2023-2024学年山东省潍坊市高密市第三中学高二上学期第二阶段性监测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市高密市第三中学高二上学期第二阶段性监测数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为，
所以且，
所以，
故选：C.
2．已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．外离D．相交
【答案】D
【分析】根据方程确定出圆心和半径，然后根据圆心距和半径的关系进行判断.
【详解】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，
所以，
所以，
所以与两圆相交，
故选：D.
3．已知直线和平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若与斜交，则内不存在与垂直的直线
B．若，则内的所有直线与都垂直
C．若与斜交，则内存在与平行的直线
D．若，则内的所有直线与都平行
【答案】B
【分析】对于A，利用线面垂直的性质即可判断；对于B，根据线面垂直的定义即可判断；对于C，利用反证法即可判断；对于D，根据线面平行的定义即可判断.
【详解】对于A，当平面内的直线与直线在平面的投影垂直时，，故A错误；
对于B，若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线，故B正确；
对于C，若内存在与平行的直线，根据线面平行的判定定理可知，则与与斜交矛盾，所以内存在与平行的直线，故C错误；
对于D，若直线平面，则直线与平面内的所有直线平行或异面，故D错误.
故选：B.
4．已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A．若与相交，则B．若与平行，则
C．若与垂直，则D．若与重合，则
【答案】C
【分析】先根据求解出的可能值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据列出等量关系求解出的值，由此可判断C.
【详解】当时，，解得或，
若，则，此时，
若，则，此时，
由上可知：不可能重合，故D错误；
若与相交，则且，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，则有，则，故C正确；
故选：C.
5．在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点A到平面的距离为的长，求出答案.
【详解】连接，与相交于点，因为四边形为正方形，
所以⊥，
又⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
故点A到平面的距离为的长，
又棱长为4，所以.
故选：B
6．如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据条件证明出直线与平面所成角为，然后结合线段长度求解出的值，则可知.
【详解】连接，过点作交于点，如下图：
因为几何体为圆台，所以平面，所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，
因为为中点，所以，
又因为，所以平面，
所以直线与平面所成的角为，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
7．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案.
【详解】
将化为标准方程为：，
所以圆的圆心为，半径为2，
由题意，四边形面积为，
又因为，
所以当最短时，四边形面积最小，此时.
故选：C
8．已知正四面体的棱长为1，棱的一点满足，若点到面和面的距离分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图示，利用等体积法表示出，结合线段长度可求得的值.
【详解】设在平面内的射影点为，连接交于，连接，如下图所示：
因为几何体为正四面体，所以为底面正三角形的重心，
所以，
所以，
由题意可知：，
所以，且，
所以，
故选：A.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．已知向量，，若，则
B．已知向量，，则在上的投影的数量为
C．在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为
D．O为空间中任意一点，若，且，则P，A，B，C四点共面
【答案】AD
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量投影的数量的含义结合数量积计算可判断B；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断C；根据空间向量共面的结论可判断D.
【详解】对于A，向量，，，则，A正确；
对于B，向量，，则在上的投影的数量为，B错误；
对于C，点关于y轴的对称点为，C错误；
对于D，若，且，
则，
即，
则共面，即P，A，B，C四点共面，D正确，
故选：AD
10．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．直线与所成的角为60°D．二面角的大小为45°
【答案】ABCD
【分析】结合正方体的性质，由平面，线面垂直可判断选项A；由线面平行的判定定理可判断选项B；由异面直线所成角的定义可判断选项C；由二面角的平面角定义可判断选项D.
【详解】对于选项A，如图，
因为在正方体中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故选项A正确；
对于选项B，如图，
因为在正方体中，，平面，平面，所以AC//平面，故选项B正确；
对于选项C，如图，
因为在正方体中，，所以或其补角即为直线与所成的角，由为正三角形可知，，故选项C正确；
对于选项D，如图，
因为在正方体中，面，平面，
所以，，又因为二面角的交线为，
所以为二面角的平面角，在等腰直角中，，
故选项D正确.
故选：ABCD.
11．已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．圆上存在两点和，使得
C．圆上的点到直线的最大距离为
D．若，则
【答案】AC
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D.
【详解】A选项：圆：的标准方程为，
圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点，
所以圆到直线的距离为，即，解得，
所以的取值范围是，故A正确；
B选项：圆：的标准方程为，
圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为，
圆到直线AB的距离为，所以，
圆上任意两点，，，故B错误；
C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；
D选项：因为，所以为等边三角形，
圆到直线的距离为，所以，
故或，故D错误.
故选：AC
12．已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则（ ）
A．弧上存在点，使得与所成的角为
B．弧上存在点，使得平面
C．当时，点与动点的所有连线围成的图形面积为
D．当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为
【答案】ABCD
【分析】根据角度变化的最大值最小值的变化，确定存在范围内的角度，判断A选项；通过找的垂面，找到垂面与弧的交点，确定点，就可判断B选项；围成图形面积，即以半径的圆为底，为高的圆锥侧面积的，求解即可；球心为点，所以球面与个侧面的交线都是以为半径的圆上的弧，找到弧的圆心角即可求解交线长.
【详解】点在弧上运动时，
当在时，与所成的角为，
当在时，与所成的角为，
所以在的连续运动中，必存在一点，使其夹角为，故A对；
因为平面，平面，
所以，
又因为为正方形，则，
所以与弧的交点即为点，
此时,平面,平面，
所以平面，故B对；
当时，点与动点的所有连线围成的图形面积，即以半径的圆为底，为高的圆锥的侧面积的，
则，
则围成的图形面积为：，故C对；
当时，以点为球心，球的半径为，
各个侧面的顶点都为点，
所以球面与个侧面的交线都是以为半径的圆上的弧，
把侧面展开后，得到如图所示的图形，则所求长度即为，
由于图形关于对称，所以求出圆心角的一半，再用二倍角即可得到圆心角，
因为，
故，，
故所求弧的圆心角为，则带入弧长公式得：，故D正确.
故选：ABCD
三、填空题
13．已知向量，，若，则 ．
【答案】3
【分析】根据空间向量的共线，可得向量之间有倍数关系，由此可得方程组，即可求解答案.
【详解】由题意知向量，，，
故存在实数，使得，
即，解得，
故，
故答案为：3
14．已知直线是圆的一条对称轴，则 ．
【答案】/
【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案.
【详解】因为直线是圆的一条对称轴，故圆心在直线上，
又圆的圆心为，所以，得到，
故答案为：.
15．如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的最小值为 .
【答案】
【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果.
【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，
又因为，，所以直线方程为：，即，
所以，解得，即.
所以光线经过的路程为，
当四点共线时，.
故答案为：
四、双空题
16．已知菱形边长为2，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为 ，此时三棱锥的外接球的半径为
【答案】 /
【分析】作出辅助线，求出为二面角的平面角，由余弦定理求出，再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出球的半径.
【详解】因为菱形边长为2，，
所以为等边三角形，
取的中点，连接，
则⊥，⊥，且，
故为二面角的平面角，
因为，由余弦定理得，
故，
取的中心，故，
设三棱锥的球心为，则⊥平面，
过点作⊥平面，则点在的延长线上，且，
故，则，
设三棱锥外接球半径为，
过点作⊥于点，连接，则，
，设，
则，
故，解得，
故，
故答案为：，
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
五、解答题
17．如图，在菱形中，，，.
(1)求直线的方程及直线的倾斜角；
(2)求对角线所在的直线方程.
【答案】(1)直线的方程为，直线的倾斜角为
(2)
【分析】（1）求出直线的斜率，然后直接用点斜式即可求出直线的方程，求出直线的倾斜角，结合菱形的性质即可求出直线的倾斜角；
（2）结合菱形的性质，可得，再由点斜式即可求对角线所在的直线方程.
【详解】（1）由题意可得，
所以直线的方程为，即直线的方程为，
在菱形中，，即有，又直线的倾斜角为，
所以可得直线的倾斜角为；
（2）由（1）可得，结合菱形中，可得，可得，
所以对角线所在的直线方程为，即.
18．如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.
(1)求并求直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由勾股定理可直接求出；建系，利用空间向量法求出异面直线的夹角即可；
（2）用等体积法求出点到直线的距离即可；
【详解】（1）
连接，因为在长方体中，则，
则，
在中，，
所以；
以为原点，所在直线为轴建立坐标系，
则所以
设与所成的角，则，
因为异面直线所成的角时锐角或直角，则直线与所成角的余弦值为
（2）连接，因为，设点到平面的距离为，则，
因为，故，
点到平面的距离为.
19．已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于、两点，
（i）若，求直线的方程；
（ii）求弦最短时直线的方程.
【答案】(1)
(2)①或；②.
【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；
②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）解：设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
（2）解：①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
六、证明题
20．如图，在三棱柱中，，，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过证明结合线面平行的判定定理完成证明；
（2）根据条件先证明出平面，然后建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出二面角的余弦值.
【详解】（1）连接，如下图所示：

