专题03 整式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题03 整式（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共54页。试卷主要包含了单项式与多项式，同类项，合并同类项，整式的运算，幂的运算性质，合并同类项法则，整式的应用，去括号与添括号等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．单项式与多项式
单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；
多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
2．同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．
3．合并同类项
只把系数相加，所含字母及字母的指数不变．
4．整式的运算
（1）整式的加减运算实际就是合并同类项．
（2）整式的乘法：．
（3）整式的除法：单项式除以单项式时，把系数、相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则照抄下来；多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：．
②完全平方公式：．
5．幂的运算性质
（1）同底数幂相乘法则：（为整数，）
（2）幂的乘方法则：（为整数，）
（3）积的乘方法则：（为整数，）
（4）同底数幂相除法则：（为整数，）
吃透考点
1．用字母表示数的书写规范
（1）数字与字母或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
（2）数字因数是1或–1时，“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）若数字因数是带分数，要化成假分数，如；
（4）式子中出现除法时，写成分数的形式，如．
2．用字母表示数或数量关系的注意事项
（1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同．
（2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示．
（3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）．
（4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来．
3．单项式
（1）单项式的定义
式子100t，0．8p，mn，a2h，–n，它们都是数字或字母的积，像这样的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
（2）单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．例如：单项式100t，a2h，–n的系数分别是100，1，–1．
（3）单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如：在单项式100t中，字母t的指数是1，所以单项式100t的次数是1；在单项式a2h中，字母a与h的指数的和是3，所以单项式a2h的次数是3．
4．多项式
（1）多项式的定义
几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．例如：多项式v–2．5的项是v与–2．5，其中–2．5是常数项．
（2）多项式的次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．例如：多项式x2+2x+18中次数最高项是二次项x2，则这个多项式的次数是2．
5．同类项
（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．
（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．
（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项，如m，2m，3m，6m，它们是同类项．
6．合并同类项法则
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，例如：合并同类项3x2y和4x2y为3x2y+4x2y=（3+4）x2y=7x2y．
7．整式的应用
（1）根据实际问题中的基本数量关系，用整式表示出所求的数量．
（2）对整式进行化简或进一步求值．
8．去括号与添括号
（1）去括号：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
①去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
②去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
③对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
④去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
（2）添括号
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
①添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
②去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
考点1 整式
【例1】（2022秋•梁山县期末）代数式，，，，，0.5中整式的个数
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】
【分析】根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题．
【解答】解：不是整式，是多项式，是单项式，是多项式，不是整式，0.5是单项式，
整式有，，，0.5，共有4个．
故选：．
【变式练1】（2022秋•新华区校级期末）下列各式中，不是整式的是
A．B．C．0D．
【答案】
【分析】直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．
【解答】解：．是整式，故此选项不合题意；
．是方程，故此选项符合题意；
．0是整式，故此选项不合题意；
．是整式，故此选项不合题意．
故选：．
【变式练2】（2022秋•沧州期末）代数式，，，，5，，中，整式的个数是
A．7B．6C．5D．4
【答案】
【分析】根据整式的定义（整式包括单项式和多项式，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．由几个单项式的和组成的代数式）即可得．
【解答】解：整式有，，5，，，共5个．
故选：．
【变式练3】（2022秋•上海期末）代数式，，，，中是整式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】直接利用整式的定义分析得出答案．
【解答】解：代数式，，，，中整式有，，，中，共4个．
故选：．
【变式练4】（2022秋•东平县期末）在代数式：，，，，，，中，整式有
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】
【分析】根据整式的定义，可得答案．
【解答】解：，，，，，是整式，
故选：．
【变式练5】（2022秋•永川区期末）下列说法中，正确的是
A．不是整式
B．的系数是，次数是3
C．3是单项式
D．多项式是五次二项式
