山东省潍坊高密市第三中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省潍坊高密市第三中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的知识求得.
【详解】集合是自然数集，所以
故选：B
2. 定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A. [2a，a＋b]B. [0，b－a]C. [a，b]D. [－a，a＋b]
【答案】C
【解析】
【详解】令，∵，则，∴函数与是同一个函数；
∴的值域为
故选C
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性判断 的范围可得答案.
【详解】,
故，
故选：D.
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的定义域是可求出，令代替，可得，即可求出的定义域.
【详解】因为函数的定义域是
由，得，
所以的定义域是，
由
得.
所以的定义域为.故选：A
【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题 .
5. 我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数､羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（ ）
A. 24钱B. 165钱C. 21钱D. 150钱
【答案】D
【解析】
【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即可解得.
【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，
羊价为：.
故选：D
6. 若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
7. 函数的单调减区间为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间．利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间．
【详解】解：令，求得，故函数的定义域为，
本题即求在内的减区间．
利用二次函数的性质可得在内的减区间为，
即函数的单调减区间为，
故选B．
【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，求单调区间，一定要先求函数定义域．
8. 已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.
【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，
B. 当时，，
C. 是函数为奇函数的充要条件
D. “”是“”的充要条件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据判别式判断A、B；应用奇函数的性质判断C；解不等式求解集判断D.
【详解】A：由，故，为真；
B：由题设，故，为真；
C：对于奇函数，显然不存在，必要性不成立，为假；
D：由，而恒成立，
所以，故必要性成立，充分性不成立，为假.
故选：AB
10. 若，则下列不等式中恒成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以恒成立，
B：当时，显然成立，但是不成立，
C：因为，所以
（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；
D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，
故选：ACD
11. 下列判断错误的是（ ）
A. 方程组的解集为
B.
C. 的最小值为
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的运算，不等式的性质等逐项判断即可.
【详解】对于A，方程组的解集为点集，应该是，故A错误；
对于B,，故B正确；
对于C，当时， ，故C错误；
对于D，如果，则，那么，故D正确；
故选：AC
12. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，使得函数为奇函数
B. 存在实数，使得函数为偶函数
C. 当时，的单调增区间为，
D. 当时，若方程有三个不等实根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数a的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围.
【详解】由，显然当时有，但不存在实数使，A正确，B错误；
且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，C正确；
由解析式，当时在上递增，递减，上递增，
又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，
所以，又，可得，D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共小题，共分）
13. 已知函数有两个零点，分别在1的两侧，则实数的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】函数开口向上，
由题意知，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.
14. 已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象所过的点代入列式求解.
【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.
故答案为：
15. 已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得，
将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根，，，且，则
由图象可知，，，
又，可得，则
则，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
，即
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
16. 设．
（1）当时，f（x）的最小值是_____；
（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．
【答案】 ①. ②. [0，]
【解析】
【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.
【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，
当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，
则函数的最小值为，
（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，
若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．
若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，
则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，
要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，
即实数a的取值范围是[0，]
【点睛】本题主要考查分段函数最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可；
（2）换元法转化为二次函数求值域即可得解.
【小问1详解】
因为，
若，则，
令，则方程为，
解得或（舍去），
所以，解得.
【小问2详解】
因为，
令，则，
所以当时，取得最小值，
故的值域.
18. 已知，命题，；命题，使得.
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i.p真q假时和ii. p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解.
【小问1详解】
记，由在单调递增，所以.
要使命题，为真命题，只需，即a的最大值为1.
【小问2详解】
命题，使得为真命题，则，解得：或.
i.p真q假时，只需，所以；
ii. p假q真时，只需或，所以；
所以或.
综上所述：a的取值范围为.
19. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：.
（1）求集合，集合；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分式根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解；
（2）将是的充分不必要条件转为真子集关系，利用真子集的定义即可求解.
【小问1详解】
因为，
∴，即，解得，
∴，
∵（），
∴，解得或，
∴
【小问2详解】
∵是的充分不必要条件，
∴，，
令，则，
∴且等号不同时成立，解得，
∴实数取值范围是.
20.
已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.
【解析】
【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（3）解不等式，
即
即，
从而有，
所以.
不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.
21. 某商场新进一批成本为8400元的商品，如果每斤商品卖80元，可以卖出100斤.现在商场要进行商品促销活动，经调查，每斤商品的价格降低元，可以多卖出斤商品.
（1）若要使这批商品不亏本，求的取值范围；
（2）设利润的参照率，求利润的参照率的最大值及这时的商品价格.
（参考数据）
【答案】（1）； （2）利参照率的最大值为，商品价格为元.
【解析】
【分析】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，得出不等式，即可求解；
（2）设商品的价格降低元，得出利润的参照率的表达式，结合基本不等式求得最小值，即可得到答案.
【详解】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，
所以销售收入为元，
令，即，
即，解得，
所以要使这批商品不亏本，求的取值范围为.
（2）设商品的价格降低元，
可得利润为，
所以利润的参照率
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以利润的参照率的最大值为，这时的商品价格为元.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合题意，求得利润的参照率的表达式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
22. 已知关于的不等式.
（1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
（3）若不等式对有解，求的取值范围.
【答案】（1）不存在实数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】将转化为，
（1）讨论和时的情况；
（2），显然该函数单调，所以只需即可.
（3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.
【小问1详解】
原不等式等价于，
当时，，即，不恒成立；
当时，若不等式对于任意实数恒成立，
则且，无解；
综上，不存在实数，使不等式恒成立.
【小问2详解】
设，
当时，恒成立，
当且仅当，即，
解得即，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
若不等式对有解，
等价于时，有解.
令，
当时，即，此时显然在有解；
当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；
当时，对称轴为，，
时，有解，
结合一元二次函数图象，易得：或，
解得或（无解），
又∵，
;
综上所述，的取值范围为.