中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题10分式方程(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题10分式方程(原卷版+解析)，共37页。


【知识要点】
解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。
2）解整式方程。
3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，
情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；
情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。
分式的化简求值：
1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；
2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；
3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。
分式方程解决实际问题的步骤：
1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案
考查题型一 解分式方程
题型1．(2023·辽宁营口·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
题型1-1．(2023·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
题型1-2．(2023·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝______．
题型1-3．(2023·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
题型1-4．(2023·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
题型1-5．(2023·湖南常德·中考真题）方程的解为________．
题型1-6．(2023·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____．
题型1-7．(2023·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
题型1-8．(2023·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
题型1-9．(2023·青海西宁·中考真题）解方程：．
题型1-10．(2023·广西梧州·中考真题）解方程：
题型1-11．(2023·青海·中考真题）解分式方程：．
易错点总结：
考查题型二 根据分式方程解的情况求值
题型2．(2023·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1B．a＞－1且a≠0C．a＜－1D．a＜－1且a≠－2
题型2-1．(2023·内蒙古通辽·中考真题）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．且
C．D．且
题型2-2．(2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
题型2-3．(2023·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
题型2-4．(2023·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
题型2-5．(2023·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
易错点总结：
考查题型三 分式方程无解的情况
题型3．(2023·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
题型3-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3B．0C．D．0或3
题型3-2．(2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
题型3-3．(2023·西藏·中考真题）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___．
易错点总结：
考查题型四 列分式方程
题型4．(2023·辽宁阜新·中考真题）我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型4-1．(2023·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型4-2．(2023·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝B．﹣＝
C．﹣＝30D．﹣＝30
题型4-3．(2023·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型4-4．(2023·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：）．2022年3月当月增速为，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型4-5．(2023·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
题型4-6．(2023·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
题型4-7．(2023·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
题型4-8．(2023·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝+10
题型4-9．(2023·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型4-10(2023·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量
题型4-11(2023·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型4-12．(2023·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
易错点总结：
考查题型五 分式方程的实际应用
题型5．(2023·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
题型5-1．(2023·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
题型5-2．(2023·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多元．已知元购进的篮球数量和元购进的排球数量相等．
(1)篮球和排球的单价各是多少元？
(2)现要购买篮球和排球共个，总费用不超过元．篮球最多购买多少个？
题型5-3．(2023·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
题型5-4．(2023·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
(1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
题型5-5．(2023·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
题型5-6．(2023·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小题型5-7．(2023·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
题型5-8．(2023·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
题型5-9．(2023·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
题型5-10．(2023·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
题型5-11．(2023·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
先化简，再求值：，其中
解：原式
专题10分式方程
【考查题型】
【知识要点】
解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。
2）解整式方程。
3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，
情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；
情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。
分式的化简求值：
1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0；
2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；
3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。
分式方程解决实际问题的步骤：
1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案
考查题型一 解分式方程
题型1．(2023·辽宁营口·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
所以．
经检验，是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
题型1-1．(2023·海南·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
【提示】按照解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：
2-（x-1）=0
2-x+1=0
-x=-3
x=3
检验，当x=3时，x-1≠0，故x=3是原分式方程的解．
故答案选C．
【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．
题型1-2．(2023·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝______．
答案:7
【提示】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
题型1-3．(2023·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
答案:
【提示】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
题型1-4．(2023·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
答案:
【提示】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．
【详解】解：分式方程的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，
故答案为：x(x+1)．
【名师点拨】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
题型1-5．(2023·湖南常德·中考真题）方程的解为________．
答案:
【提示】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得
经检验，是原方程的解
故答案为：
【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
题型1-6．(2023·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____．