【答案】
【分析】利用单项式、多项式及整式的定义判定即可．
【解答】解：、是整式，错误；
、的系数是，次数是3，错误；
、3是单项式，正确；
、多项式是三次二项式，错误；
故选：．
考点2 单项式
【例2】（2022秋•海门市期末）单项式的次数是
A．B．3C．5D．6
【答案】
【分析】根据单项式的次数的概念解答即可．
【解答】解：单项式的次数是6，
故选：．
【变式练1】（2022秋•汉川市期末）单项式的系数和次数分别是
A．和3B．和3C．和4D．和4
【答案】
【分析】根据单项式的系数（数字因数）和次数（所有字母的指数的和）解决此题．
【解答】解：单项式的系数和次数分别是：和4．
故选：．
【变式练2】（2023•喀什地区三模）单项式的系数是
A．2B．C．D．
【答案】
【分析】单项式中的数字因数是单项式的系数，根据定义解答．
【解答】解：单项式的系数是，故正确．
故选：．
【变式练3】（2023•巧家县校级二模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第9个单项式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可．
【解答】解：根据题意得：
第9个单项式是．
故选：．
【变式练4】（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第8个单项式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可．
【解答】解：根据题意得：
第8个单项式是．
故选：．
【变式练5】（2023•六盘水二模）单项式的系数是
A．1B．2C．3D．5
【答案】
【分析】直接利用单项式的系数确定方法得出答案．
【解答】解：单项式的系数是：2．
故答案选：．
考点3 多项式
【例3】（2023•三台县校级一模）已知多项式是三次三项式，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据多项式次数定义可得，再根据项数定义可得，再求解即可．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：．
故答案为：．
【变式练1】（2023•高州市一模）多项式的次数和常数项分别是
A．6，3B．6，C．3，D．3，3
【答案】
【分析】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【解答】解：多项式的次数和常数项分别是3，．
故选：．
【变式练2】（2023•章贡区校级模拟）下列说法正确的是
A．的系数是B．的次数是5次
C．的常数项为4D．是三次三项式
【答案】
【分析】根据多项式与单项式的概念即可求出答案．
【解答】解：、的系数是，故符合题意．
、的次数是3次，故不符合题意．
、的常数项为，故不符合题意．
、是二次三项式，故不符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•两江新区一模）下列各式中，是多项式的是
A．B．2023C．D．
【答案】
【分析】根据多项式的定义解决此题．
【解答】解：．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，那么不符合题意．
．根据多项式的定义，2023是单项式，不是多项式，那么不符合题意．
．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，那么不符合题意．
．根据多项式的定义，是多项式，那么符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•顺德区模拟）整式的次数是 2 ．
【答案】2．
【分析】根据多项式的次数定义得出答案即可．
【解答】解：整式的次数是2．
故答案为：2．
考点4 整式的加减
【例4】（2023•贾汪区一模）下列各式计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项，去括号法则，逐一进行判断即可．
【解答】解：．，不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
．，选项错误，不符合题意；
．，选项正确，符合题意；
．，选项错误，不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•顺平县模拟）化简的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练2】（2023•霞山区校级一模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用合并同类项法则、单项式乘多项式法则逐一判断即可．
【解答】解：．，此选项计算错误；
．，此选项计算错误；
．，此选项计算正确；
．，此选项计算错误；
故选：．
【变式练3】（2023•沈阳二模）下面的计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】各项化简得到结果，即可得出结论．
【解答】解：、，
故本选项不符合题意；
、不能合并，
故本选项不符合题意；
、，
故本选项不符合题意；
、，
故本选项符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•金水区校级一模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】合并同类项法则判断选项；先去括号，然后合并同类项判断选项．
【解答】解：、，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•清江浦区模拟）计算 的结果为 ．
【答案】．
【分析】直接去括号，再合并同类项得出答案．
【解答】解：
．
故答案为：．
考点5 整式的加减—化简求值
【例5】（2023•单县三模）若，则代数式的值等于 ．
【答案】7
【分析】根据平方差公式进行化简，然后将代入原式即可求出答案．
【解答】解：当时，
时，
原式
．
故答案为：7．
【变式练1】（2023•锦江区校级模拟）若，则的值是 ．
【答案】26
【分析】将原式先利用平方差公式变形后代入已知数据计算，然后再将结果变形后代入已知数据计算即可．
【解答】解：，
，
故答案为：26．
【变式练2】（2023•任城区校级三模）定义：若，则称、是“西溪数”，例如：，因此3和1.5是一组“西溪数”，若、是一组“西溪数”，则的值为 ．
【答案】6．
【分析】根据“西溪数”的概念得到，代入所求的代数式，根据整式的加减混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：、是一组“西溪数”，
，
则原式
，
故答案为：6．
【变式练3】（2023•开化县模拟）先化简，再求值：，其中．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
当时，原式．
【变式练4】（2023•港南区四模）先化简，再求值．，其中、满足，．
【答案】，11．
【分析】直接去括号，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
【变式练5】（2023•青龙县模拟）已知，，当，时，求的值．
【答案】．
【分析】将，代入化简后，把，代入即可得到结论．
【解答】解：，，
；
将，代入可得：
原式
．
考点6 同底数幂的乘法
【例6】（2022秋•开福区校级期末）已知，则的值是
A．6B．C．D．8
