2023届辽宁省辽阳市辽阳县第一高级中学高三上学期1月月考数学试题含解析

这是一份2023届辽宁省辽阳市辽阳县第一高级中学高三上学期1月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】由已知可得，，
因此，.
故选：B.
2．设复数，其中i是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中错误的是（ ）
A．B．
C．z是方程的一个根D．满足最小正整数n为3
【答案】B
【分析】A选项，得到的共轭复数，利用复数的乘法运算法则进行计算；
B选项，利用复数的乘方运算进行计算；
C选项，将代入方程进行验证；
D选项，由，计算出，得到结论.
【详解】，，A选项说法正确；
，故B说法错误；
因为，
所以z是方程的一个根，C选项说法正确；
因为，，，
所以满足最小正整数n为3，D说法正确.
故选：B
3．已知等差数列满足，数列满足，记数列的前n项和为，则使达到最大值的n值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据条件求出数列的通项公式，明确其是递减数列，由此判断的特征，据此求得答案.
【详解】等差数列满足,
即 ，解得 ，故 ，
则等差数列是递减数列，且 ，
故，
所以 , ，
,
而，故 ,
故使达到最大值的n值为7，
故选：C
4．若向量，，，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，利用平面向量的坐标运算可得方程组，求解即可.
【详解】设，
因为向量，，，
所以，
，解得，
所以，
故选：A.
5．甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边（两人可以不相邻），则不同的站法有（ ）
A．24种B．12种C．18种D．9种
【答案】B
【分析】由于四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等，从而可求出结果
【详解】四个同学站成随机一排，甲在乙的左边和乙在甲的左边的机会均等，
故站法一共有种．
故选：B
6．设，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可
【详解】因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
7．棱长为的正方体内切一球，该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】球内切于正方体，分析球的半径与正方体棱长的关系，求出球的半径则球的表面积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径为正方体棱长的一半，
所以球的半径为，
所以球的表面积为，
故选：A.
8．已知，函数，函数与函数的图像相交于，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】确定的对称中心，利用对称性求解即可
【详解】，故函数关于（0,1）中心对称
，故函数关于（0,1）中心对称，又函数与函数的图像相交于，则关于（0,1）对称，故=2
故选B
【点睛】本题考查函数的对称性，考查推理能力，准确判断两函数均关于（0,1）对称是关键，是中档题
二、多选题
9．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝＋mx(m∈R)，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，则m的值为（ ）
A．1B．－1C．3D．－3
【答案】BC
【分析】利用导数求出f(x)在(1，f(1))处的切线方程，设该切线与g(x)相切于P(，)，根据P的坐标满足切线方程和g(x)函数解析式，以及切线斜率等于切点处导数值即可列出方程组求解m.
【详解】易知f(1)＝0，＝，
从而得到＝1，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
设直线y＝x－1与g(x)＝＋mx(m∈R)的图象相切于点P(，)，
从而可得＝1，g()＝－1.
又(x)＝2x＋m，因此有，
得＝1，解得或.
故选：BC.
10．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC，P为线段AD上一个动点，设，，对于函数，下列四个结论正确的有（ ）
A．当时，函数的值域为
B．，都有成立
C．函数的最大值都等于4
D．，使得函数的最小值为负数
【答案】BCD
【分析】如图示，以B为原点，分别为x、y轴正方向,用坐标运算表示出.
对于A：当时，得到.直接对二次函数求值域；
对于B：用代入法验证即可；
对于C：求出对称轴.对a分类讨论分别求最值，即可判断；
对于D：讨论出当时，.
取时，有符合题意.
【详解】如图示，以B为原点，分别为x、y轴正方向.
所以，，，，所以,.因为，则.
所以,
.
所以
对于A：当时，.对称轴.
所以在单减，在上单增，所以.
而当x=0时，y=4， x=1时，y=1，所以函数的值域为.故A错误；
对于B：对于，因为，所以，都有成立.故B成立；
对于C：对于，对称轴.
当时，，所以在上单减，因此当x=0时，y=4最大；
当时，，所以在单减，在上单增，又当，所以.
综上所述：函数的最大值都等于4.故C正确.
对于D：对于，对称轴.
当时，，所以在上单减，因此当x=1时，y=1最小，不存在函数的最小值为负数；
当时，，所以在单减，在上单增，所以.
取时，有符合题意.
故D正确.
故选：BCD
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
11．如图，矩形中，分别为边的中点，将该矩形沿对角线折起，使平面平面，则以下结论正确的是（ ）
A．平面B．
C．D．三棱锥的体积为
【答案】ABD
【分析】对于A项，因为分别为边的中点，利用线面平行的判定定理知道平面，判断出A；对于B项，作，连接，利用面面垂直性质定理证得平面，然后结合勾股定理判断出B正确；对于C项，利用射影证得不垂直于，判断出C错误；对于D项，利用体积公式求解即可判断出D正确.
【详解】对于A项，因为分别为边的中点，所以平面，
平面，则平面，故A正确；
对于B项，作，连接，
因为平面平面，所以平面，
由勾股定理得，
则，
则勾股定理得.故B正确；
对于C项，因为不垂直于在平面内的射影为，
所以不垂直于，故C错误；
对于D项，
故D正确.
故选：ABD.
12．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】对于A选项，，
，则，，所以，，则，A选项中的不等式成立；
对于B选项，，，则，
所以，，B选项中的不等式成立；
对于C选项，，
若，则，，则，
此时，C选项中的不等式不成立；
对于D选项，，
，则，则，D选项中的不等式不成立.
故选：AB.
三、填空题
13．已知随机变量，且，其中，则 .
【答案】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.
【详解】由正态分布曲线的对称性可知：，
.
故答案为：.
14．有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射光线所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】求出点A关于直线的对称点，对称点在反射光线上，进而求出反射光线所在直线的方程.
【详解】设点A关于直线的对称点，则线段的中点为，
于是，即，所以，
于是，反射光线所在直线的方程为.
故答案为：.
15．在中，，以点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一焦点在边上，且这个椭圆过两点，则这个椭圆的焦距长为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，然后根据椭圆的定义结合条件即得.
【详解】设另一个焦点为，在中，，