因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，因为，，
所以≌全等，且与均为等边三角形，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以是等腰直角三角形，
因为为的中点，所以且，
又因为，，所以是等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
又因为，所以平面，
以所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，
因为，所以，
又，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，令，则，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，令，则，
所以，
又因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
21．边长为4的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且.

(1)证明：平面平面；
(2)设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱（包含端点）上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过证明面得平面平面；
（2）根据条件求得，，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量，直线和平面所成角的正弦值为，利用函数求范围即可.
【详解】（1）在正方形中，
∵面面面，面面，
∴面，
∵面,∴，
∵在以为直径的半圆上，∴，
又∵面，面，
又面，
∴面面，
（2）∵，∴
又∵为二面角的平面角，
∴，同理.
在梯形中，.
取的中点，以为轴正半轴，以平行于的方向为轴正半轴，以平面内垂直于的方向为轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：

则，设，，
则，
设平面的法向量为
则，
令，则，
设直线和平面所成角为，
则，
设，
则，
令，
当时，，
当时，，
令，任意，
，
因为，所以，，，
所以，所以在上为减函数，
故，所以，
所以，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值的取值范围.
七、解答题
22．已知圆与圆：关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆的方程，明确圆心与半径，结合点关于直线对称的问题解决，可得答案；
（2）设出直线，利用几何法求得弦长，整理面积的函数表达式，利用二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）
由，则圆心，半径，
设直线，可知其斜率，
过并垂直于直线的直线斜率，则其方程，
整理可得，联立可得，解得，
设，则，解得，所以，
由圆与圆关于直线对称，则圆的半径，
所以圆.
（2）由题意可知，由，当斜率不存在时，斜率为，易知此时不符合题意；
由，则设，由，则设，
将代入直线的方程，可得，则，
点到直线的距离，，
点到直线的距离，，
令，由，则，且，，
由在四边形中，则，
设，令，可得，
分解因式可得，解得，
由函数的对称轴为直线，则单调递增，
由，则，所以.