专题09 分式方程（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题09 分式方程（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共24页。试卷主要包含了知识回顾，分式方程的定义，分式方程的解法，分式方程的应用基本思路和方法等内容，欢迎下载使用。

夯实基础
1．知识回顾
（1）分式的概念
形如eq \f(A,B)（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．
（2）分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
2．分式方程的定义
分母中含有未知数的等式叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
3．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
4．分式方程的应用基本思路和方法
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
吃透考点
1．分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程的常用方法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程．常用方法有去分母法和换元法．
（1）去分母法的步骤：
①去分母，将分式方程转化为整式方程；
②解所得的整式方程；
③验根作答．
（2）换元法的步骤：
①设辅助未知数；
②得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
③把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值；
④检验作答．
3．增根
解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程时，有时可能产生不适合原方程的根（我们把这个根叫做方程的增根），所以解分式方程时要验根．
4．分式方程的运用
解分式方程应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出分式方程，最后要验根．
考点1 分式方程的定义
【例1】（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．
【解答】解：．该方程是一元一次方程，不符合题意；
．该方程是分式方程，符合题意；
．该方程是一元一次方程，不符合题意；
．该方程是二元一次方程，不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023春•宜宾月考）在方程，，，中，分式方程有 个．
【答案】3．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【解答】解：在方程，，，中，分式方程有，，，一共有3个．
故答案为：3．
【变式练2】（2023春•渠县校级期末）下列各式中为分式方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【解答】解：、不是方程，故本选项错误；
、方程的分母中含未知数，所以它是分式方程．故本选项正确；
、方程分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
、方程的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
故选：．
【变式练3】（2022秋•开封期末）下列方程中是分式方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解答】解：、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
、该方程是分式方程，故此选项符合题意；
、该方程是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2022秋•临西县期末）下列方程中，是分式方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式方程定义分析即可．
【解答】解：．原方程是分式方程，符合题意；
．原方程是一元二次方程，不是分式方程；
．原方程是一元一次方程，不是分式方程；
．原方程是二元一次方程，不是分式方程；
故选：．
【变式练5】（2022秋•西丰县期末）下列方程中，是分式方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
、该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
考点2 分式方程的解
【例2】（2023•武侯区校级模拟）已知是分式方程的解，则的值为
A．B．1C．3D．
【答案】
【分析】把代入分式方程就得到关于的方程，从而求出的值．
【解答】解：把代入分式方程得：，
去分母得：，
解得：，
，
的值为．
故选：．
【变式练1】（2023•新泰市一模）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为
A．B．且C．D．且
【答案】
【分析】先解分式方程，得．再根据分式方程的解的定义解决此题．
【解答】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为1，得．
关于的方程的解是正数，
且．
且．
故选：．
【变式练2】（2023•洪雅县模拟）若关于的方程无解，则的值为
A．0B．4或6C．4D．0或4
【答案】
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【解答】解：，
方程两边同乘得：，
整理得：，
原方程无解，
当时，即，
当时，或，此时，，
解得：或，
当时，无解，
当时，，
解得：．
综上，的值为0或4．
故选：．
【变式练3】（2023•东台市一模）若是分式方程的根，则的值为
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：将代入分式方程可得，
，
解得：，
故选：．
【变式练4】（2023•锦江区模拟）若关于的分式方程的解为，则的值为
A．1B．2C．3D．5
【答案】
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
解得：，
故选：．
【变式练5】（2023•驻马店二模）若关于的分式方程的解是2，则的值为
A．B．C．2D．4
【答案】
【分析】将代入原方程解答即可．
【解答】解：关于的分式方程的解是2，
，
．
故选：．
考点3 解分式方程