答案:5
【提示】根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：，即，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【名师点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
题型1-7．(2023·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
答案:
【提示】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可．
【详解】
去分母得：
解得：
经检验，是分式方程的解
把代入不等式得：
解得
故答案为：
【名师点拨】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
题型1-8．(2023·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
答案:##
【提示】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵即，
∴，
解得，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【名师点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
题型1-9．(2023·青海西宁·中考真题）解方程：．
答案:
【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
题型1-10．(2023·广西梧州·中考真题）解方程：
答案:
【提示】先方程两边同时乘以，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
解出：，
当时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：．
【名师点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
题型1-11．(2023·青海·中考真题）解分式方程：．
答案:x=4
【提示】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
方程两边乘得：，
解得：x=4，
检验：当x=4时，．
所以原方程的解为x=4．
【名师点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考查题型二 根据分式方程解的情况求值
题型2．(2023·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1B．a＞－1且a≠0C．a＜－1D．a＜－1且a≠－2
答案:D
【提示】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．
【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，
得2x+a=x-1．
解得：x=-a-1且x为正数．
所以-a-1＞0，
解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程无意义）．
故答案为：D
【名师点拨】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．
题型2-1．(2023·内蒙古通辽·中考真题）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．且
C．D．且
答案:B
【提示】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
题型2-2．(2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
答案:C
【提示】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故选：C．
【名师点拨】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型2-3．(2023·重庆·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
答案:A
【提示】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：
解得：
又题意得：且
∴且，
由得：
由得：
∵解集为
∴
解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6
它们的和为：13
故选：A．
【名师点拨】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
题型2-4．(2023·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A．－26B．－24C．－15D．－13
答案:D
【提示】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可．
【详解】∵ ，
解①得解集为，解②得解集为，
∵ 不等式组的解集为，
∴，
解得a＞-11，
∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数，
∴a＜1且a≠-2，
∴-11＜a＜1且a≠-2，
故a=-8或a=-5，
故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13，
故选D．
【名师点拨】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．
题型2-5．(2023·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
答案:且
【提示】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【名师点拨】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
考查题型三 分式方程无解的情况
题型3．(2023·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
答案:D
【提示】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【名师点拨】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型3-1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3B．0C．D．0或3
答案:C
【提示】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】解：，
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
解得：x＝，
当时，方程无解，
解得．
故选：C．
【名师点拨】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
题型3-2．(2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
答案:C
【提示】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，
故选C．
【名师点拨】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
题型3-3．(2023·西藏·中考真题）若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m＝___．
答案:2
【提示】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解：﹣1＝，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【名师点拨】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
考查题型四 列分式方程
题型4．(2023·辽宁阜新·中考真题）我市某区为万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的倍，结果提前天完成了这项工作．设原计划每天接种万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
【提示】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种万人，再结合结果提前天完成了这项工作，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：实际每天接种人数是原计划的倍，且原计划每天接种万人，
实际每天接种万人，
又结果提前天完成了这项工作，
．
故选：．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题型4-1．(2023·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
【提示】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
依题意得：，
故选：D．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
题型4-2．(2023·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝B．﹣＝
C．﹣＝30D．﹣＝30
答案:A
【提示】设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．
【详解】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，
根据题意可得：．
故选：A．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，详解本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
题型4-3．(2023·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
【提示】先求出平均每天耕作旱地的亩数为亩，再根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半建立方程即可．
【详解】解：由题意可知，平均每天耕作旱地的亩数为亩，
则可列方程为，
故选：D．
【名师点拨】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．
题型4-4．(2023·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：）．2022年3月当月增速为，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
【提示】根据题意列式即可．
【详解】解：设2021年3月原油进口量为x万吨，
则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x)万吨，
依题意得：，
故选：D．
【名师点拨】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．
题型4-5．(2023·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
【提示】先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，
则可列方程为，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．
题型4-6．(2023·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
答案:D
【提示】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【名师点拨】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
题型4-7．(2023·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
