专题04 因式分解（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题04 因式分解（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共25页。试卷主要包含了定义，方法，步骤，因式分解的步骤，因式分解的应用，因式分解的注意事项等内容，欢迎下载使用。
1．定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
2．方法
（1）提公因式法：．
（2）公式法：；．
（3）十字相乘法：．
（4）分组法．
3．步骤
（1）有公因式的要先提公因式；
（2）再看能否用平方差公式或完全平方公式分解；
（3）检查最后结果是否分解彻底．
吃透考点
1．因式分解的概念
本考点主要考查因式分解的基本概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多形式因式分解．注意其中三个关键点：①原式是多项式，②化为整式，③乘积的形式．
2．判定一个变形是因式分解的条件
（1）左边是多项式；
（2）右边是乘积的形式；
（3）右边的因式全是整式．
3．因式分解的方法
（1）提取公因式
☆：公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；单独的公因数也是公因式；将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式；
（2）套用乘法公式
☆：乘法公式里的字母，可以是单独的数字，也可以是一个单项式或者多项式；
（3）分组分解因式：基本不考，如果考，多项式项数一般在四个及以上。
（4）十字相乘法：
，多为二次三项式的因式分解
4．因式分解的步骤：
（1）有公因式的要先提公因式；
（2）再看能否用平方差公式或完全平方公式分解；
（3）检查最后结果是否分解彻底．
5．因式分解的应用
（1）简化计算；
（2）与其他知识的综合，如面积、三角形相关知识等；
（3）换元思想、整体思想的应用．
6．因式分解的注意事项
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
考点1 因式分解的意义
【例1】（2023•微山县三模）下列各式属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•德宏州模拟）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：、是单项式乘以多项式，不符合题意；
、把一个多项式转化成几个整式积的形式，符合题意；
、没把一个多项式转化成整式积的形式，不符合题意；
、，原变形错误，不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•南海区校级三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据因式分解的意义求解．
【解答】解：：属于整式的乘法，故不符合题意；
：左边是单项式不是多项式，故不符合题意；
：左边是多项式，右边是整式的积，故是符合题意的；
：等式的右边不是积的形式，故不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•台儿庄区模拟）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
．原式符合因式分解的形式，符合题意；
．原式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•舒城县二模）下列从左到右是因式分解且正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可．
【解答】解：中，错误，故不符合要求；
中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
中，正确，故符合要求．
故选：．
【变式练5】（2023•遵化市模拟）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形即为因式分解，据此进行判断即可．
【解答】解：．，
它是乘法运算，
则不符合题意；
．
，
它符合因式分解的定义，
则符合题意；
．，
它是乘法运算，
则不符合题意；
．，
它不符合因式分解的定义，
则不符合题意；
故选：．
考点2 公因式
【例2】（2023•龙岗区校级一模）式子与的公因式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把式子与分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
【解答】解：，，
与的公因式是．
故选：．
【变式练1】（2023•广东模拟）多项式中各项的公因式是 ．
【答案】．
【分析】本题主要根据提公因式法把多项式分解因式，从而找出公因式．
【解答】解：，
故答案为：．
【变式练2】（2023•游仙区模拟）多项式的公因式是 ．
【答案】．
【分析】一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
【解答】解：
，
多项式的公因式是．
故答案为：．
【变式练3】（2023•自贡一模）多项式的公因式是 ．
【答案】．
【分析】根据公因式的定义解答即可，多项式中，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
【解答】解：多项式的公因式是．
故答案为：．
【变式练4】（2022•香洲区校级一模）多项式的公因式是 ．
【答案】．
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式的即可．
【解答】解：
的公因式是．
【变式练5】（2021•涟源市一模）多项式中，各项的公因式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这三项系数的最大公约数是4，三项的字母部分都含有字母、，其中的最低次数是2，的最低次数是1，因此多项式中各项的公因式是．
故选：．
考点3 因式分解-提公因式法
【例3】（2023•兴安盟模拟）已知，，则的值是
A．6B．C．1D．
【答案】
【分析】将变形为，再代入计算即可．
【解答】解：因为，，
所以
，
故选：．
【变式练1】（2023•海曙区模拟）已知，的值有
A．1个B．2个
C．大于2个但有限D．无数个
【答案】
【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可．
【解答】解：，
①，
②，
②①得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，，
，，
，
综上可知：的值有2个，为或2，
故选：．
【变式练2】（2023•清镇市模拟）把多项式分解因式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练3】（2023•南皮县校级三模）已知□，则□代表的数是
A．2B．3C．4D．8
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用，将式子进行计算，即可得到答案．
【解答】解：，
□代表的数是8，
故选：．
【变式练4】（2023•合肥二模）已知，其中和是整数，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】已知等式变形后分解因式，根据与为整数，确定出正确结论即可．
【解答】解：已知等式变形得：，即，
整理得：，
和为整数，
分两种情况考虑：
①当，时，解得：，，不符合题意；
②当，时，解得：，，
则，．
故选：．
【变式练5】（2023•平阳县校级三模）分解因式： ．
【分析】由提公因式，可直接得出结论．
【解答】解：公有因式为，
原式，
故答案为：．
考点4 因式分解-运用公式法
【例4】（2023•南阳一模）多项式因式分解的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用完全平方公式得结论．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•滦州市二模）计算：
A．100B．150C．10000D．22500
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．
【解答】解：
．
故选：．
【变式练2】（2023•合肥模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用因式分解的定义，分别判断得出答案．
【解答】解：．，是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不合题意；
．无法分解因式，故此选项不合题意；
．，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；
．，是因式分解，故此选项符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•通榆县三模）分解因式： ．
【答案】．
【分析】根据公式法因式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式练4】（2023•历城区二模）分解因式： ．
【答案】．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【变式练5】（2023•涟水县校级模拟）因式分解： ．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：
考点5 提公因式法与公式法的综合运用
【例5】（2023•犍为县模拟）下列各选项中因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：选项：，故不合题意；
选项：，故不合题意；
选项：，故符合题意；
