专题15 二次函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题15 二次函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共85页。试卷主要包含了二次函数的概念，二次函数的解析式，二次函数的平移，抛物线与x轴的交点，图象法求一元二次方程的近似根等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．二次函数的概念
一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
2．二次函数的解析式
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
（3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）．
3．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
5．待定系数法求二次函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；
（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
6．二次函数的平移
7．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
8．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
9．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找出题中的已知量和未知量；
（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；
（4）找出等量关系并列出函数解析式；
（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
吃透考点
1．二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
注意：
（1）二次项系数a≠0；
（2）ax2＋bx＋c必须是整式；
（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
（4）自变量x的取值范围是全体实数．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象及性质
3．二次函数的性质
（1）抛物线的顶点式，对称轴是平行于轴的直线．
（2）当时，抛物线在轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当时，抛物线在轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展．
（3）当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而减小；在对称轴（）的右侧，随着的增大而增大；当时，函数的值最小（是0）；
当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而增大；在对称轴（）的右侧，随着的增大而减小；当时，函数的值最大（是0）．
（4）二次函数与的图像形状相同，可以看作是抛物线整体沿轴平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位）得到的．
考点1 二次函数的定义
【例1】（2023•嘉定区一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数的一般形式：形如，，为常数且，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，是二次函数，故不符合题意；
、，不是二次函数，故不符合题意；
、，是一次函数，故不符合题意；
、，是二次函数，故符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•南平模拟）下列函数中，是二次函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中．
【解答】解：、，是正比例函数，故本选项不符合题意；
、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
、，符合定义，故本选项符合题意；
、，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选．
【变式练2】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用二次函数的一般形式为：、、是常数，，进而判断得出即可．
【解答】解：、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•郁南县模拟）关于的函数是二次函数的条件是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义（形如这样的函数是二次函数，其中、、是常数且解决此题．
【解答】解：当，即，则是二次函数．
故选：．
【变式练4】（2023•立山区一模）下列函数是二次函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
、是二次函数，故本选项符合题意；
、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•杨浦区一模）下列函数中，二次函数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、可化为，不是二次函数，故此选项不合题意；
、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
考点2 二次函数的图象
【例2】（2023•凤城市模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解．
【解答】解：．由直线可知，由抛物线开口向上，，不符合题意．
．由抛物线开口向上，抛物线与轴交点在轴下方，在，不符合题意．
．由直线可知，由抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴下方，，符合题意．
．由直线可知，抛物线开口向下，不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•青岛二模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】求得抛物线的对称轴和直线与轴的交点即可判断、、不合题意，然后根据中二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出，，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：二次函数，
对称轴为直线，
一次函数，
当，则，
直线与二次函数的对称轴交于轴上同一点，
故、、不合题意，
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：．
【变式练2】（2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则、、、的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故选：．
