2024届山东省济宁市邹城市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省济宁市邹城市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求集合A，再由包含关系确定集合B的个数.
【详解】由，又，
故可以为，共4种.
故选：D
2．函数的导数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复合函数进行求导，即可得到答案；
【详解】，令，则，
从而 .
故选：D.
3．函数的图像大致是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】 ,所以舍去A,C;,所以
即函数在 上存在减区间,因此舍去D,选B.
4．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小．利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到正多边形的边长，通过二者周长相等近似估计圆周率.
【详解】设圆的半径为，正多边形的圆心角为，边长为，
所以，即，
故选：A.
5．将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】函数经伸长变换得，再作平移变换得，故选B．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
6．已知，若，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得或，
即命题为真命题时，构成集合或，
又由，根据指数函数的图象与性质，可得，
即命题为真命题时，构成集合
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．设，若不等式 在时恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C． D．
【答案】A
【分析】根据原函数与反函数关于 对称构造函数，再根据所构造的函数的单调性求解.
【详解】对于 ，即 ，因为 是 的反函数，
所以 与 关于 对称，原问题等价于 对一切 恒成立，即 ；
令 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
， ；
故选：A.
8．设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（ ）．
A．1348B．1347C．1346D．1345
【答案】B
【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.
【详解】在上满足，，
关于直线和直线对称，
，，
，
，所以的周期为6，
又在闭区间上只有，则，，
且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，
则在闭区间上只有，
同理可推得在也只有两个零点，
因为，则在共有个零点，
因为，且在的图象与的图象相同，
则在上有个零点，
则方程在闭区间上的根的个数为1347个.
故选：B.
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
二、多选题
9．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据的最小正周期可判断A；根据，确定，结合正弦函数单调性可判断B；根据时，，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.
【详解】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：
对于选项B，函数 的最小正周期为，
当，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；
对于C，函数最小正周期为，
当时，，因为在上单调道减，
所以在上单调递减，故选项C错误
对于选项D，作出函数的大致图像如图：
函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确
故选：BD
10．下列函数的定义域均为，则最小值是4的函数有（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】结合基本不等式即可求解
【详解】因为定义域均为，
对于A，，当且仅当即时等号成立；A正确；
对于B，，，
即，当且仅当即时等号成立；则等号取不了，B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立；则等号取不了，C错误；
对于D，，当且仅当即时等号成立；D正确；
故选：AD
11．设函数，则下列命题正确的是（ ）．
A．是偶函数B．值域为
C．存在，使得D．与具有相同的单调区间
【答案】BC
【分析】根据特殊值判断奇偶性可判断A，求出值域判断B，取出特殊值可判断C，由两函数在上单调性判断D.
【详解】根据可知，，故函数不是偶函数，故A错误；
因为时， ，时，，故值域为，故B正确；
时，有解，如，故C正确；
因为，所以在上单调递减，而在上不单调，故D错误.
故选：BC
12．设函数，则（ ）
A．B．的最大值为
C．在单调递增D．在单调递减
【答案】AD
【解析】先证明为周期函数，周期为，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误，结合导数的符号可判断C D的正误．
【详解】的定义域为，且，
，故A正确．
又，令，
则，
其中，
故即，故，
当时，有，此时即，
故，故B错误．
，
当时，，故在为减函数，故D正确．
当时，，故，
因为为增函数且，而在为增函数，
所以在上为增函数，
故在有唯一解，
故当时，即，故在为减函数，故C不正确．
故选：AD
【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．
三、填空题
13．已知且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，结合，代入即可求解.
【详解】由，可得，即
因为，可得，
又由.
故答案为：.
14．是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据条件确定导数的符号，得到的单调性，利用单调性解不等式.
【详解】令，则，
故函数在上单调递减，
又为奇函数，所以，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
15．已知函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】依题意， 在上有且仅有一个变号零点，令 ，由对勾函数的图象及性质即可求得实数a的取值范围.
【详解】 ，依题意， 在上有且仅有一个变号零点，
令 ，则 ，令 ，
由对勾函数的性质可知，函数 在上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 ， ，
再结合在 上的图像可得a的取值范围为 .
故答案为： .
四、双空题
16．自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长 m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于 m
【答案】
【分析】在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.
【详解】如图所示，
在中，，
在中，，
所以，，
令，，
则，
令，，则，
联立（）可得：，，
所以，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
即：EF的长度不能低于.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知函数．
(1)若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小值是，最大值是；
(2)．
【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值.
（2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）的定义域为，，，则，
解得，
故，令，即，
解得或，
故在上的最小值是，最大值是；
（2）在区间上恒成立，故，
设，当时，是增函数，其最小值为，
故，即实数的取值范围为．
18．已知函数（其中，，均为常数，，，）．在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
(1)求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；
(2)已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值．
【答案】(1)，单调递增区间为，.
(2)，
【分析】（1）依题意可得，即可求出，，再读出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质求出单调递增区间；
（2）首先得到的解析式并利用诱导公式化简，再令、分别求出相应的取值，依题意不妨令，求出的最值，即可得解.
【详解】（1）依题意，解得，又，
所以，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
令，则，，解得，，
令，则或，，
解得或，，
因为当函数的定义域为（）时，其值域为，
不妨令，则，此时，，此时.
19．已知函数（），其中为自然对数的底数，.
（1）判断函数的单调性，并说明理由；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）．
【详解】（1）由题可知，，则
（ⅰ）当时，，函数为上的减函数
（ⅱ）当时，令，得，
①若，则，此时函数为单调递减函数；
②若，则，此时函数为单调递增函数．
（2）由题意，问题等价于，不等式恒成立，
即，恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．
由，显然在上单调递减．
令，，则时，
所以在上也是单调递减函数，所以函数在上单调递减，
所以函数在的最大值为，
故，恒成立时实数的取值范围为
20．已知函数．
(1)化简函数；
(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由二倍角公式、诱导公式、平方关系化简可得；
（2）利用正弦函数性质求得函数的单调增区间，然后利用集合的包含关系得出不等关系后可得参数范围．
【详解】（1）；
（2）∵，
由得：，
∴的递增区间为，
∵在上是增函数，∴当时，，
∴解得的取值范围是
21．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．
【详解】（1）解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
．
即，
因为当，函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，
所以的取值范围是．
（2）解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
22．已知函数.
(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若，证明： ，总有.
【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)见解析.
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，若函数存在单调递减区间,则导函数存在小于0的取值区间，不等式变形后，问题转化为存在取值区间，求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为证对∀x∈恒成立，构造辅助函数g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[−1，]，求导，利用函数单调性证明；构造辅助函数h(x)＝，求导，根据函数单调性证明；并且g（x）和h（x）不能同时取等号，即可证明不等式，恒成立.故原不等式恒成立.
【详解】(Ⅰ)由题意得，
若函数存在单调减区间，则．
即存在取值区间，即存在取值区间，
所以.
(Ⅱ)当时，
由有，从而，
要证原不等式成立，只要证对恒成立
即证明对恒成立
首先令，由，可知，
当时单调递增，当时单调递减，
所以，有
构造函数，，
因为，
可见，在时，，即在上是减函数，
在时，，即在上是增函数，
所以,在上，，所以.
所以，，等号成立当且仅当时，
综上：，由于取等条件不同，
故，所以原不等式成立.
【点睛】本题综合考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，构造合适的函数是解决恒成立问题的关键. 过程繁琐，属于难题
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极小值
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