【提示】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可．
【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则
，
故选：A．
【名师点拨】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
题型4-8．(2023·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝+10
答案:B
【提示】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，
依题意得：，
故选：B．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题型4-9．(2023·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
【提示】利用酒精的总质量不变列方程即可．
【详解】设需要加水，
由题意得，
故选：B．
【名师点拨】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
题型4-10(2023·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量
答案:D
【提示】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义．
【详解】解：由可得：
由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价，
表示的是购买篮球的数量，
故选D
【名师点拨】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．
题型4-11(2023·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案:B
【提示】根据题意找出题目中的等量关系列出方程即可．
【详解】设规定时间为x天，
则可列方程为，
故选：B．
【名师点拨】此题考查了分式方程应用题，解题的关键是根据题意找出题目中的等量关系列出方程．
题型4-12．(2023·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
答案:
【提示】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
考查题型五 分式方程的实际应用
题型5．(2023·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
答案:
【提示】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．
【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、．
∴，
∴，
故丙山的红枫数量为，
设香樟和红枫价格分别为、．
∴，
∴，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．
题型5-1．(2023·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．
(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？
(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？
答案:(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元
(2)最多购买笔记本20本
【提示】（1）设钢笔的价格为x元，则笔记本的价格为x+2元，根据题目中的等量关系列方程并求解即可；
（2）设笔记本的数量为y本，则钢笔的数量为50-ｙ支，根据题意列关于y的不等式，解不等式并找到最大整数解即为答案．
（1）
设每支钢笔x元，依题意得：
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
故笔记本的单价为：10+2＝12（元），
答：笔记本每本12元，钢笔每支10元．
（2）
设购买y本笔记本，则购买钢笔（50﹣y）支，依题意得：
12y+10（50﹣y）≤540，
解得：y≤20，
故最多购买笔记本20本．
【名师点拨】本题考查了用分式方程和一元一次不等式解决问题，找到题目中的等量关系并列出关于未知数的方程或不等式，仔细计算是本题的解题关键．
题型5-2．(2023·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多元．已知元购进的篮球数量和元购进的排球数量相等．
(1)篮球和排球的单价各是多少元？
(2)现要购买篮球和排球共个，总费用不超过元．篮球最多购买多少个？
答案:(1)篮球的单价为元，排球的单价为元
(2)最多购买个篮球
【提示】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
设排球的单价为元，则篮球的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
篮球的单价为元，排球的单价为元．
（2）
设购买篮球个，则购买排球个，
依题意得：，
解得，
即的最大值为，
最多购买个篮球．
【名师点拨】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
题型5-3．(2023·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
答案:(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【提示】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
（1）
解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）
解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴当时，y取最大值，此时，，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
题型5-4．(2023·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
(1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
答案:(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
(2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
【提示】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
（1）
解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：，
解得：；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）
解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
依题意得：9600+600（）+1200y≥17700，
解得：．
答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
题型5-5．(2023·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
答案:该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【提示】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，
依题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
题型5-6．(2023·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
答案:(1)甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻
(2)最多安排甲收割4小时
【提示】（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控A型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入（1﹣40）x中即可求出乙操控B型号收割机每小时收割水稻的亩数；
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过2.4%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y＋2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
题型5-7．(2023·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
答案:乙班每小时挖400千克的土豆
【提示】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．
【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖(100+x)千克的土豆，
根据题意有：，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的根，
故乙班每小时挖400千克的土豆．
【名师点拨】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．
题型5-8．(2023·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
答案:(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米
(2)以后每天改造管网至少还要增加36米
【提示】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解；
（2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【名师点拨】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式．
题型5-9．(2023·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
答案:(1)
(2)千米/时
【提示】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；
（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可．
(1)
解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)
设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
题型5-10．(2023·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
答案:这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【提示】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
【名师点拨】本题考查分式方程的应用，提示题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
题型5-11．(2023·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
答案:张老师骑车的速度为千米/小时
【提示】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为千米/小时，则汽车速度是千米/小时，
根据题意得：，
解之得，
经检验是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为千米/小时．
【名师点拨】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．
先化简，再求值：，其中
解：原式