【变式练3】（2023•濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】二次函数图象与轴交点的位置可确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由可知抛物线的开口向上，故不合题意；
二次函数与轴交于负半轴，则，
一次函数的图象经过经过第一、二、四象限，、选项不符合题意，符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•濉溪县模拟）已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数图象得出，，二次函数与轴的交点坐标为和，从而判断出二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，3，即可得出答案．
【解答】解：由二次函数的图象可知，，，二次函数与轴的交点坐标为和，
二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，3，故正确．
故选：．
考点3 二次函数的性质
【例3】（2023•兴庆区一模）对于的性质，下列叙述正确的是
A．顶点坐标为B．对称轴为直线
C．当时，有最大值2D．当时，随增大而减小
【答案】
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行逐一辨别．
【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是，二次项系数，
其对称轴为；当时，有最小值2；当时，随增大而增大，
选项，，不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•遵化市模拟）对于抛物线，下列判断正确的是
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线D．当时，
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【解答】解：、，抛物线的开口向下，本选项错误，
、抛物线的顶点为，本选项错误，
、抛物线的对称轴为：，本选项正确，
、把代入，解得：，本选项错误，
故选：．
【变式练2】（2023•石峰区模拟）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可．
【解答】解：．图象中二次函数，，一次函数，，故不符合题意．
．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故不符合题意．
．图象中二次函数，，一次函数，，故符合题意．
．图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故不符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•西乡塘区模拟）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是
A．开口向上B．经过原点C．对称轴是轴D．顶点在轴上
【答案】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【解答】解：，
抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线，
故选：．
【变式练4】（2023•金台区模拟）已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：
下列各选项中，错误的是
A．这个函数的图象开口向上
B．当时，
C．这个函数的最小值为
D．当时，的值随值的增大而减小
【答案】
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：将，，代入得：
，
解得，
，
抛物线开口向上，选项正确，
将代入得，
正确．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
函数最小值为，选项错误，
抛物线对称轴为直线，
时，随增大而减小，选项正确．
故选：．
【变式练5】（2023•灞桥区模拟）二次函数，，为常数）中，与的部分对应值如下表：
以下结论：①该二次函数图象开口向上；
②当时，该二次函数取最大值为1；
③当时，；
④若点，，在该二次函数图象上，则；
其中正确的是
A．①②③B．①②④C．②③D．②③④
【答案】
【分析】根据表格中的数据，可以确定该二次函数的图象开口向下，与轴交点坐标为和，对称轴为直线，顶点坐标为．由这些信息，可以对4个小题逐个分析判断．
【解答】解：①由表可知，二次函数与轴交点坐标为和，
对称轴为直线，
又当时，，
该二次函数图象开口向下．
故①不正确．
②对称轴为直线，图象开口向下，
当时，函数取最大值．
故②正确．
③抛物线上的点关于对称轴对称，
点和点关于直线对称，
当时，．
故③正确．
④当或时，，
无法判断与的大小．
故④不正确．
故选：．
考点4 二次函数图象与系数的关系
【例4】（2023•凉山州模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则得②的判断；根据图象经过可得到、、之间的关系；当时，，则得③的判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出④的正误．
【解答】解：①函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故①正确；
②图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故②错误；
③当时，，
，
故③正确；
④图象与轴的交点在和之间，
，
；
故④正确；
正确结论为：①③④，有3个，
故选：．
【变式练1】（2023•石城县模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有
A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤
【答案】
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．
故①错误．
②抛物线对称轴为直线，
，即，
故②正确；
③抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：；
，即，
故③错误；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，
故④错误；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：．
【变式练2】（2023•迎泽区一模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用抛物线与轴的交点位置得，则可对①进行判断；根据抛物线与轴交点个数可对②进行判断；利用可对③进行判断；利用对称性可对④进行判断．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①不正确；
抛物线与轴有两个交点，
△，所以②不正确；
，
，
所以③正确；
时，，
，
所以④不正确．
故选：．
【变式练3】（2023•东港区二模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与轴的交点和时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与轴的交点以及，即可判断④；根据图象可判断当时，有最小值，且为．又可求出，结合对于任意实数，都有，即可得出，即可判断⑤．
