2022-2023学年山东省潍坊高密市第三中学高二4月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省潍坊高密市第三中学高二4月月考数学试题

一、单选题

1．在等比数列中，，，则（    ）

A．12 B． C． D．15

【答案】C

【分析】利用等比数列的性质直接求解即可

【详解】由等比数列的性质，，∴．

故选：C

2．已知数列满足，，若，则（    ）

A．9 B． C．10 D．

【答案】B

【分析】根据等差中项判断为等差数列，即可根据等差数列基本量的计算求解.

【详解】由可得数列为等差数列，设其公差为，

所以，由得，

所以，

故选：B

3．已知随机变量服从正态分布，若﹐则实数a的值等于（    ）

A．1 B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性求解即可

【详解】根据正态分布的对称性可得与关于对称，故，解得

故选：A

4．某乡村旅游景点打造的民宿类型种数与年游客接待人数（单位：万人）之间有如下对应数据：

根据上表，求出关于的回归直线方程为．则的值为（    ）

A．40 B．45 C．50 D．55

【答案】D

【分析】根据表格数据求出样本中心点为，利用回归直线经过样本中心点求出的值.

【详解】由表格知，民宿类型种数的平均数，

年游客接待人数的平均数，

根据回归直线经过样本中心点，得

，解得．

故选：D.

5．设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性，可得，然后分别求得，最后可得直线方程.

【详解】由函数为奇函数

所以

由

所以

所以，则

所以

所以所求切线方程为，即

故选：B

6．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．

【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B，

则，，

所以，

故选：D．

7．某党支部有名党员，男女，为迎接建党周年，从中选取人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则（   ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.

【详解】由题意，知服从超几何分布，的可能取值为，，，

故，，

，

于是.

故选：C.

8．若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求导，再根据函数在时取得极小值，利用极值点的定义求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

因为函数在时取得极小值，

所以当或时，，当时，，

则，即，

所以实数的取值范围是，

故选：A

二、多选题

9．在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（    ）

A．若A、B不相邻共有12种方法 B．若A、B两人站在一起有24种方法

C．若A在B左边有12种排法 D．若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法

【答案】ACD

【分析】使用插空法可判断A；用捆绑法可判断B；定序问题用除法可判断C；根据特殊元素特殊位置优先排，计算可判断D.

【详解】A中，先排C，D，共有种，再将A，B插入到3个空位中，共有种，所以A、B不相邻共有种，A正确；

B中，由捆绑法得，A、B两人站在一起共有，B错误；

C中，四人排成一排共有种，A，B的位置关系共两种，A在B左边占一半，故满足条件的排法有种，C正确；

D中，当B站最左边时，共有种；当B不站最左边时，先排B有2种，再排A有2种，最后排CD有，所以.所以A不站在最左边，B不站最右边共有14种方法.D正确.

故选：ACD

10．设等差数列的前n项和为．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n项和公式即可.

【详解】由题设，，解得，

∴，.

故选：AC

11．下列说法正确的是（    ）

A．线性回归方程对应的直线一定经过点

B．5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，恰好取到1件次品的概率为

C．某中学为了解学生课外体育锻炼时间，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为100的样本，已知该校高一､高二､高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取30名学生

D．“两个事件是对立事件”的充分不必要条件是“两个事件是互斥事件”

【答案】ABC

【分析】对A，线性回归方程对应的直线一定经过样本中心点；

对B，根据古典概型的计算公式可以求得；

对C，根据分层抽样的抽样比可以直接计算得出结果；

对D，根据对立事件与互斥事件的概念结合充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】对A，线性回归方程对应的直线一定经过样本中心点，故A正确；

对B，恰好取到1件次品的概率为，故B正确；

对C，应从高二年级中抽取名学生，故C正确；

对D，若两个事件是互斥事件，则两个事件不一定是对立事件；

若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，

所以“两个事件是对立事件”的必要不充分条件是“两个事件是互斥事件”，

故D错误，

故选：ABC.

