山东省潍坊市高密市2019-2020学年高一上学期期中数学试题

2019—2020学年第一学期期中考试

高一数学

1.已知全集，，则集合的真子集共有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算集合，再计算集合的真子集个数.

【详解】全集，则

故集合的真子集共有个

故选：

【点睛】本题考查了补集，真子集的个数问题，混淆子集和真子集是容易发生的错误.

2.命题“ ”的否定形式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用命题的否定的定义得到答案.

【详解】命题“ ”的否定形式是：

故选：

【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.

3.计算的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数对数运算法则直接计算得到答案.

【详解】

故选：

【点睛】本题考查了指数，对数的计算，意在考查学生的计算能力.

4.，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果.

【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，

，

，故选D.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

5.函数的单调递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先计算定义域为，再设，分别计算单调性再根据复合函数的单调性得到答案.

【详解】的定义域满足

设，

易知：单调递减，在单调递增，在上单调递减.

根据复合函数的单调性得到：在上单调递增

故选：

【点睛】本题考查了复合函数的单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.

6.已知函数，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

设，换元得到，计算最小值得到答案.

【详解】，设

故 ，即当时，有最小值

故选：

【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.

7.已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数不具有的特性是（    ）

A. 在定义域内有单调递减区间 B. 图象过定点

C. 是奇函数 D. 其定义域是

【答案】D

【解析】

函数过定点，故．故.

故函数是上的减函数， A正确．B过点，正确．是奇函数，故C是正确的．D定义域中无x=0这个值，故定义域不是R．函数不符合这一特点．

故答案为D．

8.一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂年来某种产品的总产量与时间（年）的函数图象（如图），以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：

①前三年的年产量逐步增加；

②前三年的年产量逐步减少；

③后两年的年产量与第三年的年产量相同；

④后两年均没有生产．

其中正确判断的序号是（    ）

A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

【答案】B

【解析】

【分析】

观察图像得到前三年总量增加减少，后两年总量没有变化，判断得到答案.

【详解】根据图像观察知：

前三年总量增加减少，故前三年的年产量逐步减少，①错误②正确；

后两年总量没有变化，即后两年均没有生产，③错误④正确；

故选：

【点睛】本题考查了函数图像的应用，意在考查学生的应用能力.

9.若是正数，且，则有（    ）

A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用均值不等式得到，化简得到答案.

【详解】，当即时等号成立.

故选：

【点睛】本题考查了均值不等式的应用，属于常考题型.

10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意作出与的图像,可知其交于两点,因此,根据图像即可得出结论.

【详解】设,如下图所示,画出函数在上的图像,

可知与图像交于两点,

,即的图像要在上方,

所以满足条件的的取值范围为:,

故选:B.

【点睛】本题考查函数图像解不等式问题,涉及了函数奇偶性等知识,需要学生熟悉并掌握基本初等函数的各项性质,利用数形结合法解题.

11.已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则( )

A. 0 B. 6 C. 12 D. 18

【答案】D

【解析】

【分析】

，由此的图像关于点中心对称，关于点中心对称，故交点的横纵坐标之和为定值．

【详解】，由此的图像关于点中心对称，是奇函数，由此，所以关于点中心对称，，，所以

，故选D

【点睛】函数的对称性分轴对称和对称中心，图像关于点中心对称，那么对称点的横纵坐标之和为对称中心横纵坐标的2倍

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数偶函数

C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立

D. 存在三个点，使得为等边三角形

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案.

【详解】，正确；

，偶函数，正确；

，正确；

易知三点构成等边三角形，正确；

故选：

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.

二､填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)

13.若函数y＝ (k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

把函数的定义域为，转化为不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解。

【详解】由题意，函数 (k为常数)的定义域为R，

即不等式在上恒成立，

当时，不等式等价于恒成立，符合题意；

当时，则满足，即且，解得，

综上可得实数的取值范围是。

【点睛】本题主要考查了函数的定义域的概念，以及一元二次不等式的恒成立问题，其中解答中把函数的定义域为，转化为一元二次不等式的恒成立问题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。

14.定义在上的奇函数，已知当时，，则在上的解析式为______．

【答案】f（x）＝4﹣x﹣3﹣x

【解析】

【分析】

先根据计算，再设 ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.

【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x），已知当x∈[0，3]时，f（x）＝3x+a4x（a∈R），

当x＝0时，f（0）＝0，解得1+a＝0，所以a＝﹣1．

故当x∈[0，3]时，f（x）＝3x﹣4x．

当﹣3≤x≤0时，0≤﹣x≤3，所以f（﹣x）＝3﹣x﹣4﹣x，

由于函数为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）＝4﹣x﹣3﹣x.

故答案为：f（x）＝4﹣x﹣3﹣x

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.

15.某企业去年的年产量为，计划从今年起，每年的年产量比上年增加﹪，则第年的年产量为______.

【答案】y＝a（1+b%）x（x∈N*）

【解析】

【分析】

根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案.

【详解】设年产量经过x年增加到y件，

第一年为 y＝a（1+b%）

第二年为 y＝a（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）2，

第三年为 y＝a（1+b%）（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）3，

…

∴y＝a（1+b%）x（x∈N*）．

故答案为：y＝a（1+b%）x（x∈N*）

【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.

16.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：① ； ②； ③； ④ ，能被称为“理想函数”的有_____（请将所有正确命题的序号都填上）．

【答案】④

【解析】

【分析】

根据条件知：理想函数为奇函数和单调递减函数，依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.

