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    2024届山东省临沂市沂水县第四中学高三上学期10月月考数学试题含解析

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    这是一份2024届山东省临沂市沂水县第四中学高三上学期10月月考数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知集合,集合,则图中阴影部分表示的集合是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式,由此得解.
    【详解】依题意,由补集的韦恩图表示知,图中阴影部分表示的集合是,
    因集合,集合,则有,
    所以图中阴影部分表示的集合是.
    故选:C
    2.设命题p:关于x的不等式对一切恒成立,命题q:对数函数在上单调递减,那么p是q的( )
    A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【分析】p为真,利用判别式小于0求解a的范围;q为真时,由对数函数的单调性求解a的范围,然后利用充分必要条件的判定得答案.
    【详解】关于x的不等式对一切恒成立,
    则,即,
    ∴p为真:;
    对数函数在上单调递减,
    则,即.
    ∴q为真:.
    ∵
    ∴p是q的必要不充分条件.
    故选:C.
    3.关于x的不等式的解集是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】结合对数函数的单调性和定义域解不等式即可求解.
    【详解】因为为减函数,所以,
    解得.
    故选:C
    4.设,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】根据已知条件构造函数,,再利用导数法研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可求解.
    【详解】令,
    所以在上恒成立,
    所以在上单调递增,
    又,所以
    所以,即,所以.
    令,所以在上恒成立,
    所以在上单调递增,
    所以,
    所以,即,所以,
    综上,.
    故选:D.
    【点睛】解决此题的关键是构造函数,,然后利用导函数研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可.
    5.将函数的图象向右平移个单位长度,所得函数
    A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减
    C.以为一条对称轴D.以为一个对称中心
    【答案】B
    【解析】由三角函数的图像平移得出解析式,然后再根据函数的图像性质对选项进行逐一判断,即可得出答案.
    【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,可得