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•鹿城区校级二模）计算：的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练2】（2023•泗县二模）计算：的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【变式练3】（2023•裕华区三模）若，则 内应填的数是
A．4B．5C．7D．8
【答案】
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则判断即可．
【解答】解：，
内应填的数是7．
故选：．
【变式练4】（2023•亭湖区校级模拟）计算的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练5】（2023•保定一模）若，则“□”是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘除互化，由得到，从而得到答案．
【解答】解：，
，
“□”是2，
故选：．
考点7 幂的乘方与积的乘方
【例7】（2023•临渭区一模）计算的结果为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先根据积的乘方法则进行计算，再根据幂的乘方法则即可求解．
【解答】解：
，
故选：．
【变式练1】（2023•临沂一模）已知，，其中，为正整数，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可得，，再根据同底数幂乘法的逆运算可得．
【解答】解：，，
，，
，
故选：．
【变式练2】（2023•南海区校级三模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•娄底二模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、与不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•滁州二模）计算的结果正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方计算．
【解答】解：．
故选：．
【变式练5】（2023•静安区二模）化简的结果是
A．B．C．D．
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解答】解：原式，
故选：．
考点8 同底数幂的除法
【例8】（2023•福州模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方法则分别计算即可判断．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•三明模拟）下列计算结果等于的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．
【解答】解：、不是同底数幂的乘法，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•丹东一模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断正误．
【解答】解：．，故选项不正确，不符合题意；
．，故选项不正确，不符合题意；
．，故选项不正确，不符合题意；
．，故选项正确，符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•泉山区校级三模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项的法则逐一分析判断即可．
【解答】解：、，计算正确，故本选项符合题意；
、，计算错误，故本选项不符合题意；
、，计算错误，故本选项不符合题意；
、，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•大渡口区模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•东莞市校级一模）已知，下列运算中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算依次计算判断即可．
【解答】解：．与不是同类项，不能进行合并，选项错误，不符合题意；
．，选项正确，符合题意；
．，选项错误，不符合题意；
．，选项错误，不符合题意；
故选：．
考点9 单项式乘单项式
【例9】（2023•海东市二模）计算：
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据整式的乘法法则计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•孝义市三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，无法合并，故此选项不合题意；
．，此选项符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•洛阳三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•夹江县模拟）化简所得的结果等于
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．
【解答】解：原式．
故选：．
【变式练4】（2023•海南二模）下列运算中，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式乘法法则解决此题．
【解答】解：．根据合并同类项法则，，那么错误，故不符合题意．
．根据积的乘方与幂的乘方，，那么错误，故不符合题意．
．根据同底数幂的除法法则，，那么错误，故不符合题意．
．根据单项式乘单项式的乘法法则，，那么正确，故符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•宿豫区二模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及结合完全平方公式、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，无法计算，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
故选：．
考点10 单项式乘多项式
【例10】计算：−23ab(6ab−32a+6b)= ．
【答案】﹣4a2b2+a2b﹣4ab2
【分析】用单项式去乘多项式的每一项，然后把所得的结果相加，即可得出答案．
【解答】解：−23ab（6ab−32a+6b）
=−23ab•6ab+23ab•32a−23ab•6b
＝﹣4a2b2+a2b﹣4ab2．
故答案为：﹣4a2b2+a2b﹣4ab2．
【变式练1】（2023•安岳县二模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方和单项式乘多项式的计算方法进行逐一计算、辨别．
【解答】解：和不是同类项，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意，
故选：．
【变式练2】（2023•福州模拟）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法，单项式乘以多项式的计算法则求解判断即可．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
、，原式计算错误，不符合题意；
、，原式计算错误，不符合题意；