所以，而，
所以，又，
所以，所以，即椭圆的焦距为.
故答案为：.
四、双空题
16．设函数的图象为曲线，直线与曲线相切于点，则 ；函数的解析式为 ．
【答案】 2
【分析】先根据直线过点求出的值，求出函数的导数，根据，建立方程，即可求解.
【详解】由函数的图象为曲线，直线与曲线相切于点．
所以直线过点，即，解得，
又由，则，即，
，所以，
所以函数的解析式为，
故答案为：2，
五、解答题
17．已知数列是单调递增的等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，前项和为
(2)
【分析】（1）根据等差中项的性质得到，再根据等差数列的通项公式得到方程，求出与，即可求出的通项公式及前项和；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题，∴，，又，即，
即，解得或，由数列单调递增可知，，
，；
（2）解：由（1）可知，所以①，
∴②，
①②得，
∴.
18．已知的内角的对边分别为.
(1)若，求；
(2)若，求的周长的范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求解即可（2）利用正弦定理,化简利用三角函数求范围即可.
【详解】（1）
(2)方法一:由正弦定理得，
所以
因为，所以
所以的周长的范围是
方法二：，
，当且仅当时，取“”号
所以的周长的范围是
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和差的正弦公式，均值不等式，属于中档题.
19．20名学生某次物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：
（1）求频率分布直方图中实数a的值；
（2）估计20名学生成绩的平均数；
（3）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩不都在中的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据频率分布直方图以及频率之和为1，列出方程求解即可得出结果；
（2）根据频率分别直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和即可得出结果；
（3）根据题意，分别求出成绩在，的人数，先利用组合的知识分别写出总的基本事件数和满足条件的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式可得结果.
【详解】（1）根据频率分布直方图，由频率之和为1可得，
，解得；
（2）根据频率分布直方图可得，20名学生成绩的平均数为：
；
（3）根据题意，可得的学生人数为：人，
其中成绩在的学生人数为人，
从这8人中任取2人，共有个基本事件，
其中都在中的有个基本事件，
不都在中的有个基本事件，
因此2人的成绩不都在中的概率为.
【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数和平均数，考查古典概型，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
20．如图1，在边长为2的正方形中，是边的中点．将沿折起使得平面平面，如图2，是折叠后的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）取中点，根据平行四边形性质可得，再根据线面平行判定定理得平面；
（2）根据两个平面的法向量求夹角余弦值即可.
【详解】（1）证明：如图所示：
取中点，连结，
∵为中点，∴ ，且，
， 且
∴ ，且
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）如图所示以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，
设平面的法向量为,
则 ，
令，则，
则平面的法向量为
同理可得：平面的法向量为，
则，
∴二面角的平面角的余弦值．
21．已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意求得，即可得解；
（2）①易知直线，的斜率均存在且不为， 设，的方程为，则的方程为，联立，消元，则，利用韦达定理求得，再根据弦长公式可求得，同理可求得的范围及，再根据整理即可得出答案；
②设直线的方程为，，联立，消元，根据求得的关系，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，易求得的坐标，即可求出，再根据，为线段的三等分点，可得，结合，可得两个等量关系，从而可得出结论.
【详解】（1）解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
（2）解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积



，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则 ，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，

，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线及球求双曲线的方程，还考查了直线与双曲线的位置关系及弦长，考查了双曲线中三角形的面积问题，考查了探究双曲线中直线的存在性问题，考查了学生的计算能力及数据分析能力，计算量很大，属于难题.
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，函数，且，，，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】（1）先求导，然后根据判别式及定义域来确定分类讨论的标准进行讨论；
（2）根据函数的单调性去掉绝对后，再对不等式变形，形成同构，再构造函数.
【详解】（1）依题意，，，则；
若，即时，；
若，即时，
令，即，故（舍去）；
当时，即时，，在单调递减，
当时，即时，
当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递减，当时，单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，
不妨设，则等价于，
考察函数，得，令，，
则时，，时，，所以在区间上是单调递增函数，在区间上是单调递减函数；
故，所以在上单调递减．
从而，即，故，
所以，即恒成立，
设，则在上恒为单调递减函数，
从而恒成立，故，
故，即实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：对于含有参数的单调的性的讨论一是要找到分类的标准，二是要结合定义域；第（2）问的关键将不等式转化为同构式后再构造函数来处理.