2024届广东省珠海市斗门区第一中学高三上学期阶段性考试数学试题含解析

这是一份2024届广东省珠海市斗门区第一中学高三上学期阶段性考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．记集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式确定集合，然后再根据交集的定义求其交集即可.
【详解】或
所以集合，
，
所以.
故选：B.
2．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较与0和1的大小关系即可求解．
【详解】解：，，，
．
故选：A.
3．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】通过弧长比可以得到与的比，接着再利用扇形面积公式即可求解
【详解】解：设，则，所以，即，
所以，
故选：C
4．函数在上的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性，由此排除两个选项，再取特值判断并排除一个选项即可作答.
【详解】，，而，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不满足；
又，，于是得，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．12800B．24800C．25600D．51200
【答案】D
【分析】根据题意得，再结合对数运算解方程即可.
【详解】解：因为时，，
所以，解得，
所以，时，，即，
所以，解得．
故选：D．
6．“”是“对任意，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别求出两条件所对应的的取值范围，再根据集合的包含关系及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即，所以，
由，恒成立，
即在上恒成立，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为真包含于，
所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
7．已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据求出点，再代入直线方程得到，最后利用基本不等式里“1”的妙用求最值.
【详解】函数过定点，所以，
将代入直线，得，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时“=”成立.
故选：C.
8．定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】首先将问题转化为与在上的交点个数，然后根据的对称性和周期性以及已知条件作出的图像，再利用导函数作出的大致图像，结合图像即可求解.
【详解】由题意可知，方程在上解的个数可转化为与在上的交点个数，
因为，所以的图像关于对称；
又由，故，
从而是周期为2的周期函数，
又由可得，，
从而；，
故在上单调递增，在单调递减，且，
当时，，
故与在上的图像如下：
从而与在上的交点个数为4，
故方程在上解的个数为4.
故选：B.
二、多选题
9．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域是
B．函数在上单调递减
C．命题“”的否定为“”
D．函数在上单调递增，则a的取值范围是
【答案】AD
【分析】求的定义域求函数的定义域验证选项A；求函数的单调区间验证选项B；求全称量词命题的否定验证选项C；由复合函数的单调性求参数的范围验证选项D.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，则对于，由，
解得且，即的定义域为，故A正确；
对于B，分别在，上单调递减，故B错误；
对于C，命题“”的否定为“”，故C错误；
对于D，函数在定义域内单调递增，因为抛物线的对称轴为直线，图象开口向下，
要使在上单调递增，则，解得，故D正确.
故选：AD
10．定义方程的实数根为函数的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】可求出导函数g′(x)，然后判断方程g(x)=g′(x)的实数根的个数，只有一个实数根的便只有一个“新不动点”，有多个实数根的便有多个“新不动点”，这样即可找出正确的选项.
【详解】若，则，令，解得，，可知有2个“新不动点”，A不符合题意．
若，则，令，解得，可知有1个“新不动点”，B符合题意．
若，则，令（），则，
所以在上单调递增，又，，
所以在上存在唯一零点，，即有唯一解，可知有1个“新不动点”，C符合题意．
若，则，令，即，即，因为函数的周期为，所以的根有无数个，可知有无数个“新不动点”，D不符合题意．
故选：BC．
11．若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分别构造函数，，，，求导得到导函数，根据函数是否在上单调得到答案.
【详解】对选项A：，即，
设，，又，，，故在上不单调，对于不成立，错误；
对选项B：，，设，，
在上单调递减，故对，正确；
对选项C： ，即，即，即，
设，，在上单调递增，
故对，正确；
对选项D：，即，即，
设，，令，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故在上不单调，对于不成立，错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造合适的函数，将大小关系转化为函数的单调性是解题的关键.
12．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，设函数（其中），则下列说法正确的是（ ）
A．函数关于点中心对称
B．函数是以4为周期的周期函数
C．当时，函数恰有2个不同的零点
D．当时，函数恰有3个不同的零点
【答案】BCD
【分析】利用递推关系得，结合奇函数性质易得，即可判断A、B；对于的零点，转化为研究与的交点，数形结合法判断零点的个数即可判断C、D.
【详解】由，即，则关于对称，A错；
又是定义在上的奇函数，则，
而，则，故，
所以，即是以4为周期的周期函数，B对；
当，对于的零点，只需研究与的交点，
若，则，
显然，，且在上递增，上递减，
结合对称轴、周期性、奇函数，的图象及部分图象如下：

