2023届广东省汕头市金山中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

2023届广东省汕头市金山中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.

【详解】由,

所以在复平面对应的点为，在第一象限.

故选：A

2．集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先解分式不等式求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：由等价于，解得或，

所以，又，所以，

①当时，即无解，此时，满足题意.

②当时，即有解，

当时，可得，即，要使，则需要，解得.

当时，可得，即，要使，则需要，解得.

综上，实数的取值范围是.

故选：A

3．已知直线m，n平面，，，，则“且”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】利用空间直线平面的位置关系和必要非充分条件的定义判断得解.

【详解】解：面面平行的判定定理：，，，，．

所以“且”推不出“”，

但“”可以推得“且”，

所以“且”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

4．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）

A．89 B．55 C．34 D．144

【答案】C

【分析】记第行实心圆点的个数为，由图中实心圆点个数的规律可知，由此即可计算出答案.

【详解】设第行实心圆点的个数为，

由题图可得，，，，，，，……，

则，

故，，，．

故选：C．

5．将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是（　　）

A．540 B．360 C．240 D．180

【答案】B

【分析】计算出6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，

根据教师甲去每所学校的情况都是一样的可得答案.

【详解】将6名新教师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，

有或或三种分配方案，

所以共有种情况，

其中教师甲去每所学校的情况都是一样的，

所以教师甲不能去A学校的不同的安排方案的种数是种.

故选：B.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据且趋近0时判断，最后利用的零点进行判断，即可得到答案

【详解】解：因为，所以，解得，

则的定义域为，关于原点对称，

由可得，

发现，故为奇函数，故B错误；

当且无限接近0时，，所以此时，故A错误；

因为当即，解得，所以在轴正半轴的第一个零点是，第二个零点是，第三个零点是，第四个零点是，第五个零点是，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C错误；

故选：D

7．设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是15个，满足条件的事件是9个，即可得出答案.

【详解】当时，

当且仅当时，取“＝”，

∴，

于是恒成立就转化为成立；

当时， ，

设事件A：“恒成立”，

则基本事件总数为15个，即

（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；

事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个

所以.

故选：A.

8．的值落在区间（    ）中．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，分析可知，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.

【详解】因为，

即

，

设，则，

对任意的恒成立，

所以，函数在上为减函数，且，

因为，，

由零点存在定理可知.

故选：B.

二、多选题

9．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.

【详解】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；

对于A，的定义域，值域，则，A错误；

对于B，的定义域，值域，则，B正确；

对于C，的定义域为，值域，则，C错误；

对于D，的定义域为，值域，则，D正确.

故选：BD.

10．如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则（    ）

A．与不垂直

B．二面角的大小为定值

C．三棱锥的体积为定值

D．若是对角线上一动点，则长度的最小值为

【答案】BCD

【分析】由线面垂直的性质判断A；由二面角判断B；由等积法判断C；将平面沿直线翻折到平面内，作出平面图可求解D

【详解】对于A：由正方体可得，

又平面，平面，

所以，

因为，，，

平面，所以平面，

又平面，

所以，故A错误；

对于B：平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，

而这两个平面的位置固定不变，故二面角的大小为定值，故B正确；

对于C：因为，为定值，故C正确；

对于D：将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，

过点作，此时的值最小，

由题可知，

，

则，

故，

又，

故长度的最小值为，故D正确；

故选：BCD

11．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（    ）

A．

B．直线，的斜率之积等于定值

C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个

D．若，则

【答案】BD

【分析】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确．

【详解】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，

对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；

对于B中，由，，可得，

又由，所以，可得，所以B正确；

对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．

对于D中，由，得，

从而，所以D正确．

故选：BD．

12．已知函数，下列选项正确的是（       ）

A．函数在上单调递增

B．函数的值域为

C．若关于x的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是

D．不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用导数法求出分段函数的单调性，从而确定函数的单调性及值域即可判断A、B选项是否正确；由，解出的值，根据的图像判断有个不相等的实数根的条件，即可判断C选项是否正确；将原不等式转化，做出直线利用斜率的意义，结合数形结合思想确定的取值范围.

【详解】，

①、当时，，，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在单调递增.

当时，有极小值为，

当时，,且，

当时，；当时，，且趋近于负无穷大时,趋近于.

②、当时，，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

时，函数有极大值为，

又趋近于正无穷大时,趋近于，时，，且

做出函数的图像如图示：

对于A选项：由函数的图像可知，函数在上单调递增，则A选项正确；

对于B选项：由函数的图像可知，函数的值域为，则B选项不正确；

对于C选项：由，可得，即或，

做出的图像如下：

由图像可知，有一个实数根，

关于x的方程有个不相等的实数根，有两个不相等且异于的实数根，

，，结合函数的图像可知，实数a的取值范围是，则C选项正确；

对于D选项：，，

分析可知：直线过点，当直线过点时，，

当直线过点时，，

结合函数的图像可知，当实数a的取值范围是时，不等式在恰有两个整数解为0与1，则D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.

【答案】

【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出的值，根据向量运算，把化成，计算其长度得答案.

