2024届广东省湛江市廉江中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2024届广东省湛江市廉江中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元一次不等式组得集合，再根据交集的运算求解即可.
【详解】由可得，
则，所以．
故选：A.
2．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数乘法法则得到，然后根据复数的几何意义判断象限即可.
【详解】因为：，所以，则在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．如果向量，，那么
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由已知，所以，
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，掌握向量模的坐标表示是解题关键，本题属于基础题．
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意求得，然后由公式可得.
【详解】由题意得，，所以，．
故选：D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.
【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D；
当时，，即，此时，排除C；
当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除B.
故选：A.
6．已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，
所以，
解得：.
故选：D.
7．若​，则下列不等式中正确的是（ ）
A．​
B．​
C．​
D．​
【答案】D
【分析】依据对和选项进行分析，在分析过程中涉及基本不等式时注意等号成立的条件.
【详解】因为，所以，则.
所以即，AB错误.
因为，所以，则，​C错误.
因为，所以
则，​D正确.
故选：D
8．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
二、多选题
9．将100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（ ）

A．
B．该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值
C．该组数据的第90百分位数约为109.2
D．在该组数据中随机选取一个数据记为n，已知，则的概率为
【答案】BC
【分析】对于A选项：由阴影部分面积之和为1即可验证；
对于B选项：计算出平均数和众数估计值即可验证；
对于C选项：根据第90百分位数的定义去计算即可验证；
对于D选项：由条件概率计算公式即可验证.
【详解】对于A选项：由阴影部分面积之和为1可知，
解得，故A选项不符题意.
对于B选项：不妨设众数和平均数分别为，由图可知显然有，，
因此，即平均数的估计值大于众数的估计值，故B选项符合题意.
对于C选项：设第90百分位数为，且注意到这100个数据落在区间的概率为，
所以一定落在区间内，所以，
解得，故C选项符合题意.
对于D选项：记 、分别为事件，
则由图可知，，
则由条件概率公式得，故D选项不符题意.
故选：BC.
10．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图像关于直线对称
C．D．的图像关于点对称
【答案】BCD
【分析】利用正弦函数的性质逐一计算判断即可.
【详解】因为，所以的最小正周期为，故A错误；
根据正弦函数的性质，
因为，，
所以的图像关于直线对称，的图像关于点对称，故B，D正确
，故C正确；
故选：BCD.
11．如图，在正方体中，E､F､G分别为的中点，则（ ）
A．B．与所成角为
C．D．平面
【答案】ABD
【分析】利用坐标法，根据向量运算结合条件逐项分析即得.
【详解】以点D为坐标原点，所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则.
对于A选项，，所以，故A选项正确；
对于B选项，，
，
所以，向量与向量的夹角是，与所成角为，故B选项正确；
对于C选项，，则，故C选项错误；
对于D选项，设平面的法向量为，
由，可得，取，可得，
又，
∵，∴，∵平面，∴平面，故D选项正确.
故选：ABD.
12．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．曲线关于直线轴对称B．是以4为周期的周期函数
C．D．关于点对称
【答案】ABC
【分析】对A，根据为偶函数即可判断；对B，根据函数对称性化简判断即可；对C，根据周期性与对称性可得，再求解即可；对D，根据对称性与周期性判断即可.
【详解】对A，为偶函数，则，故关于直线轴对称，故A正确；
对B，关于直线轴对称，则，又是定义在上的奇函数，故，则，且，故，故周期为4.故B正确；
对C，，且，图象关于直线轴对称，故，，，故
，故C正确；
由C知D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知直线与圆相切，则r的值为 .
【答案】
【分析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由直线与圆相切，
则，
即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属基础题.
14．已知正实数满足,则的最小值为 .
【答案】
【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数满足,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
15．2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为 ．
【答案】60
【分析】运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果.
【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为．
故答案为：60.
16．已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据导数与极值的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理即求；
（2）利用正弦定理即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
,
（2）在中，由正弦定理可知：，
即：
.
18．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角C的大小；
(2)若的面积为6，求边长c的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简即得解；
（2）先利用面积求出，再利用余弦定理求解.
【详解】（1）解：由已知及正弦定理得.
∵，∴.
∴，即.
又，∴.
（2）解：∵，∴.
∴，
解得.
20．已知函数f(x)=.
（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．
【答案】(1) a≤0(2) f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.
【详解】解：（1）对f(x)求导，得．由，得．记，当时，是增函数，
∴
∴a<0．又a=0也符合题意，故．
（2）由题意，得，即,∴
∴,．令,得．
当x变化时，、f(x)的变化情况如下表：

当与时，f(x)是增函数；
当时，f(x)是减函数．
于是，当时，；
而f(1)=-6，f(4)=-12，
∴．
21．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,,求．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）将已知条件整理变形为等比数列的首项和公比来表示，解方程组得到基本量，可得到通项公式（2）化简通项得，根据特点求和时采用错位相减法求解
试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8, 2分
∴+=20 ∴解之得或 4分
又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n 6分
（2）, ∴ ① 8分
∴②
∴①-②得＝ 12分
【解析】1．等比数列通项公式；2．错位相减求和
22．已知函数.
(1)求的极值；
(2)当时，，求实数的取值范围.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；
（2）原问题转化为不等式在上恒成立，方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明的最小值为，进而求出.
【详解】（1）求导得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）方法一：由题知不等式在上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，
则，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
即当时，，此时；当时，，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，
所以，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，
所以；
②当时，
因为存在，使得，而，
此时不满足，
所以无解.
综上所述，.
方法二：由题知不等式在上恒成立，
原问题等价于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
记，则，当单调递减，单调递增，
因为即，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，令，显然单调递增，且，
故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：已知不等关系求解参数范围时，求解的关键是转化为函数最值问题求解，求解最值时常借助隐零点、同构等方法进行求解.
3
+
0
--
0
+
极大值
极小值