2024届湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

这是一份2024届湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学高三上学期第二次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据交集的定义计算．
【详解】∵，，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2．若函数的图象经过，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.
【详解】解：因为函数的图象经过，
所以，解得 ，
所以，
则，
故选：B
3．若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【详解】解：若，所以，
则，
故选：．
4．“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和定义域判断充分性和必要性即可.
【详解】可得，则，但是当时，，有可能小于零，此时不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．设则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指对数性质比较各数的大小关系.
【详解】由，则，
由，故.
故选：D
6．已知曲线C1：，C2：，则错误的是（ ）
A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动个单位长度，得到曲线
C．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线
D．把向左平行移动个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线
【答案】D
【分析】利用函数的图象变换规律对各个选项进行检验即可.
【详解】对于A. 上各点横坐标缩短到原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，正确；
对于B. 上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，正确；
对于C. 向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，正确；
对于D. 向左平移个单位长度，得到，再把各点横坐标缩短到原来的倍，得到，错误.
故选：D
7．已知函数的定义域为，且既是奇函数又是增函数，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，然后根据条件可得，不等式等价于，即可解出答案.
【详解】令，因为既是奇函数又是增函数，，
所以，所以
所以不等式等价于，所以，即
故选：D
8．英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
【答案】B
【分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
【答案】AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
10．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
11．已知函数，则（ ）
A．是周期为的周期函数
B．的值域是
C．将的图象向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象
D．在上单调递增
【答案】AC
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项的正误，利用余弦型函数的值域可判断B选项的正误，利用三角函数图象变换可判断C选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
.
对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，函数的值域为，B选项错误；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，该函数为奇函数，C选项正确；
对于D选项，当时，，故函数在区间上单调递减，D选项错误.
故选：AC.
12．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，设函数（其中），则下列说法正确的是（ ）
A．函数关于点中心对称
B．函数是以4为周期的周期函数
C．当时，函数恰有2个不同的零点
D．当时，函数恰有3个不同的零点
【答案】BCD
【分析】利用递推关系得，结合奇函数性质易得，即可判断A、B；对于的零点，转化为研究与的交点，数形结合法判断零点的个数即可判断C、D.
【详解】由，即，则关于对称，A错；
又是定义在上的奇函数，则，
而，则，故，
所以，即是以4为周期的周期函数，B对；
当，对于的零点，只需研究与的交点，
若，则，
显然，，且在上递增，上递减，
结合对称轴、周期性、奇函数，的图象及部分图象如下：

由图知：与有且仅有2个交点，即恰有2个不同的零点，C对；
若，则，如下图示，

由图知：与有且仅有3个交点，即恰有3个不同的零点，D对；
故选：BCD
三、填空题
13．已知函数则 ．
【答案】1
【分析】运用代入法直接进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
14．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据存在性命题为真命题，将其转化为有解问题，通过分离参数后，再转化为最值问题.
【详解】因为命题“，”为真命题
则，有解，
设，则，
当时，单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
15．设函数，若在上有且仅有个零点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件列出不等式即可求得的范围，即可得到结果.
【详解】，，，
在上有且仅有个零点，
，解得．
故答案为：.
16．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数新定义及的单调性质，存在，使得，应用换元法，问题化为二次函数在上有两个零点，进而求参数范围.
【详解】由函数单调递增，且函数存在“倍值区间”，
存在，使得，
设,则，且，所以，
因此二次函数在上有两个零点，且，
则，解得，
故答案为：.
四、解答题
17．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】根据正切二倍角公式求得第一小问，第二小问中分子分母同除以，转化为只含的式子，再带入求值.
【详解】（1），， .
（2）由，可得.
18．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若存在实数，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可.
（2）首先利用根据题意得到，利用单调性定义得到是上的减函数，再利用单调性求解即可.
【详解】（1）因为定义域为，
又因为为奇函数，所以，即，得
当时，， 所以，所以
（2）可化为，
因为是奇函数，所以
又由（1）知，
设，且，则，
因为，所以，，，
所以，即故是上的减函数，
所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，
所以，解得.所以的取值范围为
19．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；
（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.
【详解】（1）由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面∥平面，平面，平面；
（2）
平面平面，平面平面，平面，则平面，
又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，
的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：
，则，
设平面的法向量为，则，取得，
又易得平面的一个法向量为，则，
又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.
20．已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+2＝2an，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn，设数列{bn}的前项和为Tn，若Tn，求n的最小值.
【答案】（1）an＝2n（2）10
【分析】（1）由数列{an}的前n项和与项满足Sn+2＝2an，n∈N*.消掉Sn可得数列{an}是等比数列，进而求数列{an}的通项公式.
（2）由（1）得数列{bn}的通项公式，裂项求和算出Tn＝1，再由Tn，解整数不等式可求n的最小值.
【详解】（1）当n＝1时，S1+2＝2a1，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1+2＝2an﹣1，∴Sn+2﹣（Sn﹣1+2）＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1
∴2，则{an}是以2为首项，2为公比的等比数列.
故an＝2n.
（2）由（1）可得bn
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝（1）+（）+…+（）＝1，
又Tn，即1，
∴2n+1＞2021，由于n∈N，∴n≥10，
故n的最小值为10.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解及裂项求和，由求注意使用公式，数列求和时一般根据数列通项公式的特点选择合适的方法进行求解.
21．已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点带入椭圆方程，结合椭圆的定义计算即可；
（2）设直线方程为及M、N点坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及计算可得值，再由等面积法转化得，最后整体换元由对勾函数求最值即可.
【详解】（1）根据题意可得解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
由(1)得，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，
，,
，
，
因为以为直径的圆过点A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
当时，，且，点A到MN的距离为，
所以，
化简得，
令，则，
，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
即时取得最小值，此时.
22．已知函数.
(1)若在上是增函数，求实数的取值范围;
(2)若，求证:.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）通过在上是增函数可得到在上恒成立，再通过导数求解的最小值即可得到答案；
（2）先利用零点存在定理证明存在，使得，然后得到，再结合基本不等式即可得到答案
【详解】（1），
在上是增函数，在上恒成立，可得在上恒成立.
令，则，
当时，在上是增函数，，
，解得或，
即实数的取值范围是；
（2），令，则，
在上单调递增，
因为，，所以存在时，，
存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
当且仅当即时等号成立，
当，
【点睛】涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.