【详解】条件①说明“理想”函数为奇函数；②说明“理想”函数为减函数．

函数①为对勾函数，此函数是奇函数，但在整个定义域内不是减函数，故不选①；

函数②是奇函数，但在整个定义域内是增函数，故不选②；

函数③，，函数为奇函数，在定义域内为增函数，故不选③；

函数④，画出图象，可知f（x）为奇函数，且为减函数；

故答案为：④

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，将新定义转化为奇函数和减函数是解题的关键.

三､解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.已知集合，，全集．

（1）当时，求，；

（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．

【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；（2）（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]

【解析】

【分析】

（1）当时，得到，再计算，得到答案.

（2）将充分不必要条件转化为A⫋B，再讨论和两种情况，分别计算得到答案.

【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；

∁UA＝{x|x＜1或x＞7}，∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞4}，

（∁UA）∩（∁RB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；

（2）∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，

①若A＝∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；

②若A≠∅，由A⫋B，得到，且a﹣1≥﹣2与2a+3≤4不同时取等号

解得：﹣1≤a，

综上所述：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]．

【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合关系求参数，将充分不必要条件转化为A⫋B是解题的关键

18.已知函数.

(1)求函数的零点;

(2)若函数的最小值为，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)确定的定义域后,令即可得零点;

(2)确定的单调性后即可得其最值,代入数据即可得结论.

【详解】(1)由解得,

故的定义域为,

又

令,解得或,

所以函数的零点为;

(2),

令,,

可知在上单调递增,在上单调递减,

又,所以在上单调递减,在上单调递增,

所以的最小值为,

所以.

【点睛】解决函数问题要遵循定义域先行原则,先确定函数定义域再求解,其次,复合函数单调性遵循同增异减法则.

19.已知函数．

（1）在直角坐标系内直接画出的图象；

（2）写出单调区间，并指出单调性（不要求证明）；

（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）图见解析；（2）在[﹣1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增；（3）（﹣1，1]∪[2，3）

【解析】

【分析】

（1）直接画出图像得到答案.

（2）根据图像得到函数的单调区间.

（3）变换得到，讨论的不同取值得到答案.

【详解】（1）由题意，函数f（x）大致图像如下：

（2）根据（1）中函数f（x）大致图像：

函数f（x）在[﹣1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增．

（3）根据（1）中函数f（x）大致图象，可知

①当t＜﹣1时，直线y＝t与y＝f（x）没有交点；

②当t＝﹣1时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

③当﹣1＜t≤1时，直线y＝t与y＝f（x）有2个交点；

④当1＜t＜2时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

⑤当2≤t＜3时，直线y＝t与y＝f（x）有2个交点；

⑥当t＝3时，直线y＝t与y＝f（x）有1个交点；

⑦当t＞3时，直线y＝t与y＝f（x）没有交点．

∴若函数y＝t﹣f（x）有两个不同的零点，实数t的取值范围为：（﹣1，1]∪[2，3）．

【点睛】本题考查了函数图像，函数单调性，函数零点问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

20.已知函数（为实数）．

（1）当时，判断函数的单调性，并用定义证明；

（2）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．

【答案】（1）定义域单调递增，证明见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）时，，设，计算得到答案.

（2）计算，根据和之间的关系求得.

【详解】（1）a＝0时，f（x），函数单调递增.

设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）

∵x1＞x2，∴220，f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）定义域单调递增

（2）f（﹣x），

①当a＝﹣1时，f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数；

②当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x），即为奇函数；

③当则a≠1且a≠﹣1时，f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），即非奇非偶函数．

综上所述：时为偶函数；时为奇函数；且时为非奇非偶函数.

【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

21.某地草场出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为30元．

（1）设派名消防队员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；

（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？（注：总损失费=灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费）

【答案】（1）t（x＞2且x∈N×）；（2）派16名消防员

【解析】

【分析】

（1）根据题意建立方程，化简得到答案.

（2）设总损失费为，则，求导得到函数的单调区间得到最小值.

【详解】（1）由题意可知：60（t+5）＝30xt，即t．由30x＞60可得x＞2．

故t关于x的函数为t（x＞2且x∈N×）．

（2）设总损失费为f（x），则

即

当即时等号成立.

故派16名消防员前去救火，总损失费用最少．

【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.

22.已知二次函数满足.

（1）求的解析式；

（2）若在上单调，求的取值范围；

（3）设（ 且a≠1），（且），当时，有最大值14，试求a值.

【答案】（1）f（x）；（2）p≤﹣7，或者p≥﹣3；（3）a＝3或

【解析】

【分析】

（1）利用代入化简得到答案.

（2）化简得到，得到对称轴或计算得到答案.

（3），设化简为二次函数计算得到答案.

【详解】（1）∵f（x）＝ax2+bx满足f（x﹣1）＝f（x）+x﹣1，

∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+bx+x﹣1，即ax2﹣（2a﹣b）x+a﹣b＝ax2+（b+1）x﹣1，

所以﹣（2a﹣b）＝b+1，a﹣b＝﹣1，得a，，

所以f（x）．

（2）因为g（x）＝﹣2f（x）+px＝﹣2（）+px＝x2+（p﹣1）x，x∈[2，4]上单调，

所以其对称轴x2，或者，所以p≤﹣7，或者p≥﹣3．

（3）F（x）＝4f（ax）+3a2x﹣1＝a2x+2ax﹣1，（a＞0且a≠1），

当x∈[﹣1，1]时，令t＝ax，y＝t2+2t﹣1＝（t+1）2﹣2，

当a＞1时，t，ymax＝F（a）＝（a+1）2﹣2＝14，得a＝3；

当0＜a＜1时，t，，得a．

故a＝3或．

【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.