2023-2024学年广东省潮州市潮安区凤塘中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省潮州市潮安区凤塘中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在四面体中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量线性运算法则化简.
【详解】.
故选：C
2．已知点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用过两点的直线的斜率公式计算即可.
【详解】因为点，，所以根据斜率公式得直线的斜率为.
故选：A.
3．已知向量，，则（ ）
A．3B．4C．2D．6
【答案】C
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算方法计算即可．
【详解】2,，5,，
，
故选：C．
4．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
5．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，分析即得解
【详解】由题意，向量，
故选：D
6．已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，对直线的倾斜角分钝角和锐角两种情况讨论，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】设直线交线段于点，记点，如下图所示：
当直线从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐减小，且为钝角，
此时直线的斜率；
当直线从点运动到点（不包括点）时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，
此时直线的斜率.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：C.
7．在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】A
【分析】利用点到平面yOz的距离是即可求出结果.
【详解】点到平面yOz的距离是,
故选：A.
8．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4B．2C．3D．1
【答案】D
【分析】根据，，共面得，利用坐标运算建立方程求解即可.
【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
所以，即，解得.
故选：D
二、多选题
9．已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为,根据空间两点间距离公式列式求解.
【详解】设点B的坐标为,
由空间两点间距离公式可得，解得或10,
所以B点的坐标为或.
故选：AC.
10．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．则下列说法正确的是（ ）
A．坐标是B．平面的法向量
C．平面D．点到平面的距离为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件结合给定的几何图形求出点，，，的坐标可判断A；计算，的坐标进而可得平面的法向量的坐标可判断B；求出的坐标，判断是否成立可判断C；利用点到平面的距离公式计算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：由图知：，，，，设，
由，，因为，所以，
可得，所以坐标是，故选项A正确；
对于B：，可得，，设平面的法向量，
由，则，令，，所以，故选项B不正确；
对于C：，因为平面的法向量，则，所以平面，故选项C正确；
对于D：，则点到平面的距离为，故选项D正确；
故选：ACD.
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【分析】利用空间向量共线定理判断A即可；由的关系式即可判断B；由的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.
【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，
所以，所以共线，又直线，不重合，
所以，故A正确；
因为直线的方向向量，平面的法向量是
且，所以，故B不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，
则有，所以，故C正确；
平面经过三点，，，
所以
又向量是平面的法向量，
所以
则，故D正确，
故选：ACD.
12．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量满足，则
B．任意向量满足
C．若为空间一基底，且，则四点共面.
D．已知向量，若，则为钝角.
【答案】AC
【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断D.
【详解】对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确；
对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误；
对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即
所以， 四点共面，故C选项正确；
对于D选项，当与共线且反向时，有，即，，即，故D选项错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若，且，则m的值为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求得答案.
【详解】∵,,，∴,
故答案为：．
14．如图所示，已知为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则三边所在直线的斜率之和为 ．
【答案】0
【分析】根据条件BC与x轴平行先得，再根据等腰得，即得结果.
【详解】由题意可知，．∵，∴，∴．
【点睛】本题考查倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.
15．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】取直线的方向向量为，
因为，，
所以，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
四、双空题
16．若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程的两根，若l1⊥l2，则b= ；若l1l2，则b= .
【答案】 2
【分析】两线垂直有，结合根与系数关系得到方程，求b值即可；两线平行有，即方程，即可求b值.
【详解】当l1⊥l2时，，得b=2.
当l1l2时，k1=k2，，得.
故答案为：2，.
五、解答题
17．已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数，的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解；
（2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解.
【详解】（1），，
；
（2），，
若，则，解得，，
经检验，符合题意，所以，.
18．如图，直棱柱的底面中，，，棱，如图，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系
（1）求平面的法向量；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为，即可求解平面的一个法向量；
（2）取出向量，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值.
详解：（1）由题意可知
故
设为平面的法向量，则
，
令，则
（2）设直线与平面夹角为，
点睛：本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
19．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求：
(1)点到平面的距离；
(2)平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法求点到平面的距离即可；
（2）由向量法求二面角的余弦值即可.
【详解】（1）如图建系，则
，，
所以，
设平面的法向量为，则
取，得
又
故点到平面的距离为
（2）
设平面ACM的法向量为，则
取，得，
设所求角为，则
故平面与平面夹角的余弦值.
20．如图，在正方体中， E、F分别是，CD的中点，
(1)求证：平面ADE；
(2)求异面直线EF，CB1所成的角
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，证明，，再由线面垂直的判定定理证明即可.
（2）用向量表示出，，由求出直线EF，CB1方向向量的夹角，进而可求异面直线的夹角.
【详解】（1）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），
则＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），
则，，
所以，.
所以，
因为,平面ADE, 平面ADE,
所以平面ADE.
（2）以D为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为1，
则（1，1，1），C（0，1，0），
故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－, ，，
，
设异面直线EF，CB1所成的角为，所以
则异面直线EF，CB1所成的角为.