2024届山东省临沂市沂水县第四中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省临沂市沂水县第四中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解.
【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，
因集合，集合，则有，
所以图中阴影部分表示的集合是.
故选：C
2．设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】p为真，利用判别式小于0求解a的范围；q为真时，由对数函数的单调性求解a的范围，然后利用充分必要条件的判定得答案.
【详解】关于x的不等式对一切恒成立，
则，即，
∴p为真：；
对数函数在上单调递减，
则，即.
∴q为真：.
∵
∴p是q的必要不充分条件.
故选：C.
3．关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合对数函数的单调性和定义域解不等式即可求解.
【详解】因为为减函数，所以，
解得.
故选：C
4．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以
所以，即，所以.
令，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，所以，
综上，.
故选：D.
【点睛】解决此题的关键是构造函数，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.
5．将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．以为一条对称轴D．以为一个对称中心
【答案】B
【解析】由三角函数的图像平移得出解析式，然后再根据函数的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,可得
，
由，得，
∴单调递增区间为，故A错误；
由，得
当时，函数在上单调递减. 故B正确
由，得对称轴为，故C错误；
由，得，对称中心为，故D错误.
故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义域，函数奇偶性，以及特殊点的函数值可确定函数的图像.
【详解】由函数解析式可知函数定义域关于原点对称，且是偶函数，函数图像关于y轴对称，可排除A,函数为偶函数，且，在 取特值 可排除选项BC.
故选：D.
7．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据）
A．20个月B．40个月C．28个月D．32个月
【答案】D
【分析】根据题意先确定的值，令，求得时间t.
【详解】依题意，解得，
故.
令，得，即，
则.
即这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过32个月.
故选：D.
8．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）B．（-1，+∞）C．（-∞，-1]D．（-∞，-1）
【答案】C
【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．
二、多选题
9．函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数恰有3个单调区间，可得导函数有两个不同的零点，从而可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】，
因为函数恰有3个单调区间，
所以函数有两个不同的零点，
所以，解得且，
所以，
则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项.
故选：BD.
10．已知实数x，y满足（0A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先根据题干条件，得出，再进行判断，BD选项可以通过举出反例进行证明，AC选项可以通过函数的单调性进行证明.
【详解】因为，所以是单调递减函数，因为，所以，而是定义在R上单调递增函数，故，A正确；当，时，满足，此时，故B错误；因为，所以，所以，C正确；当，时，，，所以，D错误.
故选：AC
11．函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（ ）
A．2πB．C．3πD．
【答案】BC
【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：函数，
，．
又函数在上恰有两个最大值点，
，解得．
故选：BC．
12．已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在2个零点
D．若在区间上的根为，则
【答案】ABD
【分析】利用赋值法及偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.
【详解】令，得，则，又函数是偶函数，故，故A正确；
根据A可得，所以，又，所以，故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
由的周期为4，，且当时，是减函数，可得函数在区间上存在3个零点，故C不正确；易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
13．已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据，求得参数值，再进行检验即可.
【详解】根据题意，，解得；
当时，，其定义域为，
且，满足为奇函数，故.
故答案为：.
14．计算： .
【答案】8
【分析】根据指数、对数的运算性质进行计算即可.
【详解】
故答案为：8．
15．已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则 .
【答案】3
【分析】由辅助角公式得表达式，后可得答案.
【详解】，其中，.
则，
则，则.
故答案为：3
16．已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】设函数，求得，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解.
【详解】设函数，，则，令得：，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
又，故画出函数的图象，如图所示：
因为存在实数b，使函数恰有三个零点，
所以存在实数b，使方程有三个实数根，
所以存在实数b，使函数与的图象有3个交点，
因为函数，结合函数的图象和函数单调递减，所以，
①当时，函数的图象如图所示：
显然存在实数b，使函数与的图象有3个交点，符合题意，
②当时，函数的图象如图所示：
要存在实数b，使函数与的图象有3个交点，则，解得，
所以，
综上所述，a的取值范围是：，
故答案为：.
【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：
（1）直接法：令，有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点的存在定理法：要求函数在区间上连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；
（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数的零点个数.
四、解答题
17．已知集合，函数的定义域为．
（1）若求集合；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按与的大小分类讨论求解.
【详解】（Ⅰ）由，得，
故集合；
（Ⅱ）由题可知，
①若，即时，，
又因为，所以，无解；
②若时，显然不合题意；
③若，即时，，
又因为，所以，解得．
综上所述，．
【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.
18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，的内角，，的对边分别为，，，设，若__________，是否存在使得存在最大值？
【答案】当时，取得取大值为
【分析】若选择①，利用正弦定理化角为边可得，利用余弦定理可得，化简，结合，可得解；
若选择②，化切为弦，化简可得，，后续同①.
【详解】的内角，，的对边分别为，，，
若选择①:
，
则，
即，
由正弦定理可得，
∴，
∵，∴.
由，
，
已知，所以，
所以，∴，
∴，当，
即时，取得取大值为.
若选择②：
∵，
∴，
∴，∴.
在三角形中，，
∴，，所以，
所以，∴，
∴，
当，
即时，取得最大值为.
19．小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
【答案】（1）第三年；（2）第5年.
【解析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；
（2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
【详解】（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，
∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，
小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，当且仅当x＝5时，等号成立，
∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
【点睛】思路点睛：
首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.
20．在中，，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）如果，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，利用正弦定理可得求解．
（2）由，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
即．
又∵，
∴．
（2）因为，
由余弦定理得，
而，当时取等号，
所以，
所以.
21．已知函数，，
(1)求的单调递减区间；
(2)求在闭区间上的最大值和最小值；
(3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
(3)
【分析】（1）先将函数化简成一个三角函数，再根据单调区间公式求得即可；
（2）先由求出整体角的取值范围，再求得的最大值和最小值；
（3）先根据图形变换求出，在求其零点得出结果.
【详解】（1）函数
.
令
解得，
所以函数的单调递减区间为，
（2）由（1）得，
由于，所以，
所以，故，
当时，函数的取最小值，最小值为，
当时，函数的取最大值，最大值为.
（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
令，，即，
整理得，即或，
当时，或，即，；
当时，，；
当时，；
故所有零点之和为．
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得后，分别在和两种情况下判断导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将所证问题变为证明：；令，，利用导数分别求出和，因为最值取得的点不同，可证得，继而得到结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，由得：
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增
（2）要证，即证，即证：
设，则
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
是的极小值点，也是最小值点
令，则
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减
是的极大值点，也是最大值点 ，
当时，
前后取等号的条件不一致
综上所述：当时，
【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性，证明不等式的问题.本题中证明不等式的关键是将问题转变为两个函数之间最值的比较，易错点是忽略最值取得点的不同，从而导致证明错误.