【例3】（2023•高新区校级模拟）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先根据，可得：，然后方程两边同时乘，判断出去分母化为一元一次方程，正确的是哪个即可．
【解答】解：，
，
方程两边同时乘，可得：．
故选：．
【变式练1】（2023•临高县校级三模）方程的解为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】方程两边都乘以最简公分母化为整式方程，然后解整式方程即可，注意要进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以得，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故选：．
【变式练2】（2023•海南二模）分式方程的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是．
故选：．
【变式练3】（2023•晋中模拟）分式方程的解是
A．B．C．无解D．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘，得
，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解，
故选：．
【变式练4】（2023•连平县二模）分式方程的解为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
【变式练5】（2023•新吴区二模）方程的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是，
故选：．
考点4 换元法解分式方程
【例4】（2023•长宁区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由设出的，将方程左边两项代换，得到关于的方程，整理后即可得到结果．
【解答】解：设，
方程化为，
整理得：．
故选：．
【变式练1】（2023•巴中模拟）若解分式方程产生增根，则的值为 3 ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，进而把增根代入可得的值．
【解答】解：去分母得：，
当时，，
故答案为3．
【变式练2】（2022•金山区校级模拟）用换元法解方程时，设，那么原方程化成关于的整式方程是 ．
【答案】．
【分析】根据题意，用含的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设，则．
所以原方程可变形为：．
方程的两边都乘以，得
．
即．
故答案为：．
【变式练3】（2022•嘉定区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ．
【答案】
【分析】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化，可设．
【解答】解：设，则．
则原方程可化为：．
故答案为：．
【变式练4】（2022•通许县模拟）为实数，，那么的值为
A．1B．或1C．D．4或
【答案】
【分析】令，则有，求出的值为或1，再由时无解，则可求．
【解答】解：令，
则有，
方程两边同时乘，得，
，
或，
当时无解，
，
故选：．
【变式练5】（2021•荆州模拟）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设，则原方程化为，去分母即可．
【解答】解：，
设，
则原方程化为：，
则，
故选：．
考点5 分式方程的增根
【例5】（2021•杭州模拟）若实数满足，则的值为
A．3B．0C．3或0D．
【分析】本题需先对方程进行变形，再用换元法即可求出的值．
【解答】解：由题意可得
，
故（其中0不符合题意，舍去）
故选：．
【变式练1】（2023•巴中一模）若关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【解答】解：方程两边都乘，得，
，
原方程的增根为，
，
解得，
故答案为：．
【变式练2】（2023•环翠区一模）若关于的分式方程有增根，则的值为
A．B．3C．2D．
【答案】
【分析】先求出方程的解，因为方程有增根，所以，所以，根据方程的解等于2，求得的值．
【解答】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
解得：．
故选：．
【变式练3】（2023•金牛区模拟）若关于的分式方程有增根，则的值是
A．B．C．0D．1
【答案】
【分析】根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
【解答】解：关于的分式方程，
去分母可化为，
又因为关于的分式方程，即有增根，
所以是方程的根，
所以，
故选：．
【变式练4】（2023•牡丹江一模）若分式方程有增根，则的值为
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母，代入整式方程计算的值．
【解答】解：因为，
去分母得：，
解得：，
因为分式方程有增根，
所以，即：是方程增根，
所以．
故选：．
【变式练5】（2023•合肥模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】根据题意可得：，从而可得，然后把代入整式方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
，
把代入中得：
，
解得：，
故选：．
考点6 由实际问题抽象出分式方程
【例6】（2023•郯城县二模）现在手机非常流行，手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快200秒，那么手机的下载速度是多少呢？若设手机的下载速度为秒，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设手机的下载速度为秒，则设手机的下载速度为秒，根据下载一部的电影，比要快200秒，列分式方程即可．
【解答】解：设手机的下载速度为秒，则设手机的下载速度为秒，
由题意可得：，
故选：．
【变式练1】（2023•长沙一模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为元，那么下列方程正确的是
A．B．C．D．．
【答案】
【分析】根据每行驶1千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶1千米纯燃油的费用为元，利用行驶路程总费用每行驶1千米所需费用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，且每行驶1千米纯用电的费用为元，
每行驶1千米纯燃油的费用为元．
根据题意得：．
故选：．