12．定义方程的实数根为函数的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】可求出导函数g′(x)，然后判断方程g(x)=g′(x)的实数根的个数，只有一个实数根的便只有一个“新不动点”，有多个实数根的便有多个“新不动点”，这样即可找出正确的选项.

【详解】若，则，令，解得，，可知有2个“新不动点”，A不符合题意．

若，则，令，解得，可知有1个“新不动点”，B符合题意．

若，则，令（），则，

所以在上单调递增，又，，

所以在上存在唯一零点，，即有唯一解，可知有1个“新不动点”，C符合题意．

若，则，令，即，即，因为函数的周期为，所以的根有无数个，可知有无数个“新不动点”，D不符合题意．

故选：BC．

三、填空题

13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有          种.

【答案】

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

14．在展开式中，的系数为12，则实数a等于      ．

【答案】2

【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于4，求得，再根据展开式中的系数为12，即可得出答案.

【详解】解：的展开式的通项为，

令，则，

则在展开式中，的系数为，

所以.

故答案为：2.

15．设等差数列的前项和为，且，，则当      时，最大．

【答案】1011

【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解.

【详解】因为为等差数列，所以，即；

同理由可得，所以，所以当时，最大．

故答案为：1011.

16．已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是           .

【答案】

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得解.

【详解】构造函数，则，故函数在上单调递减，

由已知可得，

由可得，可得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；

（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解．

【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为a1，

由题意，有，解得，

所以；

（2）解：，所以．

18．甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.

(1)求甲能入选的概率.

(2)求乙得分的分布列和数学期望；

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，再利用独立重复事件概率公式求解即可.，

（2）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，由排列组合的知识分别可求其概率，进而可得其分布列，由期望的定义可得数学期望.

【详解】（1）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，

则.

（2）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，

；     ；

；    .

其概率分布表如下：

 .

19．已知数列的前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）当n=1时，求出，当n≥2时，由，得，两式相减可得，从而可得是以为首项，为公比的等比数列，进而可求出的通项公式；

（2）由（1）可得，则，从而有，然后利用裂项相消求和法求出，从而可求出的取值范围

【详解】解：（1）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1，得a1=，

当n≥2时，

当n≥2时，

又

时，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

（2）由（1）知：

++…+=

=

因为当增大时，也在增大，且，所以当时，取最小值，

所以

20．已知函数．

（1）当时，求在上的值域；

（2）若方程有三个不同的解，求b的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）求出函数的导数，令，列出的变化情况表，即可求出最值；

（2）题目等价于有三个不同的解，根据（1）得出的单调性和极值，即可求出的范围.

【详解】（1）当时，，

，

令，解得，

当变化时，的变化情况如下表：

可得当时，取得最小值为，

当时，取得最大值为，

在上的值域为；

（2）方程有三个不同的解，

即有三个不同的解，

由（1）知，在单调递增，在单调递减，

在处取得极大值为，在处取得极小值为，

，解得.

【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：

（1）先求出函数的导数；

（2）根据导数的正负判断函数的单调性；

（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.

21．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：

(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；

(2)将频率视为概率，现从哈市60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．

参考公式：，其中

【答案】(1)有的把握认为支付方式的选择与年龄有关

(2)

分布列见解析，，

【分析】（1）利用公式求出卡方，通过与3.841比较大小得到结论；（2）计算出的可能取值与相应的概率，进而求出分布列，利用二项分布数学期望和方差的公式进行求解.

【详解】（1）根据题意可得:的观测值，所以有的把握认为支付方式的选择与年龄有关．

（2）由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“手机支付”的概率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，

所以的分布列为

，．

22．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；

(2).

【分析】（1）根据函数的导数与函数单调性的关系即得；

（2）由题可得，然后利用参变分离可得在上恒成立，构造函数利用导数求函数最值即得.

【详解】（1）当时，，函数的定义域为，

∴，由，得，

当时，，故在上是增函数，

当时，，故在上是减函数，

∴的单调增区间为，单调减区间为；

（2）由，得，

∴，

∴，由在上恒成立，

得在上恒成立，

令，，可得，，

令，得，令，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，也是最小值，即，

∴的取值范围是．