山东省实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A. B. C. 2D.
2. 如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“直线与平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
8. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与共线
C. 与所成角为锐角D. ，，，可作为空间向量的一组基底
10. 已知两直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行
B. 存实数m，使直线垂直于x轴
C. 存在实数m，使直线，互相垂直
D. 当时，直线的方向向量不存在
11. 正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与垂直，则＝_____.
13. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________
14. 在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点，设.
（1）若，且，求向量；
（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积.
16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，，，点E是AP的中点，F是PB上的点，.
（1）求证：点F在平面ECD内；
（2）求点P到平面ECD的距离.
17. 已知直线l过点，O为坐标原点．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24．
ⅰ）求直线l方程；
ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．

（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
山东省实验中学2023级十月测试
数学试题
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.
【详解】点关于z轴的对称点为B，
所以.
故选：A.
2. 如图，在斜三棱柱中，M为BC中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
故选：A
3. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得直线的一个法向量为，则设直线为，再将代入求出，从而可得直线方程.
【详解】方法一 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
方法二 由题意知直线的一个法向量为，
∴直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为．
故选：B
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且，
所以，则，即，
所以，解得，所以.
故选：B
5. “”是“直线与平行”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当时，直线与平行；
当直线与平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与平行”的充要条件，
故选：C
6. 正四面体的棱长为2，点D是的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.
【详解】棱长为2的正四面体中，向量两两的夹角都为，
由点D是的中点，得，而，
所以
.
故选：D
7. 已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为，则，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.
【详解】
以正方形的顶点为坐标原点，建立如图坐标系，
根据题意，对角线的斜率为，设其倾斜角为，
则正方形的倾斜角分别为，
又，
所以两直角边斜率分别为或.
故选: B.
8. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，为锐角等价于，即，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系：则，，，，
，，
，，
所以，
，
由为锐角得，即，
所以，即，解得：，
当时，点位于点处，此时显然是锐角，符合题意，
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是为锐角等价于，即，还需利用，求出PA、的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与共线
C. 与所成角为锐角D. ，，，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.
【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；
对B：由、，有，故与共线，故B正确；
对C：，且与不共线，
故与所成角为锐角，故C正确；
对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10. 已知两直线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行
B. 存在实数m，使直线垂直于x轴
C. 存在实数m，使直线，互相垂直
D. 当时，直线的方向向量不存在
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.
【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确，
由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误，
当时，此时，，此时两直线垂直，C正确，
当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误，
故选：AC
11. 在正三棱柱中，，点满足BP=λBC+μBB1，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；
对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．
【详解】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，BP=BC+μBB1=BC+μCC1，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，BP=λBC+BB1=BB1+λB1C1，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，BP=12BC+μBB1，取，中点分别为，，则BP=BQ+μQH，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则A1P=−32,0,μ−1，BP=0,−12,μ，A1P⋅BP=μμ−1=0，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，BP=λBC+12BB1，取，中点为．BP=BM+λMN，所以点轨迹为线段．设，因为A32，0,0，所以AP=−32,y0,12，A1B=−32,12,−1，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若与垂直，则＝_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.
【详解】向量与垂直，则有，解得，
于是，
所以.
故答案为：
13. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围．
【详解】因，，，
所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：
或，
直线的斜率的取值范围是：．
故答案为：．
14. 在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由边上和边上的高线所在的直线方程，可得边和边所在直线的斜率，再由点坐标，可求边和边所在直线的方程，通过联立方程组，求出两点的坐标，可求边所在的直线方程
【详解】边上的高线所在的直线方程为，得，
边上的高线所在的直线方程为，得
已知，则AC边所在的直线方程为，即，
则AB边所在的直线方程为，即.
由，得．
由，得．
则BC边所在的直线方程为，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中三点，设.
（1）若，且，求向量；
（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；
（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.
【小问1详解】
由可得，
若，则，
又，所以，解得，
所以或.
【小问2详解】
由可得，，
所以，，，
所以，所以，
所以.
16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，，，点E是AP的中点，F是PB上的点，.
（1）求证：点F在平面ECD内；
（2）求点P到平面ECD的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的共面定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.
【小问1详解】
因为，，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
所以，
设
则，解得，所以
所以点F在平面ECD内.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
由（1）知
因为，所以，
令，则，所以，
又因为，
所以点P到平面ECD的距离.
17. 已知直线l过点，O为坐标原点．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；
（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24．
ⅰ）求直线l方程；
ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）或
（2）ⅰ） ，ⅱ），，
【解析】
【分析】（1）分类讨论截距是否为零，计算即可；
（2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可.
【小问1详解】
若直线过原点，易知其方程为：；
若直线不过原点，不妨设其方程为：，
代入点得，即；
【小问2详解】
i）由截距式设直线的方程为，所以，
所以，即 ；
ⅱ）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则，
因为为等腰三角形，
当M为直角顶点时，设，，，
所以，即，
所以或（舍），所以，即点；
当Q为直角顶点时，点，，符合题意；
当P为直角顶点时，设，由可得：，
所以，；
综上所以，，，符合题意．
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，底面，，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段上．

（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明， ，推出，然后证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可.
【小问1详解】
在平行四边形中，因为，，
所以，故，
由E、F分别为的中点，得，所以，
因为底面，底面ABCD，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】

因为底面，，所以两两垂直，
分别以所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则A0,0,0，
所以，由已知，
即，所以
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，
所以，
化简得，故或（舍）.
所以.
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解；
（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；
②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
解：因为平面，平面，平面两两垂直，
所以，
所以球面三角形ABC的面积；
【小问2详解】
解：①证明：由余弦定理可得：
，且,
所以，
即，
消去，则有：
即；
②由题意可知是球的直径，则有,
又，
所以平面，
又因为平面，
所以,
又因为，
所以平面，平面，
所以，
又因为直线与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨令，
则，，
又因为,,,
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系：
设，
则
可得，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以；
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以，
要使取最小值，则取最大值，
因为
令，
则，
所以
当且仅当时等号成立，
则的最大值为，
所以取最小值为.
【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.