    由,得,
    ∴单调递增区间为,故A错误;
    由,得
    当时,函数在上单调递减. 故B正确
    由,得对称轴为,故C错误;
    由,得,对称中心为,故D错误.
    故选:B
    【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式,进一步研究函数的单调性和对称性,属于中档题.
    6.函数的图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】由函数定义域,函数奇偶性,以及特殊点的函数值可确定函数的图像.
    【详解】由函数解析式可知函数定义域关于原点对称,且是偶函数,函数图像关于y轴对称,可排除A,函数为偶函数,且,在 取特值 可排除选项BC.
    故选:D.
    7.垃圾分类,一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而变成公共资源的一系列活动的总称.已知某种垃圾的分解率ν与时间t(月)满足函数关系式(其中a,b为非零常数).若经过6个月,这种垃圾的分解率为5%,经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,那么这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过( )(参考数据)
    A.20个月B.40个月C.28个月D.32个月
    【答案】D
    【分析】根据题意先确定的值,令,求得时间t.
    【详解】依题意,解得,
    故.
    令,得,即,
    则.
    即这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过32个月.
    故选:D.
    8.若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是( )
    A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1)
    【答案】C
    【详解】由题意可知,在上恒成立,即在上恒成立,由于,所以,故C为正确答案.
    二、多选题
    9.函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是( )
    A.B.C.D.
    【答案】BD
    【分析】根据函数恰有3个单调区间,可得导函数有两个不同的零点,从而可得,求出的范围,再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
    【详解】,
    因为函数恰有3个单调区间,
    所以函数有两个不同的零点,
    所以,解得且,
    所以,
    则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项.
    故选:BD.
    10.已知实数x,y满足(0A.B.C.D.
    【答案】AC
    【分析】先根据题干条件,得出,再进行判断,BD选项可以通过举出反例进行证明,AC选项可以通过函数的单调性进行证明.
    【详解】因为,所以是单调递减函数,因为,所以,而是定义在R上单调递增函数,故,A正确;当,时,满足,此时,故B错误;因为,所以,所以,C正确;当,时,,,所以,D错误.
    故选:AC
    11.函数的图象在上恰有两个最大值点,则可能为( )
    A.2πB.C.3πD.
    【答案】BC
    【分析】根据的取值范围,求出的取值范围,再根据正弦函数的性质计算可得.
    【详解】解:函数,
    ,.
    又函数在上恰有两个最大值点,
    ,解得.
    故选:BC.
    12.已知定义在上的偶函数满足,且当时,是减函数,则下列四个命题中正确的是( )
    A.
    B.直线为函数图象的一条对称轴
    C.函数在区间上存在2个零点
    D.若在区间上的根为,则
    【答案】ABD
    【分析】利用赋值法及偶函数的定义,结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.
    【详解】令,得,则,又函数是偶函数,故,故A正确;
    根据A可得,所以,又,所以,故直线是函数图象的一条对称轴,故B正确;
    由的周期为4,,且当时,是减函数,可得函数在区间上存在3个零点,故C不正确;易得函数的图象关于直线对称,故,即,故D正确.
    故选:ABD.
    三、填空题
    13.已知函数是定义在上的奇函数,则 .
    【答案】
    【分析】根据,求得参数值,再进行检验即可.
    【详解】根据题意,,解得;
    当时,,其定义域为,
    且,满足为奇函数,故.
    故答案为:.
    14.计算: .
    【答案】8
    【分析】根据指数、对数的运算性质进行计算即可.
    【详解】
    故答案为:8.
    15.已知函数,且对任意恒成立,若角的终边经过点,则 .
    【答案】3
    【分析】由辅助角公式得表达式,后可得答案.
    【详解】,其中,.
    则,
    则,则.
    故答案为:3
    16.已知函数,若存在实数b,使函数恰有三个零点,则a的取值范围是 .
    【答案】
    【解析】设函数,求得,求得函数的单调性和极值,画出函数的图象,结合图象分类讨论,即可求解.
    【详解】设函数,,则,令得:,
    当时,,函数单调递增;
    当时,,函数单调递减,
    又,故画出函数的图象,如图所示:
    因为存在实数b,使函数恰有三个零点,
    所以存在实数b,使方程有三个实数根,
    所以存在实数b,使函数与的图象有3个交点,
    因为函数,结合函数的图象和函数单调递减,所以,
    ①当时,函数的图象如图所示:
    显然存在实数b,使函数与的图象有3个交点,符合题意,
    ②当时,函数的图象如图所示:
    要存在实数b,使函数与的图象有3个交点,则,解得,
    所以,
    综上所述,a的取值范围是:,
    故答案为:.
    【点睛】有关函数零点的判定方法及策略:
    (1)直接法:令,有几个解,函数就有几个零点;
    (2)零点的存在定理法:要求函数在区间上连续不断的曲线,且,再结合函数的图象与性质确定零点的个数;
    (3)图象法:利用图象交点的个数,作出两函数的图象,观察其交点的个数,得出函数的零点个数.
    四、解答题
    17.已知集合,函数的定义域为.
    (1)若求集合;
    (2)若,求实数的值.
    【答案】(1);(2).
    【分析】(1)对数的真数大于零;(2)按与的大小分类讨论求解.
    【详解】(Ⅰ)由,得,
    故集合;
    (Ⅱ)由题可知,
    ①若,即时,,
    又因为,所以,无解;
    ②若时,显然不合题意;
    ③若,即时,,
    又因为,所以,解得.
    综上所述,.
    【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法:1、分母不为零;2、对数的真数大于零;3、偶次方根的被开方方数大于或等于零;4、零次幂的底数不等于零;5、中.
    18.在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,的内角,,的对边分别为,,,设,若__________,是否存在使得存在最大值?
    【答案】当时,取得取大值为
    【分析】若选择①,利用正弦定理化角为边可得,利用余弦定理可得,化简,结合,可得解;
    若选择②,化切为弦,化简可得,,后续同①.
    【详解】的内角,,的对边分别为,,,
    若选择①:

    则,
    即,
    由正弦定理可得,
    ∴,
    ∵,∴.
    由,

    已知,所以,
    所以,∴,
    ∴,当,
    即时,取得取大值为.
    若选择②:
    ∵,
    ∴,
    ∴,∴.
    在三角形中,,
    ∴,,所以,
    所以,∴,
    ∴,
    当,
    即时,取得最大值为.
    19.小张于年初支出万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出万元,假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第年年底出售,其销售收入为万元(国家规定大货车的报废年限为10年).
    (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
    (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大?
    (利润=累积收入+销售收入-总支出)
    【答案】(1)第三年;(2)第5年.
    【解析】(1)求出第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差,令其大于0,即可得到结论;
    (2)利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出,可得平均利润,利用基本不等式,可得结论.
    【详解】(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,
    则y=25x﹣[6x+x(x﹣1)]﹣50=﹣x2+20x﹣50(0<x≤10,x∈N)
    由﹣x2+20x﹣50>0,可得10﹣5<x<10+5,
    ∵2<10﹣5<3,故从第3年,该车运输累计收入超过总支出;
    (2)∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出,∴二手车出售后,
    小张的年平均利润为=19﹣(x+)≤19﹣10=9,当且仅当x=5时,等号成立,
    ∴小张应当在第5年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大.
    【点睛】思路点睛:
    首先构建函数的模型一元二次函数,再解一元二次不等式,再利用基本不等式求最值.
    20.在中,,,的对边分别为,,,且.
    (1)求角的大小;
    (2)如果,求的面积的最大值.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)由,利用正弦定理可得求解.
    (2)由,利用余弦定理结合基本不等式得到,再利用三角形面积公式求解.
    【详解】(1)因为,
    由正弦定理得:,
    即.
    又∵,
    ∴.
    (2)因为,
    由余弦定理得,
    而,当时取等号,
    所以,
    所以.
    21.已知函数,,
    (1)求的单调递减区间;
    (2)求在闭区间上的最大值和最小值;
    (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,求函数在上所有零点之和.
    【答案】(1)
    (2)最小值为,最大值为
    (3)
    【分析】(1)先将函数化简成一个三角函数,再根据单调区间公式求得即可;
    (2)先由求出整体角的取值范围,再求得的最大值和最小值;
    (3)先根据图形变换求出,在求其零点得出结果.
    【详解】(1)函数
    .

    解得,
    所以函数的单调递减区间为,
    (2)由(1)得,
    由于,所以,
    所以,故,
    当时,函数的取最小值,最小值为,
    当时,函数的取最大值,最大值为.
    (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,
    令,,即,
    整理得,即或,
    当时,或,即,;
    当时,,;
    当时,;
    故所有零点之和为.
    22.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,求证:.
    【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;在上单调递增;(2)证明见解析.
    【分析】(1)求得后,分别在和两种情况下判断导函数的符号,从而得到原函数的单调性;(2)将所证问题变为证明:;令,,利用导数分别求出和,因为最值取得的点不同,可证得,继而得到结论.
    【详解】(1)函数的定义域为,
    当时,,则函数在上单调递增;
    当时,由得:
    当时,;当时,
    在上单调递减;在上单调递增
    综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;在上单调递增
    (2)要证,即证,即证:
    设,则
    当时,;当时,
    在上单调递减,在上单调递增
    是的极小值点,也是最小值点
    令,则
    当时,;当时,
    在上单调递增,在上单调递减
    是的极大值点,也是最大值点 ,
    当时,
    前后取等号的条件不一致
    综上所述:当时,
    【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题,涉及到讨论含参数函数的单调性,证明不等式的问题.本题中证明不等式的关键是将问题转变为两个函数之间最值的比较,易错点是忽略最值取得点的不同,从而导致证明错误.
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