【解答】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，，，两点，且，
，故①正确；
二次函数的图象关于直线对称，
其对称轴为直线，即，
，
．
由图象可知该抛物线开口向上，
，
，故②错误；
抛物线与轴有两个交点，
△．
由图象结合题意可知当时，，
，
．
，
，
，
，即，故③正确；
抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，
，，
，
由③可知，，
，
，
，
，故④正确；
由图象可知当时，有最小值，且为．
，
又对于任意实数，都有，
，即，
，故⑤错误．
故选：．
【变式练4】（2023•河西区模拟）已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线．有下列结论：①；②关于的方程有两个不相等的实数根；③．其中，正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，结合抛物线的对称轴以及与轴的交点进行判断①②，然后把已知点代入抛物线的解析式得到，再结合对称轴直线以及即可求解．
【解答】解：抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
，
抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，故①正确；
抛物线开口向下，与轴有两个交点，顶点在轴的上方，且，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
抛物线，，是常数，，经过点，
，
又，
，
，
，
，
，解得，故③正确，
①②③都正确，
故选：．
【变式练5】（2023•武侯区模拟）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．
D．函数值有最小值
【答案】
【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．
【解答】解：抛物线的开口方向下，
．故错误；
二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
当时，的值随值的增大而减小，
故正确；
的图象与轴有两个交点，
，故③不正确；
，对称轴，
时，函数值有最答值，
故④不正确；
故选：．
考点5 二次函数图象上点的坐标特征
【例5】（2023•淮安区二模）若抛物线过点，，则的值不可以是
A．B．0C．2D．4
【答案】
【分析】把点和点坐标分别代入解析式得到方程组，消去得到可解得，然后利用得到的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．
【解答】解：把、分别代入得，
②①得，
解得，
所以，
所以的值不可以是4．
故选：．
【变式练1】（2023•西安二模）已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性解答即可．
【解答】解：二次函数为常数，且，
开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
当与的函数值相同，
即抛物线经过，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•邹城市模拟）已知关于的二次函数的图象上有两点，，，，，且，则与的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出、距离对称轴的大小，即可判断与的大小．
【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，且，
，
，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
故选：．
【变式练3】（2023•黔东南州二模）已知，，，，是抛物线上的三个点，若，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，
，，，，是抛物线上的三个点，且，
，
故选：．
【变式练4】（2023•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据列出关于的不等式即可解得答案．
【解答】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
【变式练5】（2023•西湖区二模）已知二次函数，，，为常数），若，记，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用对称轴和对称轴处的函数值的取值范围进行分析即可．
【解答】解：二次函数，
该抛物线开口向上，与轴的交点分别为，、，．
当时，，
．
对称轴，，
，
．
当时，，
，
．
．
故选：．
考点6 二次函数图象与几何变换
【例6】（2023•瓯海区二模）将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选：．
【变式练1】（2023•江南区三模）将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，
故选：．
【变式练2】（2023•庐阳区一模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位可得．
【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为，
故选：．
【变式练3】（2023•庄浪县三模）抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，
故选：．
【变式练4】（2023•西湖区二模）已知抛物线经过平移后得到抛物线，若抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故抛物线上任意一点向下平移2个单位得到其对应点的坐标．
【解答】解：抛物线经过平移后得到抛物线，
抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，
抛物线上任意一点坐标是，则其对应点坐标为，
故选：．
【变式练5】（2023•沭阳县二模）把抛物线向左平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为
A．B．C．D．
【分析】抛物线的顶点坐标为，向左平移1个单位后顶点坐标为，根据抛物线的顶点式可求解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向左平移1个单位后顶点坐标为，
所求抛物线解析式为．
故选：．
考点7 二次函数的最值
【例7】（2023•霍邱县一模）若，，且，的最小值为，最大值为，则
A．B．C．D．2
【答案】
【分析】先用表示，然后代入中，利用配方法进行配方，再根据，确定的取值范围，根据二次函数的增减性确定，的值，即可得出答案．
【解答】解：，
，
设
，
，，
，
解得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
当时，最小，即，
当时，最大，即，
．
故选：．
【变式练1】（2023•越城区三模）二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先将点，代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可．
【解答】解：二次函数的图象经过点，，
