数学7.2 实际问题中的最值问题巩固练习

【优选】7.2 实际问题中的最值问题作业练习

一．填空题

1．函数的最小值是_____．

2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是__________.

3．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.

4．函数在处取得极值，则______.

5．设函数在处取得极值为0，则__________．

6．已知函数，现给出下列结论：

①有极小值，但无最小值

②有极大值，但无最大值

③若方程恰有一个实数根，则

④若方程恰有三个不同实数根，则

其中所有正确结论的序号为_________

7．函数在区间上的最小值为______.

8．函数的递减区间是           .

9．已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是______________.

10．如图所示，为为某一值时和在同一直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，的范围为_____.

11．对于三次函数．给出定义：設是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，则该函数的对称中心为____________，计算则的值等于_____________；

12．已知函数，且对于任意的，，，恒成立，则的取值范围是________.

13．已知函数，存在不相等的常数，，使得，且，则的最小值为____________.

14．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．

15．函数的最小值是______.

16．函数在上的最大值是____．

17．已知函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，则的取值范围是______.

18．已知函数（）.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】对求导，讨论函数的单调性，求函数的极小值即为最小值.

详解：，令，则时，时，在上单调递减，在上单调递增.是函数的唯一极小值点，即为最小值点，.

故答案为: .

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调性和最值，属于基础题.

2．【答案】

【解析】求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系只需在上即可.

详解：由函数，所以，

函数在上单调递增，

则，即，所以，

令，因为，

由对勾函数的单调性可知在单调递增，

故，故，即实数a的取值范围是

故答案为： .

【点睛】

本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.

3．【答案】

【解析】先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值．

详解：，

则，解得，所以，

则.令，得或；

令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.

【点睛】

本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a．

4．【答案】

【解析】根据极值点处解得值，再验证即可.

详解：由知

因为函数在处取得极值，所以，解得，

此时，，所以在递减，在递增

故满足函数在处取得极值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的极值点，…，学生易忘记验证而犯错，属于常考题.

5．【答案】

【解析】，因为函数y=f(x)在处取得极值为0，所以，解得（舍）或，

代入检验时。无极值。所以（舍）。符合题意。所以=。填。

【点睛】

对于可导函数，导数为0是极值点必要条件，所以对于通过导数为0求出参数的问题，需要进行检验。

6．【答案】②④

【解析】

所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；

因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性．草图确定其中参数范围．从图象的最高点．最低点，分析函数的最值．极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性．周期性等．

7．【答案】

【解析】首先求出函数的导数，再令．得到函数的单调性，从而可得函数的最值；

详解：解：因为，则定义域为

所以

令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调减，

所以在处取得极小值，也就是最小值且，

又因为，，

所以函数在区间上的最小值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.

8．【答案】[-1,1]

【解析】

9．【答案】

【解析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据能成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.

详解：，

即为，

整理得到，即，使得成立，

（当且仅当，即时取等号），，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.

10．【答案】

【解析】构造函数,代入后求得.根据函数的单调性,可得极大值与极小值.由题意可知函数有两个正的零点,结合三次函数图像可得关于的不等式,解不等式组即可求得的取值范围.

详解：令

代入可得

则

当时,,单调递增

当时, ,单调递减

当时,,单调递增

所以在处取得极大值,在处取得极小值

因为两函数图象在y轴右侧有两个交点

即有两个正的零点

结合三次函数图像可知只需满足

即,解得

即

故答案为:

【点睛】

本题考查了函数零点与函数交点关系,构造函数法分析函数的交点情况,三次函数图像与性质的应用,属于中档题.

11．【答案】   

【解析】首先确定函数的拐点，然后结合函数的对称性整理计算即可求得最终结果.

详解：由函数的解析式可得：，则，

令可得，

由函数的解析式可得：，

据此可知函数的对称中心为，故

令，        ①

则，        ②

①+②可得：，则，

即.

故答案为：；

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念．新公式．新定理．新法则．新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

12．【答案】

【解析】先求导，确定函数的单调性，然后不妨设，且 ，将恒成立，去绝对值转化为恒成立，令，转化为是减函数，通过恒成立求解.

详解：因为函数，

所以，

因为，

所以 ，

所以，

所以在是增函数，

不妨设，且 ，

因为恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立，

令，

因为是减函数，

所以，恒成立，

所以恒成立，

因为

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数法研究不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

13．【答案】

【解析】求出，由已知可得为的两根，求出关系，并将用表示，从而把表示为关于的函数设为，利用的单调性，即可求解.

详解：因为的定义域为，

，

令，即，，

因为存在，，使得，且，

即在上有两个不相等的实数根，，

且，，所以，，

∴

，

令，

则，

当时，恒成立，

所以在上单调递减，

∴，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查最值问题．根与系数关系．函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理．计算求解能力，属于中档题.

14．【答案】.

【解析】详解：分析：先求出函数的导数，f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立，下面只要二次函数的根的判别式△≤0即可求得a的取值范围；

详解：f′（x）=ex[x2+（-a+2）x-a+2]，考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，∴f（x）在R上单调等价于x2+（-a+2）x-a+2≥0恒成立．∴（-a+2）2-4（-a+2）≤0，

∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2] .

点睛：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力．属于基础题．

15．【答案】

【解析】对求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,

详解：因为，故可得，

令，解得；

故当时，单调递减；

当时，单调递增；

当时，单调递减.

且，

当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于零.

函数图像如下所示：

故的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.

16．【答案】

【解析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．

详解：函数，，令，解得．

因为，函数在上单调递增，在单调递减；

时，取得最大值，．

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性．极值与最值是解题的关键．

17．【答案】

【解析】求导数，利用导函数的图象开口向下且，得，的约束条件，根据据线性规划求出目标函数的最值，即可求得的取值范围．

详解：由，所以，

由函数在处取得极小值，在处取得极大值，

所以，是的两个根，且导函数的图象开口向下，

 由，得，

 即 , 化简得，

满足条件的约束条件的可行域如图阴影部分所示：

令，则当直线，经过点时，取得最大值，

联立方程 ，可得点的坐标为，

所以，

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数的极值以及不等式求解函数的最值，同时考查了学生的转化思想，考查分析问题解决问题的能力．

18．【答案】

【解析】由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.

详解：由得,设，则存在，使得成立，

即成立.所以成立，所以成立，

又令，，所以时， 单调递增，当时，有最小值，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性．极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.