、，原式计算正确，符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•海淀区二模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式分别化简，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•武陟县三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用单项式乘多项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•龙江县四模）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据单项式乘多项式法则，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法法则分别计算即可答出答案．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
考点11 多项式乘多项式
【例11】（2023•唐河县模拟）计算所得的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故选：．
【变式练1】（2023•大连模拟）计算的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算可得．
【解答】解：，
故选：．
【变式练2】（2023•丛台区三模）若，则的值是
A．6B．4C．2D．
【答案】
【分析】将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有和的等式，求出、的值即可得答案．
【解答】解：，
，
，
，，
．
故选：．
【变式练3】（2023•浙江模拟）如果，那么、的值分别是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可．
【解答】解：，
，
，，
解得：，．
故选：．
【变式练4】（2023•丛台区四模）若，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
原式
．
故选：．
【变式练5】（2023•丰南区一模）若，则等于
A．B．2C．D．5
【分析】根据多项式乘多项式的法则，将的每一项与的每一项分别相乘，再把其积相加即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
考点12 完全平方公式
【例12】（2023•双柏县模拟）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：和表示同类项，不能合并，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算正确，符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意；
，
选项的运算不正确，不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•雁塔区校级四模）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，同底数幂的除法法则，以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：．，原计算错误，故本选项不符合题意；
．，原计算正确，故本选项符合题意；
．，原计算错误，故本选项不符合题意；
．，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•江山市模拟）下面计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•金水区校级三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．2
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识进行判断即可．
【解答】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算错误，故此选项不符合题意；
、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•佳木斯三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据整式幂的运算、完全平方公式等运算法则进行计算、辨别．
【解答】解：，
故选项不符合题意；
，
故选项符合题意；
，
故选项不符合题意；
，
故选项不符合题意，
故选：．
【变式练5】（2023•襄阳模拟）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式以及积的乘方法则分别判断即可．
【解答】解：、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
、原式，故本选项计算正确，符合题意；
故选：．
考点13 完全平方公式的几何背景
【例13】（2023•西陵区模拟）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，它们的边长分别为，，其面积之和比其余面积（阴影部分）多6.25平方米．则主卧与客卧的周长差为
A．2.5米B．5米C．6米D．10米
【答案】
【分析】根据面积之差，利用完全平方公式可得的值，然后再利用正方形周长公式可得结果．
【解答】解：由题可得：
，
，
或（舍去），
主卧与客卧的周长差为：
（米
故选：．
【变式练1】（2023•青秀区校级模拟）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知，，求的值．”可以这样解：将完全平方公式变形得到．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形周长为16，，则的值是
A．34B．31C．64D．94
【答案】
【分析】根据已知易得，，从而可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【解答】解：长方形周长为16，，
，，
，
，
故选：．
【变式练2】（2023•烟台一模）将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由图1得，一个小长方形的长为，宽为，由图2得：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积，代入计算．
【解答】解：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积，
，
，
；
故选：．
【变式练3】（2023•城中区模拟）如图，两个正方形边长分别为，，已知，，则阴影部分的面积为
A．10B．11C．12D．13
【答案】
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去边长为的等腰直角三角形面积，再减去边长为和的直角三角形面积，即可得，根据完全平方公式的变式应用可得，代入计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
把，代入上式，
则．
故选：．
【变式练4】（2023•德惠市模拟）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块长方形，则这块长方形较长的边长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长边长为的正方形的边长边长的小正方形的边长边长的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．
【解答】解：依题意有：
．
则这块长方形较长的边长为．
故选：．
