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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题精品课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题精品课件ppt，文件包含§772实际问题中的最值问题课件pptx、§772实际问题中的最值问题教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献.”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系.导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
一、面积、体积最值问题
二、用料最省、费用最低问题
例1 请你设计一个包装盒.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
反思感悟 (1)利用导数解决优化问题的基本思路(2)几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).(1)将S表示为θ的函数；
解 由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcs θ＝100＋100cs θ，
＝5 000(sin θ＋sin θcs θ)，θ∈(0，π).
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.
解 S′＝5 000(2cs2θ＋cs θ－1)＝5 000(2cs θ－1)(cs θ＋1).
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
例2 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y单调递减；v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增，故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]时，y′＜0，即y在(8，v0]上单调递减，
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；
反思感悟 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关.解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围.
跟踪训练2 某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边(假设为场地的长)可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
延伸探究 本例条件换为该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋ (a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝ －100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
解 由题意得，当x＝2时，y＝800，∴a＋b＝800，又∵当x＝3时，y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大( ≈2.65).
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴当x＝4时，f(x)有最大值1 800.
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，∵1 800＜1 840，∴当x＝5.3时，f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大.
反思感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
跟踪训练3 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝ (x∈N＋).(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去).当00；当x>16时，T′<0；所以当x＝16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
1.知识清单：(1)面积、体积最值问题.(2)用料最省、费用最低问题.(3)利润最大问题.2.方法归纳：数学建模、函数与方程思想.3.常见误区：(1)题意理解不透彻，列解析式错误.(2)求导错误，最值求错.
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ ＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
∴y′＝－x2＋81(x>0).令y′＝0，得x＝9，令y′<0，得x>9，令y′>0，得0
解析 由题意，得f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______ cm3.
解析 设小正方形的边长为x，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)(0
且当020时，f′(x)>0，故当x＝20时，f(x)最小.
所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当40
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t<8时，y′>0，当8
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
则V′＝lπr－6πr2，
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
解析 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此时L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
5.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝ 则总利润最大时，每年生产的产品是A.100 B.150 C.200 D.300
解析 由题意，得总成本为C＝20 000＋100x，
当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大.
6.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为
解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.
解析 设没有租出去的公寓数为x，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)，所以f′(x)＝1 600－100x，令f′(x)＝0，解得x＝16，所以当x＝16时，f(x)取最大值，所以把租金定为1 800元时，收入最大.
7.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入.
8.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_____.
解析 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
9.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
解 设AD＝2x(0
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值.
由f′(x)≥0，得x≥5；所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增，故当x＝5时，f(x)取得最小值150.综上所述，宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.
11.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为
解析 设圆的半径为x，记矩形高为h，
12.如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，则在AB上离点B距离为_____处修筑公路至C，可使运费由A至C最省.
13.在等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝_____时，等腰梯形的面积最大.
解析 如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sin θ，AB＝40＋2ADcs θ，故S＝ AD·sin θ(40＋40＋2ADcs θ)＝20(80＋80cs θ)sin θ＝1 600(1＋cs θ)sin θ.S′＝1 600[cs θ(1＋cs θ)－sin θsin θ]，令S′＝0，得cs θ＝－1或cs θ＝ .
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为____ m时，帐篷的体积最大.
解析 设OO1＝x，则10，V(x)单调递增；当2
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是
解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y＝kx，当投入4万元时，利润为1万元，
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
设乙产品投入资金为x，则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；
而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
当00，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋ ＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献.”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系.导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？
一、面积、体积最值问题
二、用料最省、费用最低问题
例1 请你设计一个包装盒.如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
反思感悟 (1)利用导数解决优化问题的基本思路(2)几何中最值问题的求解思路面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).(1)将S表示为θ的函数；
解 由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcs θ＝100＋100cs θ，
＝5 000(sin θ＋sin θcs θ)，θ∈(0，π).
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.
解 S′＝5 000(2cs2θ＋cs θ－1)＝5 000(2cs θ－1)(cs θ＋1).
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
例2 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元.为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？
解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y单调递减；v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增，故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；
当v0＜16时，v∈(8，v0]时，y′＜0，即y在(8，v0]上单调递减，
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；
反思感悟 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关.解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围.
跟踪训练2 某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边(假设为场地的长)可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
例3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
延伸探究 本例条件换为该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋ (a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝ －100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
解 由题意得，当x＝2时，y＝800，∴a＋b＝800，又∵当x＝3时，y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大( ≈2.65).
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴当x＝4时，f(x)有最大值1 800.
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，∵1 800＜1 840，∴当x＝5.3时，f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大.
反思感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
跟踪训练3 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝ (x∈N＋).(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去).当0
(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
1.知识清单：(1)面积、体积最值问题.(2)用料最省、费用最低问题.(3)利润最大问题.2.方法归纳：数学建模、函数与方程思想.3.常见误区：(1)题意理解不透彻，列解析式错误.(2)求导错误，最值求错.
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－ ＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
∴y′＝－x2＋81(x>0).令y′＝0，得x＝9，令y′<0，得x>9，令y′>0，得0
解析 由题意，得f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.
3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______ cm3.
解析 设小正方形的边长为x，则盒子的容积为V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)(0
且当0
所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当40
令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t<8时，y′>0，当8
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
则V′＝lπr－6πr2，
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
解析 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此时L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
5.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝ 则总利润最大时，每年生产的产品是A.100 B.150 C.200 D.300
解析 由题意，得总成本为C＝20 000＋100x，
当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大.
6.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为
解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.
解析 设没有租出去的公寓数为x，则收入函数f(x)＝(1 000＋50x)(50－x)－100(50－x)，所以f′(x)＝1 600－100x，令f′(x)＝0，解得x＝16，所以当x＝16时，f(x)取最大值，所以把租金定为1 800元时，收入最大.
7.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入.
8.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_____.
解析 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
9.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
解 设AD＝2x(0
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值.
由f′(x)≥0，得x≥5；所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增，故当x＝5时，f(x)取得最小值150.综上所述，宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.
11.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为
解析 设圆的半径为x，记矩形高为h，
12.如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，则在AB上离点B距离为_____处修筑公路至C，可使运费由A至C最省.
13.在等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝_____时，等腰梯形的面积最大.
解析 如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sin θ，AB＝40＋2ADcs θ，故S＝ AD·sin θ(40＋40＋2ADcs θ)＝20(80＋80cs θ)sin θ＝1 600(1＋cs θ)sin θ.S′＝1 600[cs θ(1＋cs θ)－sin θsin θ]，令S′＝0，得cs θ＝－1或cs θ＝ .
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为____ m时，帐篷的体积最大.
解析 设OO1＝x，则1
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是
解析 ∵甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y＝kx，当投入4万元时，利润为1万元，
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
设乙产品投入资金为x，则甲产品投入资金为10－x,0≤x≤10，
16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；
而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
当0
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
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