2023届山东省济宁市邹城市高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届山东省济宁市邹城市高三上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式得到集合，然后求补集和交集即可.
【详解】由题意得，，所以.
故选：A.
2．已知复数的实部与虚部的和为3，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的运算得出：，根据题干条件求出，再利用共轭复数的概念即可求解.
【详解】因为，又复数的实部与虚部的和为3，
所以，解得：，所以，
由共轭复数的概念可得：，
故选：B.
3．已知都是单位向量，其夹角为，若向量，则（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据数量积及其运算律求出，即可得到.
【详解】，所以.
故选：C.
4．要得到函数的图像，只需将函数的图像
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据左加右减得到结果.
【详解】因为
故只需要将 的图像向左平移个单位，
故答案为D.
【点睛】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.
5．在长方体中，直线与平面的交点为，与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线
B．四点共面
C．为线段的四等分点
D．线段的中点在平面上
【答案】C
【分析】根据点在线上，线在面上证明.
【详解】连接，如图，因为，所以四点共面，
因为所以平面，又平面，所以点在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上，所以三点共线，故A正确.
由直线与平面的交点为，所以点，由A选项得点四点共面，所以点平面，由A选项得点也在平面，所以四点共面，故B正确.
在矩形中，点是的中点，并且
所以,即点为线段的三等分点，根据对称性得为线段的三等分点，故为线段的三等分点，所以C不正确.
连接则面，再连接，
则平面易得为的中点，而四边形是矩形，直线是其两条对角线，则的中点也是的中点，即为的中点，又由C可得为线段的三等分点，所以也为的中点，故D正确.
故选：C
6．设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．数列的前和为
【答案】C
【分析】根据题意求出通项公式即可进一步得解.
【详解】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 ,
由 ,
可得 ,
解得 2 ,
则 ,
故选项A正确;
由得，
, 11,
，
故选项B正确；
=n=,
故选项C错误；
由 可得 ,
即数列 的前 项 和 为 .故选项D正确.
故选：C.
7．已知函数，若，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，结合的单调性解不等式即可.
【详解】定义域为，且，
所以不等式即，
又因为在上单调递增，
所以，解得.
故选：B.
8．设半径为的球面上有四点，且两两垂直，若，则球半径的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】设，由两两垂直得，由结合均值不等式即可求的最小值.
【详解】设，两两垂直，∴，
，当且仅当a=b=c等号成立即.
故选：A
二、多选题
9．若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】通过取特殊值的方法验证A、C选项的正误，通过指对函数的单调性验证B、D选项的正误即可得出答案.
【详解】对于A选项，当，时，，故A选项错误；
对于B选项，已知在上单调递增，，，故B选项正确；
对于C选项，当时，，故C选项错误；
对于D选项，，，即，故D选项正确.
故选：BD
10．已知函数，则（ ）
A．函数有两个极值点
B．函数有三个零点
C．若，则是偶函数
D．点是函数的对称中心
【答案】ABC
【分析】A选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况；
B选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况；
C选项：根据奇偶性的定义判断即可；
D选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.
【详解】A选项：，当或时，，当时，，所以在，上单调递增，上单调递减，所以有两个极值点，故A正确；
B选项：结合A中函数单调性，又，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，所以函数有三个零点，故B正确；
C选项：，定义域为R，关于原点对称，且，所以为偶函数，故C正确；
D选项：，所以关于对称，根据的单调性可知，只有一个对称中心，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称中心是，故D错.
故选：ABC.
11．已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的图象和性质逐项判断即可.
【详解】对于A，因为为的一个极值点，所以当时，取到最大值或最小值，
所以，所以，
即 ，所以，
又因为，所以，因为，所以，
所以，故选项A正确；
对于B，因为，所以，，故B选项正确；
对于C，因为，
所以，
可知不是偶函数，故选项C错误；
对于D，因为，令，解得，所以的图象关于点对称，
当时，的图象关于点对称，故选项D正确.
故选：ABD.
12．已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则（ ）
A．B．为偶函数
C．为周期函数D．为偶函数
【答案】AC
【分析】A选项：根据为偶函数得到，再结合得到，令，即可得到；
C选项：根据得到，即可得到的周期是4；
B选项：根据得到，再结合周期性即可得到，为奇函数；
D选项：根据为奇函数和的周期是4即可得到为奇函数.
【详解】因为为偶函数，所以，又，所以，令，得，所以，故A正确；
因为，所以，，所以的周期是4，又，所以，所以为奇函数，故B错，C正确；
因为为奇函数，且的周期是4，所以是的对称中心，，为奇函数，故D错.
