2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出90户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是（    ）

A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．各种方法均可

【答案】B

【分析】根据分层抽样的概念判断即可；

【详解】解：因为社会购买力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应采用分层抽样法，

故选：B.

2．已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据已知求出，再求出即得解.

【详解】由题意，得，，所以，所以，

所以椭圆的短轴长为8.

故选：D.

3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）.

A．至多有1次中靶 B．2次都中靶

C．2次都不中靶 D．只有1次中靶

【答案】C

【分析】根据对立事件的概念可得结果.

【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.

故选：C.

4．圆上一点到原点的距离的最大值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.

【详解】圆的圆心为，半径为，

圆心到原点的距离为，

所以圆上一点到原点的距离的最大值为.

故选：C

【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.

5．已知双曲线的渐近线方程为，则（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线方程的特点确定m为负，再求出双曲线渐近线方程作答.

【详解】在双曲线中，，其实半轴长，虚半轴长，

因双曲线的渐近线方程为，于是得，解得，

所以.

故选：B

6．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得，由可得结果.

【详解】设等差数列的公差为，

，，解得：，

，解得：，，

.

故选：A.

7．若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

【答案】C

【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离大于半径，得到，故点在圆内，进而判断结果.

【详解】因为直线与圆相离，

所以圆心到直线的距离大于半径，

即，所以，故点在圆内，

所以过点的直线与圆相交，

故选：C.

8．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构建基向量，，表示，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.

【详解】如下图，构建基向量，，.

则，

所以

所以.

故选：C.

二、多选题

9．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ）

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为

【答案】AC

【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论

【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．

故选：AC

10．已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.

【详解】解:若,因为,不重合,所以,

若,则共线,即,故选项A正确;

若,则平面与平面所成角为直角,故,

若,则有,故选项B正确;

若,则,故选项C错误;

若,则或,故选项D错误.

故选:AB

11．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为，，交通枢纽，计划经过C修建一条马路l（l看成一条直线，l的斜率为k），则下列说法正确的是（    ）

A．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或

B．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则或

C．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为

D．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为

【答案】AD

【分析】结合图象，由两点斜率公式求对满足条件的直线的斜率.

【详解】若A，B两个镇到马路l的距离相等，当l与直线平行时，则.

当直线与l相交时，则直线过的中点，又的中点为，所以，故或.

若A，B两个镇位于马路的两侧，则，，故k的取值范围为，

故答案为：AD.

12．设数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为

C．若，则数列的前17项和为

D．若数列为等差数列，且，则当时，的最大值为2023

【答案】BC

【分析】令时，由求出可判断A；由知，，当时，取得的最小值可判断B；若，求出数列的前项和可判断C；由数列的下标和性质可得，则可判断D.

【详解】对于A，由，当时，，

由，当时，，所以，A不正确；

对于B，若，当时，，则，

所以当时，取得的最小值为，

所以，B正确；

对于C，若 ，设数列的前项和为，

所以

，故C正确；

对于D，数列为等差数列，且，

则，

所以，

当时，的最大值为，所以D不正确.

故选：BC.

三、填空题

13．已知等差数列中，，，则数列的前9项和____________．

【答案】63

【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及等差数列性质计算作答.

【详解】等差数列中，，，

所以.

故答案为：63

14．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________.

【答案】

【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径，

设，,

所以切线长为，

以为圆心，半径为的圆的方程为，

即①，

圆即②，

由①-②得直线的方程为，

即.

故答案为：

15．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.

【答案】

【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程.

【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率，

又点与点的中点为，

折痕所在直线方程为：，即.

故答案为：.

16．椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.

【答案】或

【解析】点，易得点P到轴的距离为，然后分或，，三种情况结合椭圆的定义求解.

【详解】设点，则到轴的距离为，

因为，，

，

当或时，

则，得，

，即到轴的距离为．

当时，

则，

，

，

，

由（1）（2）知：到轴的距离为或，

故答案为：或．

四、解答题

17．求经过点和点的椭圆的标准方程.

【答案】.

【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答.

【详解】设椭圆的方程为：，因该椭圆经过点和，

于是得，解得，即有，

所以椭圆的标准方程为：.

18．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：

(1)求a的值及这50名党员成绩的众数；

(2)试估计此样本数据的第90百分位数.

【答案】(1)，众数为75

(2)93.75

【分析】（1）利用频率和为1列方程即可求得a的值；利用频率分布直方图的性质即可求得这50名党员成绩的众数；

（2）依据利用频率分布直方图的性质即可求得此样本数据的第90百分位数.

【详解】（1）根据频率分布直方图得：

，解得.

由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为.

（2）前5个小组的频率之和是，

所以第90百分位数在第六小组内，设其为x，

则，解得，

则可以估计此样本数据的第90百分位数为93.75.

19．已知是等差数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；

（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.

【详解】（1）设数列的公差为，因为，

所以.

解得.

所以.

（2），

所以.

令，得，

解得：（舍去）.

因为，所以的最小值是12.

20．已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．

（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

【答案】（1）x+y+2=0或3x+y=0；（2）x-3y-10=0．

【分析】（1）求得横截距和纵截距，由此列方程求得的值，从而求得直线的方程.

（2）求得直线所过定点，根据求得直线的斜率，由此求得直线的方程.

【详解】（1）依题意得，a+1≠0．

令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=．

∵直线l在两坐标轴上的截距相等，

∴a-2=，化简，得a(a-2)=0，

解得a=0或a=2．

因此，直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0．

（2）直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0．

令解得因此直线l过定点A(1，-3)．

由题意得，OA⊥l时，O点到直线l的距离最大．

因此，kl==，∴直线l的方程为y+3=(x-1)，即x-3y-10=0．

21．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；

（2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角.

【详解】（1）证明：因为在图1中，沿着将折起，

所以在图2中有，，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面；

（2）解：由（1）知，，，

所以是二面角的平面角，

所以，

又因为，

所以是等边三角形，

连接，

在图1中，因为，，

所以，

因为是的中点，

所以，

所以是等边三角形.

取的中点，连接，，

则，，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

所以，，两两垂直，

以为原点，，，为，，轴建系，如图所示.

，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则即

取，得平面的一个法向量为，

所以.

设直线与平面所成角为，则.

22．在平面直角坐标系中，圆：，圆：，点，一动圆M与圆内切、与圆外切.

(1)求动圆圆心M的轨迹方程E；

(2)是否存在一条过定点的动直线，与E交于A、B两点，并且满足？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，过定点

【分析】（1）由题意得，则动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，可得，即可得出结果；

（2）设直线为，代入，并整理得，设，由题知，即，结合韦达定理求得，代入直线方程即可得出答案.

【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径，

设动圆的半径为，

动圆与圆内切，与圆外切，，

，且，

动圆圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，

，

动圆圆心的轨迹方程E为：.

（2）设直线为，

把代入，并整理得，

，即，

设，则，

，所以

，

所以，

，，，

，

，即，解得或，

当时，直线为，过，不合题意，舍去；

当时，直线为，过定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.