解得：，
二次函数为，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值4，
把代入得，，即，
解得，，
在范围内有最大值为4，最小值为，
．
故选：．
【变式练2】（2023•阿城区三模）抛物线的最大值为
A．4B．C．5D．
【答案】
【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴．
【解答】解：抛物线的最大值是，
抛物线的最大值为．
故选：．
【变式练3】（2023•龙川县一模）关于二次函数的最值，说法正确的是
A．最小值为B．最小值为3C．最大值为1D．最大值为3
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：二次函数中，
，
函数图象开口向下，
函数有最大值，
函数图象的顶点坐标为，
二次函数的最大值为3．
故选：．
【变式练4】（2023•河东区二模）已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为4，最小值为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先把，代入，求出函数解析式，然后结合在范围内有最大值为4，最小值为，求出的临界值即可．
【解答】解：把，代入，得，
解得，
，
抛物线开口向下，当时，取得最大值4，
在范围内有最大值为4，
．
解，得，，
当时，抛物线在范围内有最大值为4，最小值为．
故选：．
【变式练5】（2023•碑林区模拟）已知二次函数在时有最小值，则
A．或B．4或C．或D．4或
【答案】
【分析】先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值．
【解答】解：二次函数，
对称轴为直线，
①，抛物线开口向上，
时，有最小值，
解得：；
②，抛物线开口向下，
对称轴为直线，在时有最小值，
时，有最小值，
解得：；
故选：．
考点8 待定系数法求二次函数解析式
【例8】（2023•思明区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，当时，随的增大而增大，则抛物线解析式可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为，根据抛物线的顶点式求解．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点是，开口向上，
故选：．
【变式练1】（2023•自流井区一模）已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据顶点的纵坐标求出的值，再代入计算即可．
【解答】解：抛物线的最低点的纵坐标为，
，
即，
，
，
，
解得：，，
当时，抛物线为．
故选：．
【变式练2】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为，逐一判断即可．
【解答】解：．，顶点坐标为，
故不符合题意；
．；顶点坐标为，
故不符合题意；
．，顶点坐标为，
故不符合题意；
．，顶点坐标为，
故符合题意；
故选．
【变式练3】（2023•泸县模拟）已知一个抛物线经过点，和．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）；
（2）顶点坐标为；对称轴为直线．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）设，
将代入，则，
，
（2），，
顶点坐标为；对称轴为直线．
【变式练4】（2023•永城市二模）已知二次函数的图象经过点和．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当时，有最小值，求的值．
【答案】（1），顶点坐标是；
（2）或3．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出其顶点坐标即可；
（2）先根据抛物线的对称轴确定其增减性，然后分情况讨论：当，，时分别判断即可得出的值．
【解答】解：（1）根据题意得，，
解得，
二次函数的解析式为，
，
其顶点坐标是；
（2）由（1）知抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当，即时，
当时有最小值，
，
解得或（舍去）；
当时，当时有最小值，
，
解得或（舍去）；
当且，即时有最小值，不合题意，舍去；
综上，的值为或3．
【变式练5】（2023•南山区三模）如图，抛物线经过点，点，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入求解；
（2）求出的长，可得结论．
【解答】解：（1）抛物线经过点，点，且，
，
，
设抛物线的解析式为，将代入得，
，
，
抛物线的解析式为；
（2），
．
如图，过点作于点，交于点．
设直线的解析式为，将代入得，，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
考点9 二次函数的三种形式
【例9】（2023•襄垣县一模）将二次函数化成的形式，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练1】（2023•振兴区模拟）将二次函数化成形式为 ．
【答案】．
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：，
所以，．
故答案为：．
【变式练2】（2023•太谷区一模）将抛物线化成顶点式为 ．
【答案】．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：，即，
故答案为：．
【变式练3】（2022•莆田模拟）将二次函数的右边进行配方，正确的结果是
A．B．C．D．
【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
【解答】解：提出二次项系数得，，
配方得，，
即．
故选：．
【变式练4】（2022•顺德区模拟）把二次函数化为的形式，那么 3 ．
【分析】利用配方法把二次函数的表达式化为的形式，求出、的值各是多少，代入代数式计算即可．
【解答】解：，
，，
．
故答案为：3．
【变式练5】（2022•沧州模拟）用配方法把二次函数写成的形式 ．
【分析】把二次函数用配方法化为顶点式即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
考点10 抛物线与x轴的交点
【例10】（2023•营口一模）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
【变式练1】（2023•雁塔区一模）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为
A．3B．2C．2或D．2或3
【答案】
【分析】抛物线必定与轴有一交点，另一交点为轴，根据二次函数与一元二次方程之间的关系求解．
【解答】解：抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，
即与轴有一个交点，与轴一个交点．
令得，
与轴一个交点时，
△，
解得，
当与轴有两个交点，且其中一个交点与轴交点相重合时，
此时，
，
故选：．
【变式练2】（2023•汇川区三模）二次函数的图象与轴的交点情况是
A．有1个交点B．有2个交点C．无交点D．无法确定
【答案】
【分析】根据判别式△，得出结论．
【解答】解：△，
，
，
△，
二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：．
