山东省济宁市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
考试时间：120分钟满分：150分
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，即可得解.
【详解】因为，则，解得.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含的式子再代入即可解出答案．
【详解】
，
∵，，
故选：D
3. 已知点E为平行四边形对角线上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.
【详解】因为，又，
所以.

故选：A.
4. 若向量，满足，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将展开，利用数量积的定义以及，即可求解.
【详解】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，
故选：B
5. 若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对称轴为可知为最大值或最小值，即可求解.
【详解】∵，
且函数的图象的一条对称轴为，
∴当时，取最大值或最小值，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
6. 若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由得，则，故选B.
考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.
7. 函数的图象可由函数的图象
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由函数，再由伸缩平移变换可得解.
详解：由函数.
只需将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到；
再向右平移个单位得到：.
故选B.
点睛：1．利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的是y＝sin的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位应得到y＝sin 2(x＋)，即y＝sin(2x＋)的图象．
2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．
8. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）
A. B. 7C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可.
【详解】因为点为重心，所以，则.
因为三点共线，，
所以，.
所以.
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 在中，，，分别是，，的中线且交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.
【详解】依题意，如图所示：
因为，，分别是，，的中线且交于点，
所以是的重心.
对于A：若，则，因为，
所以，显然不成立，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD.
10. 与向量共线的单位向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】与共线的单位向量为，求出答案.
【详解】与共线的单位向量为或.
故选：CD
11. 下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 若向量、、，满足，，则
B. 若向量，，则、可作为平面向量的一组基底
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 若向量、满足，，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取，可判断A选项；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若且，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若向量，，则，则、不共线，
所以，、可作为平面向量的一组基底，B对；
对于C选项，因为向量，，
所以，在上的投影向量为
，C对；
对于D选项，因为向量、满足，，，
则，D错.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，若，，，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正弦定理直接求解即可.
【详解】解：根据正弦定理得，
因为，所以或
故答案为：或
13. 已知向量满足，的夹角为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
14. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算的最值；法二用极化恒等式得
，当时最小，从而最大.
【详解】法一：以为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值．

法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1．
【点睛】
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）若∥，求实数t的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出和的坐标，再由∥列方程可求出实数t的值；
（2）由，得，求出t的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以，，
所以∥，
所以，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，得，
所以，
设与夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
16. 已知．
（1）若（为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】16
17. ，
【解析】
【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；
（2）由向量垂直得到数量积为，进而得到，通过平方得到，进而可得，再根据范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开，进而得解.
【小问1详解】
由得，，
又，，，
设与的夹角为,，则,
又，故与的夹角为.
【小问2详解】
由得，即，
，，故,
，.
又.
17. 已知．
（1）化简：；
（2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式可化简；
（2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，解之得答案.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，即，又，所以，
因为的面积，所以，解得，又，所以，
由，解得，所以.
【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.
18. 已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，时，求函数的最值．
【答案】（1）；（2）函数的最大值、最小值分别为：，．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．
（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．
【详解】（1）．
由，，
可得，，
∴单调递增区间为：．
（2）若．
当时，，
即，则，
所以函数最大值、最小值分别为：，．
【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知函数
（1）将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；
（2）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.
【答案】（1），最小正周期为
（2）实数的取值范围是，
【解析】
【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.
（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求出的值.
【小问1详解】
，
∴函数的最小正周期.
【小问2详解】
由（1），
将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，
得到函数的图象，∴，
由，，得，，
∴在区间（）上单调递增，
同理可求得在区间（）上单调递减，
且的图象关于直线，对称，
方程等价于，
∴当时，方程有两个不同的解，，
由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
∴当时，方程有两个不同的解，，
∴，实数的取值范围是.
又∵的图象关于直线对称，∴，即，
∴.