2024届陕西省宝鸡教育联盟高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题含解析

这是一份2024届陕西省宝鸡教育联盟高三上学期阶段性检测（二）数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，有实数解”的否定是（ ）
A．，有实数解B．，无实数解
C．，无实数解D．，有实数解
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，，有实数解的否定是，无实数解，
故选:C.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得，由此求得.
【详解】由题意可知，所以，
又由，
所以，所以.
故选：C
3．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求解单调区间即可.
【详解】令，
，，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
故选：A
4．已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据定义域为的奇函数并结合赋值法得出结果.
【详解】因为是上的奇函数，所以，
又函数，
令，即，
所以，
所以函数的图象恒过点.
故选：D.
5．已知函数与有相同的极值点，则实数（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据题意，求导之后代入计算，即可得到结果.
【详解】由，可得函数的极值点为，又由，有，得，经检验符合题意.
故选：A.
6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的所有对称中心中，与坐标原点最近的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平移变换得出函数的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解.
【详解】平移后所得函数图象的解析式为，
令，有，
当时，，
可得所得图象的所有对称中心中与坐标原点最近的点的坐标为.
故选：A.
7．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（ ）

A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可.
【详解】如图：

因为
,
所以
故选：
8．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
9．已知命题：“若两组数据和的平均数相同，方差不同，则将两组数据合并为一组数据后所得到的新数据的方差介于原来两组数据的方差之间”；命题：“函数（且）在上单调递增”，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设平均数为，第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，新数据的方差为，通过计算得到，命题正确，分和两种情况，得到单调递增，命题正确，从而判断出四个选项中的真命题.
【详解】对于命题，设平均数为，第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
不妨设，有，
两组数据合并后新数据的平均数为，
新数据的方差为，
由，有，可知命题正确；
对于命题，由，当时，单调递增，
又，故单调递增，函数单调递增；
当时，单调递减，又，故单调递增，
所以函数单调递增，可知命题正确.
可知命题为真命题，命题为假命题.
故选：A.
10．已知函数（其中）在区间上单调递增，且在区间上有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到最小正周期，依题意可得且，即可求出的取值范围.
【详解】函数的最小正周期为（），
由函数的图象可知，在区间上单调递增，有，可得，
又在区间上有3个零点，有，可得，
综上可得.
故选：D.
11．已知，，均大于1，满足，，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将式子变形，从而转化为比较和交点的横坐标的大小，数形结合即可判断.
【详解】，
，
，
考虑和的图象相交，
在同一平面直角坐标系中画出、、与的图象如下：

根据图象可知.
故选：B.
12．已知函数，若在图象上存在点，使得点到坐标原点的距离，则称函数为“向心函数”.下列四个选项中，是“向心函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，结合选项中函数解析式，即可表示出的表达式，结合不等式知识可判断A、B；利用构造函数，求出导数判断函数单调性，即可判断与1的大小关系，可判断C、D.
【详解】对于A，设，则
，
当且仅当，即时，上述等号成立，所以，即不正确；
对于，
当时，等号成立，所以，
在图象上存在点，使得点到坐标原点的距离，符合题意，即B正确；
对于C，，显然当时，，
此时在图象上不存在点，使得点到坐标原点的距离；
当时，令，则，
设，则，
当时，，故，
故在上单调递减，而，
所以时，，即，在上单调递增，
时，，即，在上单调递减，
故在时取到最大值，
又，
故当时，，即，即，
综合上述在图象上不存在点，使得点到坐标原点的距离，错误；
对于D，，若，则；
若，设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，当且仅当时等号成立，
则时，，
所以，
综合上述在图象上不存在点，使得点到坐标原点的距离，即错误，
故选：B
【点睛】难点点睛：解答本题时要根据“向心函数”的定义去判断各选项中函数是否满足定义中的条件，难点是判断选项C、D时，要构造函数，结合导数知识判断函数单调性，继而判断点到坐标原点的距离和1的大小关系.
二、填空题
13．，且，则 .
【答案】
【分析】先求和向量坐标再应用平行的坐标关系得出，最后应用模长公式计算即可.
【详解】由，且，得，
所以.
故答案为: .
14．曲线过原点的切线方程为 .
【答案】或.
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可得，
设切点为，则，
所以函数过原点的切线方程为，
解之得，则，
此时切线方程为，
若切点为原点，则，此时切线方程为.
故答案为：或.
15．已知，，则 .
【答案】/0.75
【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.
【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：，
当，此时，不合题意；
当，符合题意；
所以.
故答案为：
16．已知，，使得有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】对求导后判断单调性，由题意可得，从而可得，使得，进而转化为，，从而可求解.
【详解】，
令，得，
所以当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又有两个零点，即，
所以，使得，
所以，，
因为在上单调递减，所以当时，，
因为在在上单调递减，所以当时，，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛:
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;
（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；
（2）由正弦定理及面积公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以，又，
所以.
（2）由正弦定理知，，
所以，
所以，
解得，
所以.
18．已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可；
（2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可.
【详解】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
19．已知函数在处有极值0．
(1)求实数a,b的值；
(2)若在上恒成立．求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得,解方程可得的值,最后检验即可；
（2）分析在上的单调性,结合最值即可求解的取值范围．
【详解】（1）因为在时有极值0,且,
所以，即,解之得或,
当时,,
所以在R上为增函数,无极值,故舍去；
当时,,
当时,为减函数,
当和时,为增函数,
所以在时取得极小值,符合题意,
因此.
（2）因为在上恒成立,所以,
由(1)知时,为减函数,当时,为增函数,
又,则,
所以,实数m的取值范围为．
20．已知函数在区间上单调，其中，，且．
(1)求的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.
（2）由点在函数的图象上，可得，知函数在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出，即可得出结果.
【详解】（1）由函数在区间上单调，
且，可知，
故的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点在函数的图象上，
有，又由，
，
可知函数在区间上单调递减，
由函数的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由，可得，
则，
又由函数在区间上单调，
有，可得，可得，
故．
21．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为，根据向量的线性运算法则，得到，根据是线段的中点，得到，根据三点共线，求得，进而求得的值；
（2）根据题意，得到和，结合三点共线，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
所以
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以，所以.
（2）解：因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论即可；
（2）结合（1）的结论及零点存在性定理计算即可.
【详解】（1）由题意可得，
①若，则，即函数在R上单调递增，
②若，令，即，
令或，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，
综上：时，函数在R上单调递增；时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由（1）知，欲满足题意则需：
，
当时，
当时，，
即函数存在三个零点从小到大分布在区间上，
故实数的取值范围为.