【变式练3】（2023•许昌二模）若抛物线与轴没有交点，则的值可以是
A．B．0C．4D．8
【答案】
【分析】根据抛物线与轴没有交点，知无解，根据根的判别式小于0，列不等式求解．
【解答】解：抛物线与轴没有交点，
无解，
△，
解得，
故选：．
【变式练4】（2023•涵江区一模）已知二次函数的部分与的值如表：
根据表格可知，一元二次方程的解是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解．
【解答】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
时，，
时，，
关于的一元二次方程的解为，．
故选：．
【变式练5】（2023•仙居县二模）已知抛物线过点，且，则关于的一元二次方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】由抛物线经过点，可得，，，方程的解为或6，整理可得，进而得到或，求出的值即可得解．
【解答】解：由题意可知，抛物线过点，且，
则有，
，，
方程可化为，
解得：，，
整理关于的一元二次方程可得，
，
或，
解得，，
故选：．
考点11 图象法求一元二次方程的近似根
【例11】（2022秋•金水区校级期中）根据下列表格的对应值：
判断方程，，，为常数）一个近似解是
A．2.41B．2.57C．2.53D．2.67
【答案】
【分析】根据表格，得出当时，的值为5.8，当时，的值为5.9，再根据，即可得出方程，，，为常数）的一个近似解应大于2.6且小于2.7，再结合选项，即可得出结果．
【解答】解：由表格可知，当时，的值为5.8，
当时，的值为5.9，
又，
方程，，，为常数）的一个近似解应大于2.6且小于2.7，
又，
方程，，，为常数）一个近似解为2.67．
故选：．
【变式练1】（2023•锦江区校级三模）在探究关于的二次三项式的值时，小明计算了如下四组值：
小明说，他通过这四组值能得到方程的一个近似根，这个近似根的个位是 1 ，十分位是 ．
【答案】1；1．
【分析】根据表格可得，则方程的一个近似根取值范围为：，即可进行解答．
【解答】解：根据题意可得：，
方程的一个近似根取值范围为：，
这个近似根的个位是1，十分位是1，
故答案为：1，1．
【变式练2】（2022•高密市一模）下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
那么方程的一个近似根（精确到是
A．1.4B．1.5C．3.5D．3.6
【答案】
【分析】观察表格可得更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到是1.5，再由的对称轴为得到方程的另一个近似根（精确到是3.5．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根（精确到是1.5，
的对称轴为，
方程的另一个近似根（精确到是3.5，
故选：．
【变式练3】（2021•盐都区二模）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
那么方程的一个近似根是
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：．
【变式练4】（2015•广州校级模拟）小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到为
A．4.4B．3.4C．2.4D．1.4
【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，
另一个交点坐标为：，
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：．
【变式练5】（2015•温州模拟）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
那么方程的一个近似根是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间．
【解答】解：根据表格得，当时，，即，
距近一些，
方程的一个近似根是，
故选：．
考点12 二次函数与不等式（组）
【例12】（2023•云梦县校级三模）已知抛物线，，是常数，，且，．下列四个结论，正确的有 个．
①抛物线与轴一定有两个交点；②当时，随的增大而增大；③若，则不等式的解集是；④一元二次方程有一个根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】由于，，所以△，则根据根的判别式的意义可判断抛物线与轴一定有两个交点，于是可对①进行判断；抛物线经过点，若抛物线的对称轴在点的右侧，当时，随的增大先减小后增大，则可对②进行判断；利用得到抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则抛物线在轴所的下方所对应的自变量的范围为时，，从而可对③进行判断；先把方程整理为，再利用有一个根为得到，解得，从而可得一元二次方程有一个根，于是可对④进行判断．
【解答】解：，
，
△，
，
△，
抛物线与轴一定有两个交点，所以①正确；
，
抛物线经过点，
若抛物线的对称轴在点的右侧，当时，随的增大先减小后增大，所以②错误；
，
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
．抛物线开口向上，
当时，，
即不等式的解集是，所以③正确；
方程整理为方程，
有一个根为，
，
解得，
即一元二次方程有一个根，所以④正确．
故选：．
【变式练1】（2023•开江县二模）如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③方程有两个不相等的实数根，④不等式的解集为，其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】①利用点，点求出对称轴，然后利用判断即可；
②把点代入中可得，再结合①中的结论即可解答；
③利用直线与二次函数的图象的交点个数判断即可；
④先求出函数的对称轴，再求出与轴的两个交点坐标即可解答．
【解答】解：①二次函数的图象经过点，点，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
，
，
，，
，
故①正确；
②把点代入中可得：，
，
由①得：，
，
，
，
，
故②正确；
③由图可知：
直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
故③正确；
④二次函数的图象经过点，点，
，
二次函数的图象经过点，
，
，
二次函数的对称轴为直线：，
把代入二次函数中可得：，
二次函数的图象与轴的交点为：，
设二次函数的图象与轴的另一个交点为，
，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
二次函数的图象的对称轴是直线：，
，
，
不等式的解集为，
故④正确，
所以：正确结论的个数有4个，
故选：．
【变式练2】（2023•江西二模）二次函数，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
其中，，，以下结论中不正确的是
A．对称轴为直线
B．关于的方程 的两根为或
C．
D．关于的不等式的解集为
【答案】
【分析】（1）根据表格确定对称轴的值即可得出结论．
（2）解方程得，，再根据对称轴代入求解即可得出结论．
（3）根据且，抛物线对称轴为判断点在对称轴右侧，再根据二次函数的增减性以及开口方向即可得出结论．
（4）根据表格时，时确定得值，再结合增减性判断时关于的不等式的解集即可得出结论．
