人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第30讲 拓展一：指数函数+对数函数综合应用（2份打包，原卷版+含解析）
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第08讲 拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值域+奇偶性+单调性）题型01指数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由复合函数的单调性可得， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在零点，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有交点，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为对 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 故选：D【典例4】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）是偶函数．(1)求实数a的值；(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以对 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 时取等号），则 SKIPIF 1 < 0 ，所以所求函数为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】依题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.【变式2】（2023·全国·高一假期作业）求函数 SKIPIF 1 < 0 ，在定义域A上的值域.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调减函数∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是单调减函数，在 SKIPIF 1 < 0 是单调增函数∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在定义域A上的值域为 SKIPIF 1 < 0 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，换元得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .题型02指数（型）函数的单调性【典例1】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 均单调递减的一个充要条件是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ；因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均单调递减，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均单调递减的一个充要条件是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A【典例2】（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的图象是由 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验符合题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知：函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数.因为存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，又因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以不等式可转化为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，题意可知：问题等价转化为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·河北沧州·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∵函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：A．【变式2】（2023春·河北·高二校联考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列各式一定成立的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，其定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上也是增函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，综合可得：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为增函数，依次分析选项：对于A，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；对于B，有 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；对于C，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；对于D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，D错误．故选：A．【变式3】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，符合题意．（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知：因为 SKIPIF 1 < 0 在R上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 .题型03指数型函数的奇偶性【典例1】（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 不恒为0，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】要使 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴需 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：1.【变式1】（2023春·河南洛阳·高一统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则a=（ ）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】A【详解】根据偶函数的定义： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A【变式2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 题型04对数（型）函数的定义域【典例1】（2023春·海南海口·高一海口一中校考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】由题意由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；(2)求使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）要使函数有意义，需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.【变式2】（2023·上海松江·校考模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 题型05对数（型）函数的值域（最值）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的值域的子集，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）．A．10 B．1 C．11 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，故选：B【典例3】（2023春·安徽滁州·高一滁州市第二中学校联考期中）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以函数的值域为： SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．(1)判断并证明函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由函数 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数；（2） SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域包含 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故选：B【变式2】（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值的差为2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．4 B．3 C．2 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C【变式3】（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值域.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 为奇函数，理由如下：由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数.（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；方法一：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；方法二：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .【变式4】（2023秋·高一单元测试）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ﹒【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 函数的定义域 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由题设及(1)知：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最小值， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．题型06对数（型）函数的单调性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，综上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，而 SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，由题意可得需满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；经检验当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，符合题意；由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，综合以上可得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且开口向上，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，由外层函数 SKIPIF 1 < 0 是其定义域内单调递增，所以要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D．【变式1】（2023春·江苏南京·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 可看作函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的复合函数， 又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则有函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.【变式2】（2023春·河北承德·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；(2)求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ． 因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增． 又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式3】（2023春·河南平顶山·高一汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则a的取值范围是 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 题型07对数（型）函数的奇偶性【典例1】（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则a的值为 .【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在R上恒成立，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，又函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .(1)判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 .【答案】(1)奇函数(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 满足题意,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.【变式2】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则a的值为 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即a的值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