选项：，故不合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•宣城模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：．不能分解，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•安庆二模）下列分解因式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据分解因式的方法：提公因式法和公式法对每一项判断即可解答．
【解答】解：、，错误，故项不符合题意；
、，错误，故项不符合题意；
、，正确，故符合题意；
、，错误，故项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•邵阳县二模）将多项式因式分解，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【解答】解：，
故选：．
【变式练4】（2023•禅城区校级三模）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：．，故符合题意；
．，不能分解，故不符合题意；
．，不能分解，故不符合题意；
．，故不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•辽宁一模）将分解因式，所得结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：．
故选：．
考点6 因式分解-分组分解法
【例6】（2023•花山区二模）因式分解： ．
【答案】．
【分析】依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【变式练1】（2023•东港区校级二模）因式分解： ．
【答案】．
【分析】先根据完全平方公式得到，再利用平方差公式对分解因式即可解答．
【解答】解：
；
故答案为：．
【变式练2】（2023•怀远县校级模拟）分解因式： ．
【答案】．
【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【变式练3】（2023•阳谷县一模）分解因式： ．
【答案】．
【分析】采用分组分解法分解因式即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【变式练4】（2023•永嘉县校级模拟）分解因式： ．
【答案】．
【分析】前两项作为一组，提取公因式，后两项作为一组，提取“”号，然后再进一步分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【变式练5】（2023•浠水县二模）因式分解： ．
【答案】．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有的二次项，的一次项，有常数项．所以要考虑后三项为一组．
【解答】解：原式．
故答案为：．
考点7 因式分解-十字相乘法等
【例7】（2023•西安校级模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用公式法、十字相乘法、提公因式法进行因式分解，判断即可．
【解答】解：，错误；
，正确；
，错误；
，错误，
故选：．
【变式练1】（2023•蜀山区模拟）下列因式分解正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用因式分解的定义先排除，再利用乘法与因式分解的关系通过计算分解结果判断、、．
【解答】解：，故选项分解错误；
，故选项分解正确；
，故选项分解错误；
，该变形是整式乘法不是因式分解，故选项错误．
故选：．
【变式练2】（2023•安源区校级模拟）若多项式可因式分解为，则 1 ．
【答案】1．
【分析】将展开即可得到，，即可得到答案；
【解答】解：，
，，
，
故答案为：1．
【变式练3】（2023•陇南模拟）分解因式： ．
【答案】．
【分析】根据十字相乘法进行解答即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【变式练4】（2023•沂源县二模）分解因式 ．
【答案】．
【分析】利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【变式练5】（2023•茶陵县模拟）分解因式 ．
【答案】．
【分析】提取负号后，用完全平方公式即可分解．
【解答】解：．
故答案为：．
考点8 实数范围内分解因式
【例8】（2023•瑶海区校级模拟）下列多项式在实数范围内能因式分解的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用因式分解的方法判断即可．
【解答】解：选项中的多项式在实数范围内能因式分解的是．
故选：．
【变式练1】（2023•武威一模）关于的方程的两个实数根分别为和3，则分解因式等于
A．B．C．D．
【分析】由关于的方程的两个实数根分别为和3，可得方程为：，继而求得答案．
【解答】解：关于的方程的两个实数根分别为和3，
方程为：，
．
故选：．
【变式练2】（2023•定陶区一模）如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，由此可解．
【解答】解：关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，
△，
．
故答案为：．
【变式练3】（2023•绵阳二模）在实数范围内分解因式： ．
【答案】．
【分析】用提公因式法即可求解．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【变式练4】（2023•杨浦区二模）如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，由此可解．
【解答】解：关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，
△，
．
故答案为：．
【变式练5】（2023•碧江区 校级一模）在实数范围内分解因式： ．
【答案】．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：．
考点9 因式分解的应用
【例9】（2023•涟源市一模）已知、、是的三条边，且满足，则一定是
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】
【分析】将等式移项整理后，将左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．
【解答】解：已知等式变形得：，即，
，
，即，
则为等腰三角形．
故选：．
【变式练1】（2023•容城县校级一模）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是
A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024
C．2021，2022，2023D．2020，2021，2022
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．
【解答】解：
能被2022，2023，2024整除，
故选：．
【变式练2】（2023•杏花岭区校级模拟）若三角形的三边长分别为，，，且满足，则这个三角形一定是
A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】
【分析】将分解因式可得：，进而可得结果．
【解答】解：，
，
，
，
或，
或，
这个三角形一定是等腰三角形，
故选：．
【变式练3】（2023•路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别求两图形的面积，可得出平方差公式．
【解答】解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：，
故选：．
【变式练4】（2023•任丘市校级模拟）如图1，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．利用图形1、2的面积，用因式分解的方法表示一个恒等式为 ；利用图3的面积，用整式的乘法的形式表示一个恒等式 ．
【答案】；．
【分析】依据题意，根据图形可以用代数式表示出图形的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：由图1、2可得，图1的面积为：，
图2的面积为：，
．
由图4可得，．
故答案为：；．
【变式练5】（2023•滨城区模拟）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 ．
【答案】；
【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
【解答】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：；
原式两边提取，可得原式．
故答案为：；．
方
法
技
巧
点
拨
1．因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式．
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
2．因式分解的定义注意事项
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可．
（2）因式分解必须是恒等变形．
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
3．提公因式法的注意事项
（1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数．
（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母．
（3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂．
（4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式．