【解答】解：（1）当时，；
当时，．
点和关于抛物线对称轴对称，
对称轴为，故对．
（2）对称轴，
．
的根为，，
即的两根为或，故对．
（3）当时，，
．
且，抛物线对称轴为
，点、，、，、、都在对称轴右侧．
在对称轴右侧随增大而增大，且抛物线开口向上，
，．
又．
，
，故正确．
（4）抛物线开口向上，时，时，
时，的解为或，
时即的解集为或．
的解集为或，故错，
综上本题答案为．
【变式练3】（2023•振兴区校级一模）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是
A．或B．或C．D．
【答案】
【分析】利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解答】解：如图所示：
，，
根据函数图象得：不等式的解集是或，
故选：．
【变式练4】（2023•娄底模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为
A．B．C．D．或
【答案】
【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时的取值范围．
【解答】解：，，
时，直线在抛物线上方，即时，，
不等式的解集为．
故选：．
【变式练5】（2023•蕉城区校级一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解为
A．B．C．或D．
【答案】
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，抛物线在直线的上方，
不等式的解集为或，
即不等式的解集是或．
故选：．
考点13 根据实际问题列二次函数关系式
【例13】（2023•金水区校级模拟）将一根长为的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案．
【解答】解：设这个长方形的一边长为，则另一边长为，根据题意可得：
．
故选：．
【变式练1】（2023•南海区校级一模）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用每天的销售量销售单价），可得出关于的函数关系式；利用商家每天销售纪念品获得的利润每件的销售利润每天的销售量，可得出关于的函数关系式．
【解答】解：根据题意得：，，
即，．
故选：．
【变式练2】（2023•南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用每天的销售量销售单价上升的钱数，可找出关于的函数关系式，再利用商家每天销售纪念品获得的利润每个的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式．
【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，
销售单价为元时，每天的销售量，商家每天销售纪念品获得的利润，
，．
故选：．
【变式练3】（2023•裕华区校级模拟）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元与改造面积（亩的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田亩，改造当年收益为元，则与之间的数量关系可列式为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设改造农田亩，根据题意可求出改造的亩农田的总成本和总销售额，再根据收益总销售额总成本，即可列出方程．
【解答】解：设改造农田亩，则总成本为，总销售额为，
可列方程为．
故选：．
【变式练4】（2022•芗城区校级二模）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意得，
关于的函数表达式是：．
故选：．
【变式练5】（2022•罗湖区校级三模）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，
根据题意得，，
故选：．
考点14 二次函数的应用
【例14】（2023•原平市模拟）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点到点的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据点到点的距离为4，得到，把代入求得根据二次函数的解析式是解题的关键．
【解答】解：点到点的距离为4，
，
把代入得，
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选：．
【变式练1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽
A．20米B．15米C．10米D．8米
【答案】
【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出即可．
【解答】解：米，
当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故选：．
【变式练2】（2023•大连模拟）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
【解答】解：在中，令得：
，
解得或（舍去），
该同学此次投掷实心球的成绩是，
故选：．
【变式练3】（2023•鄄城县二模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为
A．2B．4C．2或D．4或
【答案】
【分析】根据题意可知：二次函数顶点的纵坐标，然后代入数据计算即可．
【解答】解：，其中为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故选：．
【变式练4】（2023•南关区校级四模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜2B．2≤t＜4C．1≤t＜3D．3≤t＜5
【答案】B
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝2，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣2）2+k，
代入原点坐标得0＝a（0﹣2）2+k，
解得k＝﹣4a，
∴h＝a（t﹣2）2﹣4a，
令h＝0得a（t﹣2）2﹣4a＝0，解得t1＝0，t2＝4，
∴一个球从出发到落地用时4秒，
∵整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得2≤t＜4，
故选：B．
【变式练5】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设出抛物线方程代入坐标求得．
【解答】解：设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，
，
故，
故选：．
考点15 二次函数综合题
【例15】（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点是横轴正半轴上的一个动点，经过原点，且与相切于点．
（1）当轴时，点的坐标为 ， ；
（2）若点在第一象限，设点的坐标为，则关于的函数关系式为 （不用写出自变量的取值范围）；
（3）当射线与直线相交时，点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】（1），；（2）；（3），
【分析】（1）由与相切，得出，而轴，进而判断出点在轴上，即可得出答案；