由图知：与有且仅有2个交点，即恰有2个不同的零点，C对；
若，则，如下图示，

由图知：与有且仅有3个交点，即恰有3个不同的零点，D对；
故选：BCD
三、填空题
13．函数的导函数为，且，则 .
【答案】
【分析】首先求出的导数，然后令解方程即可.
【详解】，

令，则，
解得：
故答案为：.
14．已知角θ的终边过点，且，则tanθ= ．
【答案】
【分析】利用三角函数定义、诱导公式求解即可.
【详解】角θ的终边过点
，
即
点在第四象限，
解得：（舍去）或
.
故答案为：.
15．已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得，进而根据已知条件解方程得，进而将问题转化为恒成立，再构造函数，求函数最值即可.
【详解】∵函数对均有①，
∴将换为x，得②，
∴由①②，解得.
∴恒成立，恒成立，
∴只需，
令，则，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴m的取值范围为.
故答案为：
16．已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用函数的对称性，由可知函数关于直线对称，然后再根据所得性质构造函数，最后把进行单调性转化，整理出不等式，最后求解，即可求出实数的取值范围.
【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得
，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．
答案为：
【点睛】本题考查函数的对称性与构造函数的应用，难点在于根据已有的函数性质构造出相应的函数，属于难题.
四、解答题
17．已知，
(1)当时，求;
(2)已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先解分式不等式得到集合A，再解指数不等式得到集合，再求出集合的补集，从而可求出；
（2）先求得集合，再由题设条件得到，列不等式可求出结果.
【详解】（1）由，得，得，
即，解得或，故或，
当时，由，得 ，故，即，
故，所以，
所以或
（2）由得，故，即，故，
由“”是“”的必要条件得，
所以，解得，即.
18．已知
(1)化简；
(2)若，求 的值
【答案】(1)
(2)-7
【分析】（1）由三角函数诱导公式化简即可；（2）由第一问得到，将式子化简为，将正切值代入表达式即可.
【详解】（1）根据三角函数诱导公式化简得到：
（2）根据第一问得到，
原式子化简为：
19．已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；
（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
，
.
（2）解：，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故.
20．设函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间与极值；
（3）若方程有实数解，求实数的范围．
【答案】（1）（2）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为,无极大值（3）．
【解析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；
（2）利用导数可求得单调区间与极值；
（3）将方程有实数解问题化为求函数值域问题求解可得结果.
【详解】（1）的定义域为，，，又，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
列表如下：
∴的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，无极大值.
（3）由（2）知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为，
因为方程有实数解，所以有实数解，所以的范围就是函数的值域，所以实数的范围为.
【点睛】关键点点睛：第三问将方程有实数解问题化为求函数值域问题求解是解题关键.
21．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完.
(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？
【答案】(1)
(2)100
【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案.
【详解】（1）每件商品售价为0.05万元，
x千件商品销售额为万元，
①当时，根据年利润销售收入-成本，
；
②当时，根据年利润销售收入-成本，
.
综合①②可得，；
（2）①当时，，
当时，取得最大值万元；
②当时，，
当且仅当，即时，取得最大值万元.
综合①②，由于，
年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
22．1.已知函数.
(1)若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
①若恒成立，求的取值范围.
②若仅有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)选择①时，；选择②时，
【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围
【详解】（1）定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①选择若恒成立，
若恒成立，即，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以
所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得：
故当时，恒成立.
②选择若仅有两个零点，
即有两个根，整理为，即
设函数，则上式为：
因为恒成立，所以单调递增，所以=
所以只需有两个根，令，.
，当时，，当时，，故在处取得极大值，，
要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为
【点睛】同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用
递减
极小值
递增