故选：AC.
三、填空题
13．已知函数在点处切线的斜率是3，则实数__________.
【答案】
【分析】函数在1处的导数即斜率，可得a的值.
【详解】，因为在点处切线的斜率为3，
所以，得.
故答案为：.
14．在中，若，则的面积是__________.
【答案】
【分析】由余弦定理得，由平方关系得，即可由面积公式求值.
【详解】由得，则，，
故的面积为.
故答案为：
15．若，且，则__________.
【答案】
【分析】由及诱导公式得，联立同角平方关系即可求解.
【详解】，，，
联立得.
故答案为：
16．已知函数，若在其定义域内总有成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】将转化为，构造，由的单调性，将问题转化为，求出的最大值，即可求出a的取值范围.
【详解】由题，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，因为为增函数，
所以，即在上恒成立，
设，，
因为，所以时，，单调递增，
时，，单调递减，，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】利用将原不等式变形为，构造函数，利用单调性转化为解决问题.
四、解答题
17．已知不等式的解集是集合，函数的定义域是集合.
(1)分別求集合；
(2)若是成立的必要不充分条件，试求实数的取值范围.
【答案】(1)或，或
(2)
【分析】（1）解不等式得集合A，令中真数大于零，解得集合B；
（2）由条件得集合A，B的包含关系，求出参数值.
【详解】（1）由，化简得，即且，
解得，或，所以或.
由题意知，函数定义域满足，
即，解得，或，
所以或.
（2）若是成立的必要不充分条件，则有B
因此，解得.
故所求实数的取值范围是.
18．现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1中阴影部分），并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2的）容器.
(1)若所裁剪的扇形铁皮的弧长为米，求圆锥简容器的容积；
(2)当圆锥简容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最大值.
【答案】(1)立方米；
(2)当圆锥筒容器的深度为米时，其容积最大，且其最大值是立方米.
【分析】（1）由展开图弧长与圆锥底面周长关系求得圆锥半径，再求得对圆锥的高，即可由公式求容积；
（2）列出容积公式，由导数法求最值即可.
【详解】（1）设圆锥筒容器的半径为米，容积为立方米.
依题意得，解得，所以.
所以.
故圆锥筒容器的容积为立方米.
（2）由，得.
所以，
所以.
由得，；由得，.
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减，
所以当时，..
故当圆锥筒容器的深度为米时，其容积最大，且其最大值是立方米.
19．如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
(1)求的长；
(2)在中，若，试求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的四则运算结合单位向量的概念即可求解；
（2）利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】（1）连接，
由题意，得，
所以，
在中，点分别为的中点，所以，
所以.
（2）因为在中，有，
所以由正弦定理边角互化得，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，即所求的取值范围是.
20．已知数列，且满足，有.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，设数列的前项和为，试求和：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过和分奇偶求出数列的通项公式即可.
（2）先利用分组求和得到数列的前项和为，然后写出数列的通项公式，根据裂项相消法即可求和.
【详解】（1）由题设知，且，
易得，所以.
因为，①
所以，②
①②得，，
所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，
从而，
所以.
即所求数列的通项公式为所以.
（2）由（1）及题设得，，
所以
，
所以，
所以
.
21．2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？
(2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解；
（2）先根据条件①列不等式求出的最小值，根据条件②列不等式求出的最大值，通过的最值可得答案.
【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，
则有，
解得.
因为，且，所以.
所以优化调整后的技术人员人数的范围是.
（2）由题意知，现在研发部共有81人.
假设存在正实数同时满足题设中的条件①②，那么，
由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有，
解得且，
因为且，所以当时，，
所以；
由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有且，
即，
所以且.
由于，
当且仅当，即时等号成立，
即，
所以.
综上所述，显然不存在正实数同时满足题设条件（1）和（2）.
22．已知函数是函数的导函数.
(1)求函数的单调区问；
(2)设，试比较与的大小，并说明理由；
(3)若数列的通项，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，对a分类讨论：当时和当时，分别讨论单调性；（2）先判断出，利用分析法证明转化为即证.
令，则，设，利用导数判断出单调性，求出最小值，即可证明；（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，得到.利用累加法即可证明.
【详解】（1）由题意得，
则.
所以.
当时，在上恒成立，
所以函数在区间上单调递增.
当时，由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增.
综上，当时，的单调增区间是；
当时，的单调减区间是；单调增区间是.
（2）.
理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，则.
当时，有恒成立，所以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）由（2）知，若，总有成立.
不妨令，
则有.
由于，所以
，
所以，
所以，
即有成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式．