【变式练2】（2023•福州模拟）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为，利用种植面积总产量每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：第一块试验田每公顷的产量比第二块少，且第一块试验田每公顷的产量为，
第二块试验田每公顷的产量为．
根据题意得：．
故选：．
【变式练3】（2023•盘龙区校级模拟）两个小组同时攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第二组早到达顶峰，设第二组的攀登速度为，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设第二组的速度为，则第一组的速度是，根据第一组比第二组早，列出方程即可．
【解答】解：设第二组的速度为，则第一组的速度是，由题意，得
．
故选：．
【变式练4】（2023•鼓楼区校级模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解答】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，
由题意得：．
故选：．
【变式练5】（2023•鹿城区校级二模）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是米秒，则所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设小铭的速度是米秒，则小超的速度为，然后根据“小超比小铭快了30秒”列出方程即可．
【解答】解：设小铭的速度是米秒，则小超的速度为，小铭跑1000米用的时间为秒，小超跑1000米用的时间为秒，
由小超比小铭快了30秒，则可列方程．
故选：．
考点7 分式方程的应用
【例7】（2023•微山县三模）甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成时间比乙工程队单独完成时间少用6天．若两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，那么乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．则甲工程队单独完成这项工程所需的时间是
A．30天B．28天C．18天D．12天
【答案】
【分析】设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
即甲工程队单独完成这项工程所需的时间是12天，
故选：．
【变式练1】（2023•巧家县校级三模）某市为了构建城市立体交通网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将工作效率提高，则原计划完成这项工程需要
A．30个月B．25个月C．36个月D．24个月
【答案】
【分析】设原计划完成这项工程需要个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意，列出方程，即可求解．
【解答】解：设原计划完成这项工程需要个月完成，则提高工作效率需要个月，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成这项工程需要30个月．
故选：．
【变式练2】（2023•官渡区二模）“行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．如图，官渡区森林公园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小官共用13秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.6倍，则小官通过路段的速度是
A．0.5米秒B．1米秒C．1.5米秒D．2米秒
【答案】
【分析】设小官通过路段时的速度是米秒，则小官通过路段时的速度是米秒，利用时间路程速度，结合小敏共用13秒通过路段，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小官通过路段时的速度是米秒，则小官通过路段时的速度是米秒，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小官通过路段时的速度是1米秒．
故选：．
【变式练3】（2023•缙云县二模）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中表示
A．实际每天铺设管道的长度B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度D．原计划施工的天数
【答案】
【分析】根据方程中的实际意义求解即可．
【解答】解：由方程可得，
方程中表示实际每天铺设管道的长度．
故选：．
【变式练4】（2023•桥西区二模）李明骑自行车去车站，在时他距离车站还有3千米，要在之前到达，车速度需要
A．大于200米分B．大于等于200米分
C．大于20米分D．大于等于20米分
【答案】
【分析】设车速度为米分，根据题意在时他距离车站还有3千米，要在之前到达列方程即可得到结论．
【解答】解：设车速度为米分，
根据题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
答：车速度需要大于200米分．
故选：．
【变式练5】（2023•富顺县校级一模）已知游客从绵阳某景区乘车到绵阳火车站，有两条路线可供选择，路线一：走直达低速全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达绵阳火车站的时间比走路线一少用7分钟，则走路线一到达绵阳火车站需要
A．25分钟B．26分钟C．27分钟D．28分钟
【答案】
【分析】设走路线一到达绵阳火车站需要分钟，根据走环城高速平均速度是路线一的倍列分式方程解答即可．
【解答】解：设走路线一到达绵阳火车站需要分钟，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
走路线一到达绵阳火车站需要25分钟，
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2．解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的应用基本思路和方法
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
约分前后分式的值要相等．
约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式．
约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．