【变式练5】（2023•河西区二模）请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是
A．B．
C．D．
【分析】通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
【解答】解：根据图形可得出：大正方形面积为：，大正方形面积个小图形的面积和，
可以得到公式：．
故选：．
考点14 完全平方式
【例14】（2023•金华模拟）下列式子中是完全平方式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：．
故选：．
【变式练1】（2023•路北区二模）已知正方形的面积是，则正方形的周长是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长，进而可计算出正方形的周长．
【解答】解：，
正方形的边长为，
正方形的周长为：．
故选：．
【变式练2】（2023•桦南县一模）如果是完全平方式，则的值为
A．B．3C．3或D．3或
【分析】根据，可得：，据此求出的值是多少即可．
【解答】解：，
是完全平方式，
，
，
解得或．
故选：．
【变式练3】（2023•盘锦二模）已知 是完全平方式，则 15或 ．
【答案】15或．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】解：是完全平方式，
，
或．
故答案为：15或．
【变式练4】（2023•凤凰县二模）若多项式是一个完全平方式，则的值是 ．
【分析】根据已知可得完全平方式是，依据对应相等可得，解得．
【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
，解得．
故答案为：．
【变式练5】（2023•襄都区校级一模）有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片（边长如图）．现取甲纸片1块，乙纸片1块，丙纸片2块紧密地拼接成一个大正方形（互不重叠），则大正方形的边长为 ．（用含的代数式表示）
【答案】．
【分析】先求出大正方形的面积，再求出其边长即可．
【解答】解：甲纸片1块，乙纸片1块，丙纸片2块，
大正方形的面积，
大正方形的边长为．
故答案为：．
考点15 平方差公式
【例15】（2023•盐湖区校级三模）下列能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平方差公式是对结构特点算式进行计算的方法进行逐一辨别即可．
【解答】解：；
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
不是的形式，
选项不符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•邓州市二模）观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为
A．1B．0C．0或D．或
【答案】
【分析】先根据规律求的值，再求代数式的值．
【解答】解：．
．
．
．
．
．
当时，原式．
当时，原式．
故选：．
【变式练2】（2023•碑林区校级模拟）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用平方差公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•武侯区校级模拟）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂计算公式，完全平方公式以及平方差公式即可求解．
【解答】解：、，所以选项错误，不符合题意；
、，所以选项错误，不符合题意；
、，所以选项正确，符合题意；
、，所以选项错误，不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•平顶山模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据平方差公式、完全平方公式及整式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023•盐都区三模）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，分别进行各项的判断即可．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，故本选项错误；
故选：．
考点16 平方差公式的几何背景
【例16】（2023•松山区三模）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会
A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定
【答案】
【分析】矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为，
矩形的面积比正方形的面积小了100平方米，
故选：．
【变式练1】（2023•裕华区三模）某小区有一正方形草坪如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加3米，边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比
A．增加6平方米B．增加9平方米C．减少9平方米D．保持不变
【答案】
【分析】根据改建前后形状和面积的变化列出式子，比较分析后解答即可．
【解答】解：设原正方形草坪的边长为米．则面积为平方米，
改建后的草坪的长为米，宽为米，因此面积为平方米，
因此造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积差为（平方米），
即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积减少9平方米，
故选：．
【变式练2】（2023•城区二模）如图①，从边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②，则上述操作所能验证的公式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
【解答】解：由图①得，空白图形面积；
由图②得，空白图形面积．
故可得公式：．所以可排除，，选项．
所以本题答案为．
【变式练3】（2023•新化县一模）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为
A．B．C．D．
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用．
【解答】解：长方形的面积为：
．
答：矩形的面积是．
故选：．
【变式练4】（2023•播州区三模）如图（1），边长为的正方形剪去边长为2的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分的面积不变，你能验证的结论是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由图（1）可知阴影部分面积为，由图（2）可知阴影部分面积为，根据阴影部分的面积不变可得结果．
【解答】解：由图（1）可知阴影部分面积为，
由图（2）可知阴影部分面积为，
根据阴影部分的面积不变，能验证的结论是，
故选：．
【变式练5】（2023•泉港区模拟）为了美化校园，学校把一个边长为米的正方形跳远沙池的一边增加1米，相邻的一边减少1米改造成矩形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会
A．变小B．变小米C．没有变化D．变大
【答案】