（2）由与相切，得出，过点作轴于，过点作轴于，用互余得出，得出比例式即可求出答案；
（3）分当点在第一象限时和当点在第四象限时，找出时，判断出为等腰直角三角形，进而得出，进而得出或，建立方程求出的值，即可得出的分界点，进而得出答案．
【解答】解：（1）轴，，
，
与相切，
，
轴，
点在轴上，
点是圆心，
点的横坐标为，
，，
故答案为：，；
（2）如图1，连接，过点作轴于，过点作轴于，
则，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，轴于，，且点在第一象限内，
，，，
，
轴，，
，，
，
，
故答案为：，
（3）直线过点，
当是射线与直线相交的分界点，
如图2，①当点在第一象限时，过点作轴于，
当时，
由（1）知，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
（舍去）或，
由（2）知，；
②当点在第四象限时，过点作轴于，
同①的方法得，，
，
，
，
（舍去）或，
由（2）知，，
，
故答案为：．
【变式练1】（2023•菏泽一模）已知，如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，点为轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接、，求四边形面积的最大值；
（3）是否存在这样的点，使得点到和两边的距离相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；
（2）四边形的最大值为51；
（3），．
【分析】（1）由题意可知点，的坐标，再将，两点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
（2）连接，过点作轴交于点，设点的横坐标为，由此可表达点的坐标，表达的长，利用三角形的面积公式可得四边形的面积，最后利用二次函数的性质可得结论；
（3）若点到和两边的距离相等，则点在的平分线上，设与轴交于点，过点作于点，设，分别表达，和的长，利用勾股定理建等式得出的长，求出直线的解析式，联立可得出点得坐标．
【解答】解：（1），，
，，，
抛物线的解析式为：，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
；
直线的解析式为：；
连接，过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
，，
，
；
，，
；
，
当时，四边形的最大值为51；
（3）存在，理由如下：
若点到和两边的距离相等，则是的平分线，设与轴交于点，过点作于点，
平分，，，
，，
，，
，
设，
，，
在中，由勾股定理可得，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，
解得（舍或，
，．
【变式练2】（2023•东城区一模）已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可求解；
（2）当时，结合二次函数的图象以及抛物线的对称性即可求解；
（3）由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解．
【解答】解：（1）抛物线，
抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，如图，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为为直线，
点关于直线的对称点为，
点，，，
；
（3）存在实数，使得恒成立，
，抛物线的顶点坐标为，
抛物线开口向下，
，
如图，当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
【变式练3】（2023•兴隆台区一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标．
【解答】解：（1）将，代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为；
（2）能．
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
设，则，，，
，，
当时，，即，
整理得，
解得，（舍去），此时点坐标为，；
当时，，即，
整理得，
解得，（舍去），此时点坐标为，；
综上所述，当点的坐标为，或，时，直线把分成面积之比为的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
，，
，，，
当时，为直角三角形，，即，解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，解得，，此时点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，．
【变式练4】（2023•平潭县模拟）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
（3）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标．
【答案】（1）；
（2），，，；
（3）最大为，此时为．
【分析】（1）把，两点代入解析式计算即可．
（2）分，，，三种情形计算即可．
（3）设与轴的交点为，点，则，确定；根据，计算，于是，结合，确定，继而得到，运用二次函数最值计算即可．
【解答】解：（1）把，两点代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）如图，当时，延长交轴于点，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
时，，
此时；
如图，当时，延长交轴于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
时，，
此时；
当时，设，
，，
，
，，，
，
，
，
整理，得，
解得，
此时或；
综上所述，点或点或点或点．
（3）如图，设与轴的交点为，点，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
；
，，
，
，
连接，
，
，
，
，
抛物线开口向下，
有最大值，且当时，取得最大值，且为，
此时，
故点．
【变式练5】（2023•株洲模拟）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）存在，，，，；
（3）存在，，．
【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，进而分别令，，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【解答】解：（1）将代入，
即，
解得：，
，
令，则，
令，则，
解得：，，，；
（2）存在点，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，，
，，，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：或，
综上所述：，，，；
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
，．
函数
y=a（x-h）2+k（a>0）
y=a（x-h）2+k（a h时，y随x的增大而增大；
x h时，y随x的增大而减小；
x0）
y=ax2+bx+c（a时，y随x的增大而增大；
x时，y随x的增大而减小；
x0，n>0
m>0，n