北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题图文ppt课件

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题图文ppt课件，共45页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，关键能力•攻重难，题型探究，易错警示，课堂检测•固双基等内容，欢迎下载使用。

§7　导数的应用7．1　实际问题中导数的意义7．2　实际问题中的最值问题
 1．体会导数在解决实际问题中的作用．2．能利用导数解决简单的实际问题． 通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养.
(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率．它的单位是瓦特．(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的重要指标．(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．
练一练：1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等于( 　　)A．－12B．12 C．2D．－7[解析]　因为s′＝－6t，所以s′(2)＝－12.
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( 　　)A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．10小时的平均降雨量D．t＝10时的温度[解析]　f′(t)表示t时刻的降雨强度．
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小，体积最大，成本最低，时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题，导数是解决最优化问题的一个重要工具．
想一想：用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
练一练：某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( 　　)A．900元B．840元C．818元D．816元
一辆正在加速行驶的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h，如下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s.时间单位为s.
(1)分别计算当t从0 s变到1 s，从3 s变到5 s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；(2)根据上面的数据可以得到速度v关于时间t的函数，近似的表示式为v＝f(t)＝－t2＋10t.求f′(1)，并解释它的实际意义．
[规律方法]　在物理中速度是路程关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数．
(1)求f(x)的解析式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小？并求最小值．
答：宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万 元．
[规律方法]　解决优化问题应注意两点：(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数解析式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
(1)写出2023年第x个月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2023年第几个月销售该商品的月利润g(x)最大，最大月利润为多少元？
∴当x∈N＋且1≤x≤6时，g(x)max＝g(5)＝3 125.当x∈N＋且7≤x≤12时，g(x)＝－480x＋6 400单调递减，故g(x)max＝g(7)＝3 040<3 125.答：该商场2023年第5个月的月利润最大，最大月利润为3 125元．
[规律方法]　解决利润最大问题的思路及注意点：(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．(2)求解此类问题需注意两点：①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点，也是最大值点，所以该商品销售价格的值为3元/件时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
忽视实际应用问题中的定义域而致误 现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y表示为速度x的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
[误区警示]　本题最易出现的错误是认为当x＝40时函数取得极小值，也是最小值，但实际上题目中给出了轮船的最大航行速度，因此x＝40是取不到的．
1.某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的瞬时速度是( 　　)A．500 m/hB．1 000 m/hC．400 m/hD．1 200 m/h[解析]　∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产_____千台．[解析]　设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_____千米处.