【详解】在中，设，，

则，所以，

所以.

故答案为：

14．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.

【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，

当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；

当，即时，，

，；

当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.

15．如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点）篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率=_________.

【答案】

【分析】建立直角坐标系，由题意可知，，，求得直线PR的方程，利用点到直线的距离公式求得M、Q的坐标，再利用M到PN的距离求得N点坐标，则可得出2a，a﹣c，求解c，即可得到椭圆的离心率．

【详解】解：以为坐标原点建立平面直角坐标系，

由题意可知，，

由题意可得，则，，

设，

则到的距离，解得（舍去），，

则，

又设，由，得．

，则，得，

，则    

故得．

∴椭圆的离心率．

故答案为：．

16．若函数恰有两个零点，则的值为______.

【答案】

【分析】由，得|logax|，即，可得函数y与y的图象有两个交点，画出图形，数形结合可得a的取值范围．

【详解】由，得|logax|，即，

由题意，函数y与y的图象有两个交点，

当0＜a＜1时，函数y与y的图象有两个交点时，

注意到y与y互为反函数，图象关于y＝x对称，

可知函数y的图象与y＝x相切，设切点的横坐标为x0，

则，解得；

故答案为：

四、解答题

17．已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.

(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：

(2)当时，求证：.

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用和的关系即可得到结果；

（2）利用裂项相消法，即可证明不等式.

【详解】(1)∵（且），

当时，，

，

又，所以，

，

数列是以为首项，公差为1的等差数列，

，所以.

当时，，

又满足上式，

数列的通项公式为.

(2)当时，，

故

所以对，都有.

18．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：

(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题意易知，通过手机收看的概率为，则至少有1人通过手机收看的对立事件为3人都没有通过手机收看，即可较易得出结论；

（2）首先得出服从二项分布，然后求出对应取值的概率，即可得出分布列，同时也能得出期望.

【详解】(1)记事件为至少有1人通过手机收看，

由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，

则；

(2)由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，

；

；

；

；

所以的分布列为：

所以.

19．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且

(1)求；

(2)求的取值范围

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）化简可得，根据同角三角关系可求出的值，即可得到答案；

（2）先利用锐角三角形得到通过正弦定理可得到，然后通过余弦定理得到，所以设，利用双勾函数的性质求其范围即可得到答案

【详解】(1)因为，

所以，即，

由角为锐角知，

联立，解得，故；

(2)由为锐角三角形知，即，

因为，

所以

所以，

因为所以所以，即，

因为

所以令，

则，因为，则，

所以

即

20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；

(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析

(2)符合题意的点存在且为线段的中点．

【分析】（1）证明出平面，进而证明面面垂直；

（2）易得当平面时，四棱锥体积最大，再建立空间直角坐标系，设（），利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点的位置

【详解】(1)在翻折过程中总有平面平面，

证明如下：∵点，分别是边，的中点，

又，∴，且是等边三角形，

∵是的中点，∴，

∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，

∵，平面，平面，

∴平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

(2)由题意知，四边形为等腰梯形，

且，，，

所以等腰梯形的面积，

要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，

∴当平面时，点到平面的距离的最大值为.

假设符合题意的点存在．

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，又，

又，且，平面，平面，

平面，故平面的一个法向量为，

设（），

∵，

，故，

∴，，

平面的一个法向量为，

则，，

即

令，所以

，

则平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

则，即，解得：，

故符合题意的点存在且为线段的中点．

21．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影分别为点.若，其中为原点，为右顶点，为离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)连接，试探索当变化时，直线是否相交于一定点.若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由.

【答案】(1)

(2)是，定点，证明见解析

【分析】（1）由直线过椭圆右焦点可得的值，再利用离心率结合椭圆的性质即可得到椭圆方程；

（2）利用当时猜想定点坐标，当时，设，则，联立椭圆方程和，利用韦达定理证明三点共线和三点共线即可.

【详解】(1)椭圆的方程为，

过定点，由题意可得，

由，可得，

即，即，解得，

则，，

所以椭圆的方程为.

(2)当时，直线垂直于轴，可得四边形为矩形，

直线，所以直线，相交于点，猜想定点.

当时，分别设，由题意可得，

由，可得，

，，

由，，得，

又，

则，即，所以三点共线.

同理由得，

又，

则，即，所以三点共线.

综上，直线相交于一定点.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数．

(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．

(2)若，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）令换元得函数，然后通过导数求极值，根据与函数图象有三个交点可得；

（2）构造函数，通过导数研究在区间上的单调性，然后由单调性结合已知可证.

【详解】(1)令，则，记

令，得

当时，，时，，时，

所以当时，取得极大值，时，取得极大值，

因为函数有三个零点与有三个交点，

所以，即 a的取值范围为.

(2)记

记

则

记

则

易知在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增，所以

所以在区间上单调递增

因为，记

所以

由（1）可知，

所以，即

又，所以

因为，所以

由（1）知在区间上单调递增，所以，即

所以

【点睛】本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成或，本题由于采取了换元法转化问题，因此构造函数为.