【分析】用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案．
【解答】解：正方形的边长为米，因此这块地的面积为（平方米），
长方形的长为米，宽为米，因此面积为平方米，
由于，
所以面积减小了，
故选：．
考点17 整式的除法
【例17】（2023•城固县模拟）下列运算中，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而判断即可．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•淮阳区三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】依据题意，根据整式的运算法则及二次根式的运算法则逐项分析即可得解．
【解答】解：由题意，，故选项错误，不符合题意．
，故选项正确，符合题意．
，故选项错误，不符合题意．
，故选项错误，不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•德惠市模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，无法合并，故此选项错误；
、，故此选项正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
【变式练3】（2023•芜湖三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的除法运算逐项验证即可得到结论．
【解答】解：．根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项不符合题意；
．根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
．根据幂的乘方运算可知，该选项符合题意；
．根据同底数幂的除法运算可知，该选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•夏邑县校级三模）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据整式的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、与不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•虞城县三模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、单项式除以单项式、同底数幂相乘等计算方法进行逐一计算、辨别．
【解答】解：和不是同类项，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意，
故选：．
考点18 整式的混合运算
【例18】（2023•锦州二模）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，单项式除以单项式的法则，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•商水县模拟）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误；
故选：．
【变式练2】（2023•晋中模拟）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的方法可以判断；根据完全平方公式可以判断；根据多项式乘单项式可以判断；根据积的乘方可以判断．
【解答】解：，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•牡丹江模拟）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项的方法可以判断；根据单项式乘单项式的方法可以判断；根据积的乘方可以判断；根据单项式除以单项式的方法可以判断．
【解答】解：不能合并，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•临汾模拟）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方可以判断；根据完全平方公式可以判断；根据单项式的除法可以判断；根据合并同类项的方法可以判断．
【解答】解：，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•天门一模）下列各式计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用单项式乘多项式的法则，完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
考点19 整式的混合运算—化简求值
【例19】（2023•新华区校级一模）如果，那么代数式的值为
A．B．C．12D．8
【答案】
【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．
【解答】解：
，
，
，
原式，
故选：．
【变式练1】（2023•西城区校级模拟）如果，那么代数式的值是
A．B．5C．3D．
【答案】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
【解答】解：
，
，
，
则原式，
故选：．
【变式练2】（2023•靖江市校级三模）已知是方程的一个根，则代数式的值 ．
【答案】3．
【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
，
当时，原式
，
故答案为：3．
【变式练3】（2023•海陵区一模）已知，则代数式的值为 ．
【答案】49．
【分析】先将变形，再将展开，计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：49．
【变式练4】（2023•路桥区二模）已知，代数式的值为 ．
【答案】5．
【分析】由，得，将变形为，再整体代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：5．
【变式练5】（2023•姑苏区校级二模）若满足，则 15 ．
【答案】15．
【分析】先将所求式子变形，然后将代入变形的后的式子计算即可．
【解答】解：，
，
故答案为：15．
方
法
技
巧
点
拨
1．单项式
（1）单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．
（2）字母的指数是1时，指数省略不写，如y的指数是1而不是0．
2．多项式
（1）多项式的每一项都包括它前面的符号．
（2）多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数．
（3）多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数．
3．合并同类项
（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．
（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．
（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．
（4）合并完同类项后，通常把结果进行升（降）幂排列．
4．多项式的规律探究
（1）规律探究问题也称为归纳猜想问题，这类问题一般是给出一组具有某种规律的数或式，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．
（2）多项式的规律探究题一般忽略不变部分，从变化部分的系数、正负、相同字母的指数与序数之间的关系入手进行分析．