两种情况，分别求解，设，根据双曲线的几何性质，即可求的b的值，代入离心率公式，即可求得答案.

【详解】当时，设，则，设，如图，

双曲线的渐近线方程为，即，在中，，设，

又，则，又双曲线中，即有，

于是，，，，则，，，

代入得，即，解得，则，A正确；

当时，设，，设，如图，

则，，在中，，设，

又，则，又双曲线中，即，

于是，，，，则，，，

而，即，

因此，即，解得，则，C正确.

故选：AC

【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式即可；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

三、填空题

12．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为        ．

【答案】

【详解】试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程:

【解析】反射直线

13．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则        .

【答案】

【解析】根据已知条件可得、是双曲线的左、右焦点，由圆切线的性质可得，由双曲线的几何性质可求出最小值，即可求出.

【详解】解：由得，，则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，

∴

，当在轴上时，最小为，

则最小值为，解得.

故答案为:.

【点睛】关键点睛：

本题考查了双曲线的几何性质，本题的关键是结合图形和双曲线的定义，明确何时取最小值，从而结合已知条件即可求出半径.

14．是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为       

【答案】

【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.

【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距离.

故答案为：.

【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

15．如图所示，已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且依次交抛物线及圆2于A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为     ．

【答案】13

【分析】当直线l的斜率不存在时，计算出,

当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，代入抛物线方程,利用韦达定理以及抛物线的定义可求得|AB|+4|CD|＝x1+4x2+5,再利用基本不等式可得最小值为13,比较可得答案.

【详解】抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，

圆2的圆心为F ，半径为，

当直线l的斜率不存在时，x＝2，联立 解得y2＝32，即y＝±4，

所以,所以,

所以,

当直线l的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2） ，

代入抛物线方程可得k2x2﹣（84k2）x+8k2＝0，k≠0，

设A（x1，y1），D（x2，y2），

可得x1+x2＝4，x1x2＝8，

由抛物线的定义可得|AB|+4|CD|＝|AF|4（|DF|）

＝x1+24（x2+2）＝x1+4x2+52513，

当且仅当x1＝4，x2，上式取得最小值13，

综上可得，|AB|+4|CD|的最小值为13，

故答案为: 13

【点睛】本题考查了直线与抛物线相交的问题,考查了抛物线的定义,考查了利用圆的方程求圆心坐标和半径,考查了基本不等式求和的最小值,考查了韦达定理,利用抛物线的定义求和是解题关键,属于中档题.

四、解答题

16．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1

(2)x2＋y2－x－y－1＝0

【分析】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式表示出点坐标，代入已知圆方程可得结论；

（2）设PQ的中点为N(x，y)，由，再由可得轨迹方程．

【详解】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y).

因为点P在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

（2）设PQ的中点为N(x，y).

在中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，如图，

则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2

＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

17．已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．

(1)求点E的轨迹方程；

(2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意列出等量关系，再结合椭圆的定义即可求出答案；

（2）将直线方程代入椭圆方程后应用根与系数的关系得，，然后把代入题中其他条件化简计算

【详解】（1）由题意知，，，所以，

所以E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，设椭圆E的方程为，

则，，所以，所以E的轨迹方程为．

（2）设，，联立，消去y得，

由得①，

所以，．

因为原点О总在以FQ为直径的圆的内部，所以，

即．而，

所以，

即，所以，且满足①式，所以m的取值范围是．

【点睛】（1）求轨迹方程是用定义法，即确定轨迹的形状﹐然后再求轨迹方程，求轨迹方程还有其他方法，如直接法、动点转移法、交轨法等；

（2）直线与椭圆相交问题﹐采取的是设而不求思想，即设交点坐标为，，将直线方程代入椭圆方程后应用根与系数的关系得，，然后把这个结论代入题中其他条件化简计算．

18．已知直线与椭圆交于两点.

（1）在，条件下，求的面积的最大值；

（2）当，时，求直线的方程.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】（1）当时，，所以，两点关于轴对称，设，，列出的面积，然后，利用基本不等式求出最值

（2）当时，设，利用椭圆的弦长公式，联立方程求解即可

【详解】（1）当时，，所以两点关于轴对称，设，

所以

所以

所以

当且仅当，即，等号成立，

所以的面积的最大值为1

（2）当时，设

，得

所以，

所以

又因为

所以

所以

所以直线的方程为

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系问题，以及求解椭圆中的弦长问题，属于基础题

19．已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）因为，当时，，，故解得，

，

，

所以，

所以，

因为，所以，

所以(常数)，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，

所以.

（2）由题得，

所以.

【点睛】本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法.

20．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）已知，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设公差为，由成等比数列，求得，然后可得通项公式；

（2）由等差数列前项和公式求得，用分组求和法求得，其中一组用裂项相消法求和，一组用等比数列的前项和公式求和．

【详解】解：（1）设公差为，由成等比数列，

所以，所以，所以，所以．

所以；

（2）由（1）得，

所以

所以

所以．

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，前项和公式，考查等比数列的性质、前项和公式，分组求和法，裂项相消法，考查了学生的运算求解能力．属于中档题．

21．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.

【详解】（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线

且

又为中点，且 且

四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）设，

由直四棱柱性质可知：平面

四边形为菱形    

则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：，，，D（0，-1,0）

取中点，连接，则

四边形为菱形且    为等边三角形

又平面，平面

平面，即平面

为平面的一个法向量，且

设平面的法向量，又，

，令，则，    

二面角的正弦值为：

【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.