北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题精练

【优选】7.2 实际问题中的最值问题-1练习

一．填空题

1．函数的最大值是______________.

2．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为________.

3．已知函数的定义域为，其导函数为，对任意，恒成立，且，则不等式的解集为________.

4．函数在上递减，则实数的取值范围是_____.

5．已知函数，若在区间上是增函数，则实数的取值范围为_________．

6．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=__________.

7．已知函数，下列命题：

①为偶函数；②的最大值为2；

③在内的零点个数为18；

④的任何一个极大值都大于1.

其中所有正确命题的序号是_____．

8．函数的单调递减区间为__________.

9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

10．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是________.

11．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．

12．已知函数，则__________.

13．若函数在区间内有且仅有1个极值点，则实数的取值范围为______.

14．当时，恒成立，则实数的取值范围是______________.

15．已知函数 ，若函数有四个不同的零点，则的取值范围为______

16．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________．

17．如图，内接于抛物线的矩形，其中，在抛物线上运动，，在轴上运动，则此矩形的面积的最大值是______.

18．函数的最小值为______________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.

详解：，

当，，所以在上单调递增；

当，，所以在上单调递减；

所以.

【点睛】

一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

2．【答案】

【解析】因为，所以，

因为函数在上为增函数，

所以对恒成立，

即对恒成立，从而.

故答案为：

3．【答案】

【解析】构造函数，由变形得，即，再根据的单调性即可求解.

详解：令，，所以单调递增，不等式，等价于，因为，所以等价于，则，又，故的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据函数的单调性解不等式，解题的关键是会构造函数，考查学生的灵活应变能力.

4．【答案】

【解析】求出函数的导数，由函数在上递减，故在上恒成立，即可求出参数的取值范围；

详解：解：因为的定义域为，

又因为在上递减，故在上恒成立，

在上恒成立，

因为在上单调递减，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

5．【答案】

【解析】由题意知f ′(x)＝x＋2a？≥0在上恒成立，即2a≥？x＋在上恒成立，

∵＝，∴2a≥，即a≥.

6．【答案】0

【解析】分析：由题意对已知函数进行二次求导，得出函数关于点中心对称，即，有次即可得到结果.

详解：由可得，，令解得，，由题意可得函数关于点中心对称，所以，所以

.

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查导函数的求法，以及中心对称问题，解题的关键是找出中心对称的对称中心，考查学生的综合分析能力.

7．【答案】①②④

【解析】由于函数，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性．最值．对称性和极值，从而可判断命题的真假．

详解：解：对于①，函数，定义域为，且满足，

所以函数为偶函数，故①正确；

对于②，因为，，所以，

又因为，即当时，取得最大值为2，故②正确；

对于③，的图象如图所示，可知在内有10个零点，

由①可知为偶函数，其零点关于原点对称，

所以在内的零点个数为20，所以③错误；

对于④，由于是偶函数，则只需考虑的情况，

此时，则，

由和的图象可知，

在每一个区间上，时，有2个解，

且当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

而，所以得极大值为，

所以的任何一个极大值都大于1，故④正确.

综上知，正确的命题序号是①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性．最值．对称性．极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题．

8．【答案】

【解析】函数的定义域为，

且：，

求解不等式：，

结合函数的定义域可得：，

则函数的单调递减区间为.

9．【答案】

【解析】分析：先对不等式进行整理，得到对恒成立，设，利用导数求出的值域，然后根据一次函数保号性得到关于的不等式组，通过配凑系数，得到答案.

详解：因为对恒成立，

两边同除以得对恒成立，

故令，，不等式转化为，

，令得，

所以，，单调递减，，，单调递增，

所以时，取最小值为，

当时，；当时，；

所以的值域为，

根据一次函数保号性可知

令，

得，解得，

所以，

故答案为

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题.

10．【答案】

【解析】由于，由题意得关于的方程的两个相异实数根，由此可求得，再将转化为结合韦达定理即可求得的取值范围.

详解：因为，

所以，

又因为函数存在不相等的两个“点”和，

所以，是关于的方程的两个相异实数根．

所以，

又，，

所以，即，

从而，

因为，所以，

即，所以，

因为，

所以

，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思想的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题.

11．【答案】．

【解析】详解：分析：由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集．

详解：由图象特征可得，

导数，在上，在上，

所以等价于或，解得或，

即不等式的解集为．

点睛：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求得函数的单调性是本题解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

12．【答案】e

【解析】，令得

所以

13．【答案】

【解析】由已知将问题转化为在区间内有1个变号零点，即在区间内有1个变号解，令，运用导函数分析函数的单调性，得出函数的图像的趋势，可得出实数的取值范围.

详解：若函数在区间内有有且仅有1个极值点，

则在区间内有1个变号零点，

即在区间内有1个变号解，

令，则，所以当时，，函数单调递减；

当，，函数单调递增，

又当时，，且，当时，，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由函数的极值点的个数求参数的范围的问题，关键在于构造函数，分析其单调性，运用数形结合的思想，属于难题.

14．【答案】

【解析】设，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围.

详解：由题意，设，

则，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又由，即，

即函数在区间的最大值为2，

又由当时，恒成立，所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】先利用导数求出时，函数的单调性及极值，再结合题意，建立关于的不等式组，解不等式组即可得出答案．

详解：当时，，

故函数在，单调递增，在单调递减，

当时，，，，

由于最多有3个零点，最多只有一个零点，

故要使函数有四个不同的零点，则需，解得．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的极值及最值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．

16．【答案】

【解析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立，再分类讨论即可得答案.

详解：解：因为函数在上单调递增，

所以在区间上恒成立，

当时，显然在区间上恒成立，

当时，因为在区间上恒成立，

所以在区间上恒成立，

所以 在区间上恒成立，

所以

综上实数的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.

17．【答案】

【解析】构造矩形面积的函数，利用导数求解函数的最大值，即为所求.

详解：设，则点的坐标为，点的坐标为，

∴矩形的面积，.

由，得（舍），，

∴时，，单调递增，

时，，单调递减，

故当时，取最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最大值，涉及构造函数，属综合中档题.

18．【答案】

【解析】先求出，得出单调性，从而得到最小值.

详解：因为，定义域为

由，得，，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故．

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.